Theorem eupth0 29467

Description: There is an Eulerian path on an empty graph, i.e. a graph with at least one vertex, but without an edge. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupth0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Proof of Theorem eupth0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩})
2		eupth0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	is0wlk 29370	. . . 4 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩} ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
4	1, 3	mpancom 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
5		f1o0 6871	. . . 4 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
6		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅ = ∅)
7		hash0 14327	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
8	7	oveq2i 7420	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
9		fzo0 13656	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
10	8, 9	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = ∅
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → (0..^(♯‘∅)) = ∅)
12		dmeq 5904	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = dom ∅)
13		dm0 5921	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = ∅)
15	6, 11, 14	f1oeq123d 6828	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → (∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
16	5, 15	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)
17	4, 16	anim12i 614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
18		eupth0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
19	18	iseupthf1o 29455	. 2 ⊢ (∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ↔ (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
20	17, 19	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4323  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  ..^cfzo 13627  ♯chash 14290  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  Walkscwlks 28853  EulerPathsceupth 29450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-wlks 28856  df-trls 28949  df-eupth 29451

This theorem is referenced by: (None)