MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cycld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cycld 29926
Description: Construction of a 3-cycle from three given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
3wlkd.f 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3wlkd.s (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
3wlkd.e (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3trld.n (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
3cycld.e (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
3cycld (πœ‘ β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃)

Proof of Theorem 3cycld
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3 3wlkd.s . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
8 3trld.n . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83pthd 29922 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
10 3cycld.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐷)
111fveq1i 6883 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜0) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©β€˜0)
12 s4fv0 14848 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©β€˜0) = 𝐴)
1311, 12eqtrid 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴)
1413ad3antrrr 727 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴)
15 simpr 484 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) β†’ 𝐴 = 𝐷)
162fveq2i 6885 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©)
17 s3len 14847 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©) = 3
1816, 17eqtri 2752 . . . . . . . 8 (β™―β€˜πΉ) = 3
191, 18fveq12i 6888 . . . . . . 7 (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©β€˜3)
20 s4fv3 14851 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©β€˜3) = 𝐷)
2119, 20eqtr2id 2777 . . . . . 6 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
2221adantl 481 . . . . 5 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
2322ad2antlr 724 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) β†’ 𝐷 = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
2414, 15, 233eqtrd 2768 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
253, 10, 24syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
26 iscycl 29543 . 2 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
279, 25, 26sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βŠ† wss 3941  {cpr 4623   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  0cc0 11107  3c3 12267  β™―chash 14291  βŸ¨β€œcs3 14795  βŸ¨β€œcs4 14796  Vtxcvtx 28750  iEdgciedg 28751  Pathscpths 29464  Cyclesccycls 29537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-s4 14803  df-wlks 29351  df-trls 29444  df-pths 29468  df-cycls 29539
This theorem is referenced by:  3cyclpd  29927
  Copyright terms: Public domain W3C validator