Theorem iseupthf1o 27731

Description: The property "⟨𝐹, 𝑃⟩ is an Eulerian path on the graph 𝐺". An Eulerian path is defined as bijection 𝐹 from the edges to a set 0...(𝑁 − 1) and a function 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉 into the vertices such that for each 0 ≤ 𝑘 < 𝑁, 𝐹(𝑘) is an edge from 𝑃(𝑘) to 𝑃(𝑘 + 1). (Since the edges are undirected and there are possibly many edges between any two given vertices, we need to list both the edges and the vertices of the path separately.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eupths.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iseupthf1o	⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))

Proof of Theorem iseupthf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupths.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	iseupth 27730	. 2 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼))
3		istrl 27184	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
4	3	anbi1i 614	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼) ↔ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼))
5		anass 461	. . 3 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡𝐹 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼)))
6		ancom 453	. . . 4 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼) ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
7	6	anbi2i 613	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡𝐹 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼)) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹)))
8	4, 5, 7	3bitri 289	. 2 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹)))
9		dff1o3 6450	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
10	9	bicomi 216	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
11	10	anbi2i 613	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹)) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
12	2, 8, 11	3bitri 289	1 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   class class class wbr 4929  ^◡ccnv 5406  dom cdm 5407  Fun wfun 6182  –onto→wfo 6186  –1-1-onto→wf1o 6187  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  0cc0 10335  ..^cfzo 12849  ♯chash 13505  iEdgciedg 26485  Walkscwlks 27081  Trailsctrls 27178  EulerPathsceupth 27726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-hash 13506  df-word 13673  df-wlks 27084  df-trls 27180  df-eupth 27727

This theorem is referenced by:  eupthi  27732  upgriseupth  27736  eupth0  27743  eupthresOLD  27744  eupthres  27745  eupthp1  27746