MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthp1 29751
Description: Append one path segment to an Eulerian path 𝐹, 𝑃 to become an Eulerian path 𝐻, 𝑄 of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 7-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b (𝜑𝐵𝑊)
eupthp1.c (𝜑𝐶𝑉)
eupthp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
Assertion
Ref Expression
eupthp1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthp1
StepHypRef Expression
1 eupthp1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupthp1.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupthp1.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupthp1.a . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 eupthp1.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
6 eupthp1.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
7 eupthp1.d . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8 eupthp1.p . . . 4 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9 eupthiswlk 29747 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
11 eupthp1.n . . 3 𝑁 = (♯‘𝐹)
12 eupthp1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
13 eupthp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
14 eupthp1.u . . . 4 (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16 eupthp1.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17 eupthp1.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18 eupthp1.s . . . 4 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
20 eupthp1.l . . 3 ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20wlkp1 29220 . 2 (𝜑𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
222eupthi 29738 . . . . 5 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
2311eqcomi 2740 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐹) = 𝑁
2423oveq2i 7423 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
25 f1oeq2 6822 . . . . . . . 8 ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
2726biimpi 215 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
2827adantl 481 . . . . 5 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
298, 22, 283syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
3011fvexi 6905 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
31 f1osng 6874 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
3230, 5, 31sylancr 586 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
33 dmsnopg 6212 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
3412, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
3534f1oeq3d 6830 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} ↔ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵}))
3632, 35mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
37 fzodisjsn 13677 . . . . 5 ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
3934ineq2d 4212 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐵}))
40 disjsn 4715 . . . . . 6 ((dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
417, 40sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅)
4239, 41eqtrd 2771 . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)
43 f1oun 6852 . . . 4 (((𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ∧ (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ∧ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
4429, 36, 38, 42, 43syl22anc 836 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
4516a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
461, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16wlkp1lem2 29213 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
4746oveq2d 7428 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^(𝑁 + 1)))
48 wlkcl 29154 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4911eleq1i 2823 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
50 elnn0uz 12874 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
5149, 50sylbb1 236 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
5248, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (ℤ‘0))
538, 9, 523syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
54 fzosplitsn 13747 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
5553, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
5647, 55eqtrd 2771 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
57 dmun 5910 . . . . 5 dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
5857a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
5945, 56, 58f1oeq123d 6827 . . 3 (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
6044, 59mpbird 257 . 2 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
6114eqcomi 2740 . . 3 (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (iEdg‘𝑆)
6261iseupthf1o 29737 . 2 (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
6321, 60, 62sylanbrc 582 1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  cop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Fun wfun 6537  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119  0cn0 12479  cuz 12829  ..^cfzo 13634  chash 14297  Vtxcvtx 28538  iEdgciedg 28539  Edgcedg 28589  Walkscwlks 29135  EulerPathsceupth 29732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-wlks 29138  df-trls 29231  df-eupth 29733
This theorem is referenced by:  eupth2eucrct  29752
  Copyright terms: Public domain W3C validator