Theorem eupth0 30176

Description: There is an Eulerian path on an empty graph, i.e. a graph with at least one vertex, but without an edge. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupth0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Proof of Theorem eupth0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩})
2		eupth0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	is0wlk 30079	. . . 4 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩} ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
4	1, 3	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
5		f1o0 6805	. . . 4 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
6		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅ = ∅)
7		hash0 14292	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
8	7	oveq2i 7364	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
9		fzo0 13604	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
10	8, 9	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = ∅
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → (0..^(♯‘∅)) = ∅)
12		dmeq 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = dom ∅)
13		dm0 5867	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = ∅)
15	6, 11, 14	f1oeq123d 6762	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → (∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
16	5, 15	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)
17	4, 16	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
18		eupth0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
19	18	iseupthf1o 30164	. 2 ⊢ (∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ↔ (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
20	17, 19	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  {csn 4579  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Vtxcvtx 28959  iEdgciedg 28960  Walkscwlks 29560  EulerPathsceupth 30159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-wlks 29563  df-trls 29654  df-eupth 30160

This theorem is referenced by: (None)