Theorem ishaus2 23236

Description: Express the predicate "𝐽 is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ishaus2	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑛 ∈ 𝐽 ∃𝑚 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem ishaus2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 22798	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	ishaus 23207	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑛 ∈ 𝐽 ∃𝑚 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))
4	3	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑛 ∈ 𝐽 ∃𝑚 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑛 ∈ 𝐽 ∃𝑚 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))
6		toponuni 22799	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	6	raleqdv 3289	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑛 ∈ 𝐽 ∃𝑚 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅)) ↔ ∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑛 ∈ 𝐽 ∃𝑚 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))
8	6, 7	raleqbidv 3309	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑛 ∈ 𝐽 ∃𝑚 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑛 ∈ 𝐽 ∃𝑚 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))
9	5, 8	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑛 ∈ 𝐽 ∃𝑚 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3902  ∅c0 4284  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6482  Topctop 22778  TopOnctopon 22795  Hauscha 23193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-topon 22796  df-haus 23200

This theorem is referenced by:  hausnei2  23238  ordthaus  23269  regr1lem2  23625  methaus  24406