Theorem eupth0 28866

Description: There is an Eulerian path on an empty graph, i.e. a graph with at least one vertex, but without an edge. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupth0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Proof of Theorem eupth0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩})
2		eupth0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	is0wlk 28769	. . . 4 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩} ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
4	1, 3	mpancom 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
5		f1o0 6809	. . . 4 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
6		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅ = ∅)
7		hash0 14187	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
8	7	oveq2i 7353	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
9		fzo0 13517	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
10	8, 9	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = ∅
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → (0..^(♯‘∅)) = ∅)
12		dmeq 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = dom ∅)
13		dm0 5867	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = ∅)
15	6, 11, 14	f1oeq123d 6766	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → (∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
16	5, 15	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)
17	4, 16	anim12i 614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
18		eupth0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
19	18	iseupthf1o 28854	. 2 ⊢ (∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ↔ (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
20	17, 19	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4274  {csn 4578  ⟨cop 4584   class class class wbr 5097  dom cdm 5625  –1-1-onto→wf1o 6483  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  0cc0 10977  ..^cfzo 13488  ♯chash 14150  Vtxcvtx 27655  iEdgciedg 27656  Walkscwlks 28252  EulerPathsceupth 28849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-hash 14151  df-word 14323  df-wlks 28255  df-trls 28348  df-eupth 28850

This theorem is referenced by: (None)