MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthp1 29736
Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© to become an Eulerian path ⟨𝐻, π‘„βŸ© of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 7-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthp1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eupthp1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eupthp1.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
eupthp1.a (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
eupthp1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
eupthp1.d (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eupthp1.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
eupthp1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
eupthp1.x (πœ‘ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), 𝐢} βŠ† 𝐸)
eupthp1.u (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})
eupthp1.h 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
eupthp1.q 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
eupthp1.s (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
eupthp1.l ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ 𝐸 = {𝐢})
Assertion
Ref Expression
eupthp1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)

Proof of Theorem eupthp1
StepHypRef Expression
1 eupthp1.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eupthp1.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eupthp1.f . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
4 eupthp1.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5 eupthp1.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
6 eupthp1.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
7 eupthp1.d . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
8 eupthp1.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
9 eupthiswlk 29732 . . . 4 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
11 eupthp1.n . . 3 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
12 eupthp1.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
13 eupthp1.x . . 3 (πœ‘ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), 𝐢} βŠ† 𝐸)
14 eupthp1.u . . . 4 (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})
1514a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
16 eupthp1.h . . 3 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
17 eupthp1.q . . 3 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
18 eupthp1.s . . . 4 (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
1918a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
20 eupthp1.l . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ 𝐸 = {𝐢})
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20wlkp1 29205 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄)
222eupthi 29723 . . . . 5 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼))
2311eqcomi 2739 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜πΉ) = 𝑁
2423oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^𝑁)
25 f1oeq2 6821 . . . . . . . 8 ((0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^𝑁) β†’ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’dom 𝐼))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
2726biimpi 215 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
2827adantl 480 . . . . 5 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼) β†’ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
298, 22, 283syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
3011fvexi 6904 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
31 f1osng 6873 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}:{𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝐡})
3230, 5, 31sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}:{𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝐡})
33 dmsnopg 6211 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ dom {⟨𝐡, 𝐸⟩} = {𝐡})
3412, 33syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom {⟨𝐡, 𝐸⟩} = {𝐡})
3534f1oeq3d 6829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨π‘, 𝐡⟩}:{𝑁}–1-1-ontoβ†’dom {⟨𝐡, 𝐸⟩} ↔ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}:{𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝐡}))
3632, 35mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}:{𝑁}–1-1-ontoβ†’dom {⟨𝐡, 𝐸⟩})
37 fzodisjsn 13674 . . . . 5 ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = βˆ…
3837a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = βˆ…)
3934ineq2d 4211 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐡, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐡}))
40 disjsn 4714 . . . . . 6 ((dom 𝐼 ∩ {𝐡}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
417, 40sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (dom 𝐼 ∩ {𝐡}) = βˆ…)
4239, 41eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐡, 𝐸⟩}) = βˆ…)
43 f1oun 6851 . . . 4 (((𝐹:(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 ∧ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}:{𝑁}–1-1-ontoβ†’dom {⟨𝐡, 𝐸⟩}) ∧ (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = βˆ… ∧ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐡, 𝐸⟩}) = βˆ…)) β†’ (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}):((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁})–1-1-ontoβ†’(dom 𝐼 βˆͺ dom {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
4429, 36, 38, 42, 43syl22anc 835 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}):((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁})–1-1-ontoβ†’(dom 𝐼 βˆͺ dom {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
4516a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}))
461, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16wlkp1lem2 29198 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») = (𝑁 + 1))
4746oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = (0..^(𝑁 + 1)))
48 wlkcl 29139 . . . . . . . 8 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
4911eleq1i 2822 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
50 elnn0uz 12871 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5149, 50sylbb1 236 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5248, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
538, 9, 523syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
54 fzosplitsn 13744 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁}))
5553, 54syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁}))
5647, 55eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁}))
57 dmun 5909 . . . . 5 dom (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 βˆͺ dom {⟨𝐡, 𝐸⟩})
5857a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 βˆͺ dom {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
5945, 56, 58f1oeq123d 6826 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}) ↔ (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}):((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁})–1-1-ontoβ†’(dom 𝐼 βˆͺ dom {⟨𝐡, 𝐸⟩})))
6044, 59mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
6114eqcomi 2739 . . 3 (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}) = (iEdgβ€˜π‘†)
6261iseupthf1o 29722 . 2 (𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄 ↔ (𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})))
6321, 60, 62sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Fun wfun 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Vtxcvtx 28523  iEdgciedg 28524  Edgcedg 28574  Walkscwlks 29120  EulerPathsceupth 29717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-wlks 29123  df-trls 29216  df-eupth 29718
This theorem is referenced by:  eupth2eucrct  29737
  Copyright terms: Public domain W3C validator