MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth0 30243
Description: There is an Eulerian path on an empty graph, i.e. a graph with at least one vertex, but without an edge. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
eupth0 ((𝐴𝑉𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Proof of Theorem eupth0
StepHypRef Expression
1 eqidd 2736 . . . 4 (𝐴𝑉 → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩})
2 eupth0.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32is0wlk 30146 . . . 4 (({⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩} ∧ 𝐴𝑉) → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
41, 3mpancom 688 . . 3 (𝐴𝑉 → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
5 f1o0 6886 . . . 4 ∅:∅–1-1-onto→∅
6 eqidd 2736 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → ∅ = ∅)
7 hash0 14403 . . . . . . . 8 (♯‘∅) = 0
87oveq2i 7442 . . . . . . 7 (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
9 fzo0 13720 . . . . . . 7 (0..^0) = ∅
108, 9eqtri 2763 . . . . . 6 (0..^(♯‘∅)) = ∅
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → (0..^(♯‘∅)) = ∅)
12 dmeq 5917 . . . . . 6 (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = dom ∅)
13 dm0 5934 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
1412, 13eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = ∅)
156, 11, 14f1oeq123d 6843 . . . 4 (𝐼 = ∅ → (∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
165, 15mpbiri 258 . . 3 (𝐼 = ∅ → ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)
174, 16anim12i 613 . 2 ((𝐴𝑉𝐼 = ∅) → (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
18 eupth0.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1918iseupthf1o 30231 . 2 (∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ↔ (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
2017, 19sylibr 234 1 ((𝐴𝑉𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  c0 4339  {csn 4631  cop 4637   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ..^cfzo 13691  chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Walkscwlks 29629  EulerPathsceupth 30226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-eupth 30227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator