Theorem subgrcycl 33943

Description: If a cycle exists in a subgraph of a graph 𝐺, then that cycle also exists in 𝐺. (Contributed by BTernaryTau, 23-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcycl	⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐹(Cycles‘𝑆)𝑃 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem subgrcycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrpth 33942	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐹(Paths‘𝑆)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃))
2	1	anim1d 611	. 2 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((𝐹(Paths‘𝑆)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))
3		iscycl 28910	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝑆)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝑆)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
4		iscycl 28910	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
5	2, 3, 4	3imtr4g 295	1 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐹(Cycles‘𝑆)𝑃 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   class class class wbr 5140  ‘cfv 6531  0cc0 11091  ♯chash 14271   SubGraph csubgr 28386  Pathscpths 28831  Cyclesccycls 28904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-1o 8447  df-er 8685  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9915  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-n0 12454  df-z 12540  df-uz 12804  df-fz 13466  df-fzo 13609  df-hash 14272  df-word 14446  df-subgr 28387  df-wlks 28718  df-trls 28811  df-pths 28835  df-cycls 28906

This theorem is referenced by:  acycgrsubgr  33966