Theorem eupth0 27991

Description: There is an Eulerian path on an empty graph, i.e. a graph with at least one vertex, but without an edge. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupth0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Proof of Theorem eupth0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2821	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩})
2		eupth0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	is0wlk 27894	. . . 4 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩} ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
4	1, 3	mpancom 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
5		f1o0 6644	. . . 4 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
6		eqidd 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅ = ∅)
7		hash0 13725	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
8	7	oveq2i 7160	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
9		fzo0 13058	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
10	8, 9	eqtri 2843	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = ∅
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → (0..^(♯‘∅)) = ∅)
12		dmeq 5765	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = dom ∅)
13		dm0 5783	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
14	12, 13	syl6eq 2871	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = ∅)
15	6, 11, 14	f1oeq123d 6603	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → (∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
16	5, 15	mpbiri 260	. . 3 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)
17	4, 16	anim12i 614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
18		eupth0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
19	18	iseupthf1o 27979	. 2 ⊢ (∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ↔ (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
20	17, 19	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∅c0 4284  {csn 4560  ⟨cop 4566   class class class wbr 5059  dom cdm 5548  –1-1-onto→wf1o 6347  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  0cc0 10530  ..^cfzo 13030  ♯chash 13687  Vtxcvtx 26779  iEdgciedg 26780  Walkscwlks 27376  EulerPathsceupth 27974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-hash 13688  df-word 13859  df-wlks 27379  df-trls 27472  df-eupth 27975

This theorem is referenced by: (None)