Theorem ordthaus 23330

Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordthaus	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	ordthauslem 23329	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
3	1	ordthauslem 23329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦 ≠ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))
4		necom 2985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5		3ancoma 1097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
6		incom 4161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∩ 𝑚) = (𝑚 ∩ 𝑛)
7	6	eqeq1i 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∩ 𝑚) = ∅ ↔ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)
8	7	3anbi3i 1159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
9	5, 8	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
10	9	2rexbii 3112	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
11		rexcom 3265	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
12	10, 11	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
13	4, 12	imbi12i 350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ≠ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅)) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
14	3, 13	imbitrdi 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
15	14	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
16	1	tsrlin 18510	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
17	2, 15, 16	mpjaod 860	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
18	17	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
19	18	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
20	1	ordttopon 23139	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
21		ishaus2 23297	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
23	19, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∩ cin 3900  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  ordTopcordt 17422   TosetRel ctsr 18490  TopOnctopon 22856  Hauscha 23254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-2o 8398  df-en 8886  df-fin 8889  df-fi 9316  df-topgen 17365  df-ordt 17424  df-ps 18491  df-tsr 18492  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22892  df-haus 23261

This theorem is referenced by:  xrhaus  23331  xrge0tsms  24781  xrge0tsmsd  33157