Theorem eupthp1 30304

Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to become an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 7-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
eupthp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
eupthp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u	⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})

Assertion

Ref	Expression
eupthp1	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthp1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupthp1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthp1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		eupthp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		eupthp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		eupthp1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		eupthp1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8		eupthp1.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9		eupthiswlk 30300	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
11		eupthp1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
12		eupthp1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
13		eupthp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
14		eupthp1.u	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16		eupthp1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17		eupthp1.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18		eupthp1.s	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
20		eupthp1.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20	wlkp1 29766	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
22	2	eupthi 30291	. . . . 5 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
23	11	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
24	23	oveq2i 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
25		f1oeq2 6764	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
27	26	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
29	8, 22, 28	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
30	11	fvexi 6849	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ V
31		f1osng 6817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
32	30, 5, 31	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
33		dmsnopg 6172	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
34	12, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
35	34	f1oeq3d 6772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} ↔ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵}))
36	32, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
37		fzodisjsn 13646	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
39	34	ineq2d 4161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐵}))
40		disjsn 4656	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
41	7, 40	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅)
42	39, 41	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)
43		f1oun 6794	. . . 4 ⊢ (((𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ∧ (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ∧ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
44	29, 36, 38, 42, 43	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
45	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
46	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16	wlkp1lem2 29759	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
47	46	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^(𝑁 + 1)))
48		wlkcl 29702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
49	11	eleq1i 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
50		elnn0uz 12823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
51	49, 50	sylbb1 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
52	48, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
53	8, 9, 52	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
54		fzosplitsn 13725	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
56	47, 55	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
57		dmun 5860	. . . . 5 ⊢ dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
58	57	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
59	45, 56, 58	f1oeq123d 6769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
60	44, 59	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
61	14	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (iEdg‘𝑆)
62	61	iseupthf1o 30290	. 2 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
63	21, 60, 62	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  Fun wfun 6487  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035  ℕ₀cn0 12431  ℤ_≥cuz 12782  ..^cfzo 13602  ♯chash 14286  Vtxcvtx 29082  iEdgciedg 29083  Edgcedg 29133  Walkscwlks 29683  EulerPathsceupth 30285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-wlks 29686  df-trls 29777  df-eupth 30286

This theorem is referenced by:  eupth2eucrct  30305