MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthp1 27589
Description: Append one path segment to an Eulerian path 𝐹, 𝑃 to become an Eulerian path 𝐻, 𝑄 of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 7-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
eupthp1.c (𝜑𝐶𝑉)
eupthp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
Assertion
Ref Expression
eupthp1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthp1
StepHypRef Expression
1 eupthp1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupthp1.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupthp1.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupthp1.a . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 eupthp1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
6 eupthp1.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
7 eupthp1.d . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8 eupthp1.p . . . 4 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9 eupthiswlk 27584 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
11 eupthp1.n . . 3 𝑁 = (♯‘𝐹)
12 eupthp1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
13 eupthp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
14 eupthp1.u . . . 4 (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16 eupthp1.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17 eupthp1.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18 eupthp1.s . . . 4 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
20 eupthp1.l . . 3 ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20wlkp1 26989 . 2 (𝜑𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
222eupthi 27575 . . . . 5 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
2311eqcomi 2834 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐹) = 𝑁
2423oveq2i 6921 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
25 f1oeq2 6372 . . . . . . . 8 ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
2726biimpi 208 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
2827adantl 475 . . . . 5 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
298, 22, 283syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
3011fvexi 6451 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
31 f1osng 6422 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
3230, 5, 31sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
33 dmsnopg 5851 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
3412, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
3534f1oeq3d 6379 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} ↔ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵}))
3632, 35mpbird 249 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
37 fzodisjsn 12808 . . . . 5 ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
3934ineq2d 4043 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐵}))
40 disjsn 4467 . . . . . 6 ((dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
417, 40sylibr 226 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅)
4239, 41eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)
43 f1oun 6401 . . . 4 (((𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ∧ (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ∧ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
4429, 36, 38, 42, 43syl22anc 872 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
4516a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
461, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16wlkp1lem2 26982 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
4746oveq2d 6926 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^(𝑁 + 1)))
48 wlkcl 26920 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4911eleq1i 2897 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
50 elnn0uz 12014 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
5149, 50sylbb1 229 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
5248, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (ℤ‘0))
538, 9, 523syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
54 fzosplitsn 12878 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
5553, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
5647, 55eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
57 dmun 5567 . . . . 5 dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
5857a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
5945, 56, 58f1oeq123d 6377 . . 3 (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
6044, 59mpbird 249 . 2 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
6114eqcomi 2834 . . 3 (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (iEdg‘𝑆)
6261iseupthf1o 27574 . 2 (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
6321, 60, 62sylanbrc 578 1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  Vcvv 3414  cun 3796  cin 3797  wss 3798  c0 4146  {csn 4399  {cpr 4401  cop 4405   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  Fun wfun 6121  1-1-ontowf1o 6126  cfv 6127  (class class class)co 6910  Fincfn 8228  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262  0cn0 11625  cuz 11975  ..^cfzo 12767  chash 13417  Vtxcvtx 26301  iEdgciedg 26302  Edgcedg 26352  Walkscwlks 26901  EulerPathsceupth 27569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-ifp 1090  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-wlks 26904  df-trls 27000  df-eupth 27570
This theorem is referenced by:  eupth2eucrct  27590
  Copyright terms: Public domain W3C validator