Theorem 3cycld 30438

Description: Construction of a 3-cycle from three given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
3wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n	⊢ (𝜑 → (𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿))
3cycld.e	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3cycld	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3cycld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4		3wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
5		3wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6		3wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		3wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		3trld.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	3pthd 30434	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10		3cycld.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐷)
11	1	fveq1i 6872	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0)
12		s4fv0 14922	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐴)
13	11, 12	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
14	13	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝑃‘0) = 𝐴)
15		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐷)
16	2	fveq2i 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
17		s3len 14921	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
18	16, 17	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 3
19	1, 18	fveq12i 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3)
20		s4fv3 14925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3) = 𝐷)
21	19, 20	eqtr2id 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
22	21	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
23	22	ad2antlr 739	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐷 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
24	14, 15, 23	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
25	3, 10, 24	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
26		iscycl 30049	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
27	9, 25, 26	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3907  {cpr 4587   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  0cc0 11088  3c3 12287  ♯chash 14357  ⟨“cs3 14869  ⟨“cs4 14870  Vtxcvtx 29255  iEdgciedg 29256  Pathscpths 29968  Cyclesccycls 30043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-s3 14876  df-s4 14877  df-wlks 29858  df-trls 29949  df-pths 29972  df-cycls 30045

This theorem is referenced by:  3cyclpd  30439