Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cycld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cycld 27961
 Description: Construction of a 3-cycle from three given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
3cycld.e (𝜑𝐴 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
3cycld (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3cycld
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8 3trld.n . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83pthd 27957 . 2 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10 3cycld.e . . 3 (𝜑𝐴 = 𝐷)
111fveq1i 6660 . . . . . 6 (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0)
12 s4fv0 14255 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐴)
1311, 12syl5eq 2871 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
1413ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝑃‘0) = 𝐴)
15 simpr 488 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐷)
162fveq2i 6662 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
17 s3len 14254 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
1816, 17eqtri 2847 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = 3
191, 18fveq12i 6665 . . . . . . 7 (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3)
20 s4fv3 14258 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3) = 𝐷)
2119, 20syl5req 2872 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐷 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
2221adantl 485 . . . . 5 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → 𝐷 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
2322ad2antlr 726 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐷 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
2414, 15, 233eqtrd 2863 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
253, 10, 24syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
26 iscycl 27578 . 2 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
279, 25, 26sylanbrc 586 1 (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ⊆ wss 3919  {cpr 4552   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  0cc0 10531  3c3 11688  ♯chash 13693  ⟨“cs3 14202  ⟨“cs4 14203  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  Pathscpths 27499  Cyclesccycls 27572 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13921  df-s1 13948  df-s2 14208  df-s3 14209  df-s4 14210  df-wlks 27387  df-trls 27480  df-pths 27503  df-cycls 27574 This theorem is referenced by:  3cyclpd  27962
 Copyright terms: Public domain W3C validator