MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishaus2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishaus2 23360
Description: Express the predicate "𝐽 is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
ishaus2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem ishaus2
StepHypRef Expression
1 topontop 22920 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2 eqid 2736 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
32ishaus 23331 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
43baib 535 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
51, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
6 toponuni 22921 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
76raleqdv 3325 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (∀𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅)) ↔ ∀𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
86, 7raleqbidv 3345 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅)) ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
95, 8bitr4d 282 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑛𝐽𝑚𝐽 (𝑥𝑛𝑦𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  cin 3949  c0 4332   cuni 4906  cfv 6560  Topctop 22900  TopOnctopon 22917  Hauscha 23317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-topon 22918  df-haus 23324
This theorem is referenced by:  hausnei2  23362  ordthaus  23393  regr1lem2  23749  methaus  24534
  Copyright terms: Public domain W3C validator