MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth0 27997
Description: There is an Eulerian path on an empty graph, i.e. a graph with at least one vertex, but without an edge. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
eupth0 ((𝐴𝑉𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Proof of Theorem eupth0
StepHypRef Expression
1 eqidd 2823 . . . 4 (𝐴𝑉 → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩})
2 eupth0.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32is0wlk 27900 . . . 4 (({⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩} ∧ 𝐴𝑉) → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
41, 3mpancom 687 . . 3 (𝐴𝑉 → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
5 f1o0 6633 . . . 4 ∅:∅–1-1-onto→∅
6 eqidd 2823 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → ∅ = ∅)
7 hash0 13724 . . . . . . . 8 (♯‘∅) = 0
87oveq2i 7151 . . . . . . 7 (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
9 fzo0 13056 . . . . . . 7 (0..^0) = ∅
108, 9eqtri 2845 . . . . . 6 (0..^(♯‘∅)) = ∅
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → (0..^(♯‘∅)) = ∅)
12 dmeq 5749 . . . . . 6 (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = dom ∅)
13 dm0 5767 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
1412, 13syl6eq 2873 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = ∅)
156, 11, 14f1oeq123d 6592 . . . 4 (𝐼 = ∅ → (∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
165, 15mpbiri 261 . . 3 (𝐼 = ∅ → ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)
174, 16anim12i 615 . 2 ((𝐴𝑉𝐼 = ∅) → (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
18 eupth0.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1918iseupthf1o 27985 . 2 (∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ↔ (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
2017, 19sylibr 237 1 ((𝐴𝑉𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  c0 4265  {csn 4539  cop 4545   class class class wbr 5042  dom cdm 5532  1-1-ontowf1o 6333  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  ..^cfzo 13028  chash 13686  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  Walkscwlks 27384  EulerPathsceupth 27980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-wlks 27387  df-trls 27480  df-eupth 27981
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator