Theorem ordthaus 23308

Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordthaus	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	ordthauslem 23307	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
3	1	ordthauslem 23307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦 ≠ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))
4		necom 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5		3ancoma 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
6		incom 4203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∩ 𝑚) = (𝑚 ∩ 𝑛)
7	6	eqeq1i 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∩ 𝑚) = ∅ ↔ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)
8	7	3anbi3i 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
9	5, 8	bitri 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
10	9	2rexbii 3126	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
11		rexcom 3285	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
12	10, 11	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
13	4, 12	imbi12i 349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ≠ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅)) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
14	3, 13	imbitrdi 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
15	14	3com23 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
16	1	tsrlin 18584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
17	2, 15, 16	mpjaod 858	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
18	17	3expb 1117	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
19	18	ralrimivva 3198	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
20	1	ordttopon 23117	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
21		ishaus2 23275	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
23	19, 22	mpbird 256	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ∩ cin 3948  ∅c0 4326   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  ‘cfv 6553  ordTopcordt 17488   TosetRel ctsr 18564  TopOnctopon 22832  Hauscha 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-fin 8974  df-fi 9442  df-topgen 17432  df-ordt 17490  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-haus 23239

This theorem is referenced by:  xrhaus  23309  xrge0tsms  24770  xrge0tsmsd  32792