Theorem eupthp1 30419

Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to become an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 7-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
eupthp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
eupthp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u	⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})

Assertion

Ref	Expression
eupthp1	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthp1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupthp1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthp1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		eupthp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		eupthp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		eupthp1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		eupthp1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8		eupthp1.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9		eupthiswlk 30415	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
11		eupthp1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
12		eupthp1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
13		eupthp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
14		eupthp1.u	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16		eupthp1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17		eupthp1.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18		eupthp1.s	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
20		eupthp1.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20	wlkp1 29881	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
22	2	eupthi 30406	. . . . 5 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
23	11	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
24	23	oveq2i 7408	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
25		f1oeq2 6796	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
27	26	bilani 508	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
28	8, 22, 27	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
29	11	fvexi 6882	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ V
30		f1osng 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
31	29, 5, 30	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
32		dmsnopg 6201	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
33	12, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
34	33	f1oeq3d 6804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} ↔ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵}))
35	31, 34	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
36		fzodisjsn 13704	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
38	33	ineq2d 4173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐵}))
39		disjsn 4671	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
40	7, 39	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅)
41	38, 40	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)
42		f1oun 6827	. . . 4 ⊢ (((𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ∧ (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ∧ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
43	28, 35, 37, 41, 42	syl22anc 849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
44	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
45	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16	wlkp1lem2 29874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
46	45	oveq2d 7413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^(𝑁 + 1)))
47		wlkcl 29817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
48	11	eleq1i 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
49		elnn0uz 12881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
50	48, 49	sylbb1 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
51	47, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
52	8, 9, 51	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
53		fzosplitsn 13783	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
55	46, 54	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
56		dmun 5887	. . . . 5 ⊢ dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
57	56	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
58	44, 55, 57	f1oeq123d 6801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
59	43, 58	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
60	14	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (iEdg‘𝑆)
61	60	iseupthf1o 30405	. 2 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
62	21, 59, 61	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4583  {cpr 4585  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  Fun wfun 6516  –1-1-onto→wf1o 6521  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Fincfn 8928  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077  ℕ₀cn0 12482  ℤ_≥cuz 12840  ..^cfzo 13660  ♯chash 14344  Vtxcvtx 29198  iEdgciedg 29199  Edgcedg 29249  Walkscwlks 29798  EulerPathsceupth 30400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-oadd 8442  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-hash 14345  df-word 14528  df-wlks 29801  df-trls 29892  df-eupth 30401

This theorem is referenced by:  eupth2eucrct  30420