Theorem eupth0 30284

Description: There is an Eulerian path on an empty graph, i.e. a graph with at least one vertex, but without an edge. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupth0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Proof of Theorem eupth0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩})
2		eupth0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	is0wlk 30187	. . . 4 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩} ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
4	1, 3	mpancom 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
5		f1o0 6817	. . . 4 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
6		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅ = ∅)
7		hash0 14329	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
8	7	oveq2i 7378	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
9		fzo0 13638	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
10	8, 9	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = ∅
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → (0..^(♯‘∅)) = ∅)
12		dmeq 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = dom ∅)
13		dm0 5875	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = ∅)
15	6, 11, 14	f1oeq123d 6774	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → (∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
16	5, 15	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)
17	4, 16	anim12i 614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
18		eupth0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
19	18	iseupthf1o 30272	. 2 ⊢ (∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ↔ (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
20	17, 19	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  {csn 4567  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Vtxcvtx 29065  iEdgciedg 29066  Walkscwlks 29665  EulerPathsceupth 30267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-wlks 29668  df-trls 29759  df-eupth 30268

This theorem is referenced by: (None)