MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishaus2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishaus2 21631
Description: Express the predicate "𝐽 is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
ishaus2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem ishaus2
StepHypRef Expression
1 topontop 21193 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2 eqid 2793 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
32ishaus 21602 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
43baib 536 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
51, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
6 toponuni 21194 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
76raleqdv 3372 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (∀𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅)) ↔ ∀𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
86, 7raleqbidv 3358 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅)) ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
95, 8bitr4d 283 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  wral 3103  wrex 3104  cin 3853  c0 4206   cuni 4739  cfv 6217  Topctop 21173  TopOnctopon 21190  Hauscha 21588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fv 6225  df-topon 21191  df-haus 21595
This theorem is referenced by:  hausnei2  21633  ordthaus  21664  regr1lem2  22020  methaus  22801
  Copyright terms: Public domain W3C validator