Theorem eupthp1 30152

Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to become an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 7-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
eupthp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
eupthp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u	⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})

Assertion

Ref	Expression
eupthp1	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthp1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupthp1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthp1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		eupthp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		eupthp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		eupthp1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		eupthp1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8		eupthp1.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9		eupthiswlk 30148	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
11		eupthp1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
12		eupthp1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
13		eupthp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
14		eupthp1.u	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16		eupthp1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17		eupthp1.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18		eupthp1.s	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
20		eupthp1.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20	wlkp1 29616	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
22	2	eupthi 30139	. . . . 5 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
23	11	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
24	23	oveq2i 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
25		f1oeq2 6796	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
27	26	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
29	8, 22, 28	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
30	11	fvexi 6879	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ V
31		f1osng 6848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
32	30, 5, 31	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
33		dmsnopg 6194	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
34	12, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
35	34	f1oeq3d 6804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} ↔ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵}))
36	32, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
37		fzodisjsn 13671	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
39	34	ineq2d 4191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐵}))
40		disjsn 4683	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
41	7, 40	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅)
42	39, 41	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)
43		f1oun 6826	. . . 4 ⊢ (((𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ∧ (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ∧ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
44	29, 36, 38, 42, 43	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
45	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
46	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16	wlkp1lem2 29609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
47	46	oveq2d 7410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^(𝑁 + 1)))
48		wlkcl 29550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
49	11	eleq1i 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
50		elnn0uz 12854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
51	49, 50	sylbb1 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
52	48, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
53	8, 9, 52	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
54		fzosplitsn 13748	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
56	47, 55	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
57		dmun 5882	. . . . 5 ⊢ dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
58	57	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
59	45, 56, 58	f1oeq123d 6801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
60	44, 59	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
61	14	eqcomi 2739	. . 3 ⊢ (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (iEdg‘𝑆)
62	61	iseupthf1o 30138	. 2 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
63	21, 60, 62	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3455   ∪ cun 3920   ∩ cin 3921   ⊆ wss 3922  ∅c0 4304  {csn 4597  {cpr 4599  ⟨cop 4603   class class class wbr 5115  dom cdm 5646  Fun wfun 6513  –1-1-onto→wf1o 6518  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Fincfn 8922  0cc0 11086  1c1 11087   + caddc 11089  ℕ₀cn0 12458  ℤ_≥cuz 12809  ..^cfzo 13628  ♯chash 14305  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  Edgcedg 28981  Walkscwlks 29531  EulerPathsceupth 30133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-oadd 8447  df-er 8682  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-dju 9872  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-hash 14306  df-word 14489  df-wlks 29534  df-trls 29627  df-eupth 30134

This theorem is referenced by:  eupth2eucrct  30153