MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cycld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cycld 27581
Description: Construction of a 3-cycle from three given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
3cycld.e (𝜑𝐴 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
3cycld (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3cycld
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8 3trld.n . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83pthd 27577 . 2 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10 3cycld.e . . 3 (𝜑𝐴 = 𝐷)
111fveq1i 6447 . . . . . 6 (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0)
12 s4fv0 14046 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐴)
1311, 12syl5eq 2825 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
1413ad3antrrr 720 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝑃‘0) = 𝐴)
15 simpr 479 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐷)
162fveq2i 6449 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
17 s3len 14045 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
1816, 17eqtri 2801 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = 3
191, 18fveq12i 6452 . . . . . . 7 (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3)
20 s4fv3 14049 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3) = 𝐷)
2119, 20syl5req 2826 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐷 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
2221adantl 475 . . . . 5 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → 𝐷 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
2322ad2antlr 717 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐷 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
2414, 15, 233eqtrd 2817 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
253, 10, 24syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
26 iscycl 27143 . 2 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
279, 25, 26sylanbrc 578 1 (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wss 3791  {cpr 4399   class class class wbr 4886  cfv 6135  0cc0 10272  3c3 11431  chash 13435  ⟨“cs3 13993  ⟨“cs4 13994  Vtxcvtx 26344  iEdgciedg 26345  Pathscpths 27064  Cyclesccycls 27137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-ifp 1047  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-s2 13999  df-s3 14000  df-s4 14001  df-wlks 26947  df-trls 27043  df-pths 27068  df-cycls 27139
This theorem is referenced by:  3cyclpd  27582
  Copyright terms: Public domain W3C validator