MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthaus 22751
Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 dom 𝑅 = dom 𝑅
21ordthauslem 22750 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (π‘₯𝑅𝑦 β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
31ordthauslem 22750 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ (𝑦𝑅π‘₯ β†’ (𝑦 β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))))
4 necom 2994 . . . . . . . 8 (𝑦 β‰  π‘₯ ↔ π‘₯ β‰  𝑦)
5 3ancoma 1099 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
6 incom 4162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∩ π‘š) = (π‘š ∩ 𝑛)
76eqeq1i 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∩ π‘š) = βˆ… ↔ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)
873anbi3i 1160 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
95, 8bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
1092rexbii 3125 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
11 rexcom 3272 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
1210, 11bitri 275 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
134, 12imbi12i 351 . . . . . . 7 ((𝑦 β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)) ↔ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
143, 13syl6ib 251 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ (𝑦𝑅π‘₯ β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
15143com23 1127 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (𝑦𝑅π‘₯ β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
161tsrlin 18479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (π‘₯𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅π‘₯))
172, 15, 16mpjaod 859 . . . 4 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
18173expb 1121 . . 3 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
1918ralrimivva 3194 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom π‘…βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑅(π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
201ordttopon 22560 . . 3 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜dom 𝑅))
21 ishaus2 22718 . . 3 ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜dom 𝑅) β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘₯ ∈ dom π‘…βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑅(π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
2220, 21syl 17 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘₯ ∈ dom π‘…βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑅(π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
2319, 22mpbird 257 1 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3910  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  ordTopcordt 17386   TosetRel ctsr 18459  TopOnctopon 22275  Hauscha 22675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-fin 8890  df-fi 9352  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-haus 22682
This theorem is referenced by:  xrhaus  22752  xrge0tsms  24213  xrge0tsmsd  31948
  Copyright terms: Public domain W3C validator