Theorem upgriseupth 30835

Description: The property "⟨𝐹, 𝑃⟩ is an Eulerian path on the pseudograph 𝐺". (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupths.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgriseupth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgriseupth	⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Proof of Theorem upgriseupth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupths.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	iseupthf1o 30830	. . 3 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼)))
4		upgriseupth.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4, 1	upgriswlk 30248	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
6	5	anbi1d 643	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼)))
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼)
8		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
9		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
10	7, 8, 9	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
11		f1of 6843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
12		iswrdi 14686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
14	13	3anim1i 1170	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
15		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼)
16	14, 15	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼))
17	10, 16	impbii 212	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼) ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼) ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
19	3, 6, 18	3bitrd 308	1 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1ontodom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {cpr 4590   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ⟶wf 6551  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227  ...cfz 13663  ..^cfzo 13812  ♯chash 14498  Word cword 14682  Vtxcvtx 29601  iEdgciedg 29602  UPGraphcupgr 29685  Walkscwlks 30204  EulerPathsceupth 30825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-edg 29653  df-uhgr 29663  df-upgr 29687  df-wlks 30207  df-trls 30302  df-eupth 30826

This theorem is used by:  upgreupthi  30836