MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthaus 23109
Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . . 6 dom 𝑅 = dom 𝑅
21ordthauslem 23108 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (π‘₯𝑅𝑦 β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
31ordthauslem 23108 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ (𝑦𝑅π‘₯ β†’ (𝑦 β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))))
4 necom 2993 . . . . . . . 8 (𝑦 β‰  π‘₯ ↔ π‘₯ β‰  𝑦)
5 3ancoma 1097 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
6 incom 4201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∩ π‘š) = (π‘š ∩ 𝑛)
76eqeq1i 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∩ π‘š) = βˆ… ↔ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)
873anbi3i 1158 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
95, 8bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
1092rexbii 3128 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
11 rexcom 3286 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
1210, 11bitri 275 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
134, 12imbi12i 350 . . . . . . 7 ((𝑦 β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ π‘₯ ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)) ↔ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
143, 13imbitrdi 250 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ (𝑦𝑅π‘₯ β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
15143com23 1125 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (𝑦𝑅π‘₯ β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
161tsrlin 18543 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (π‘₯𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅π‘₯))
172, 15, 16mpjaod 857 . . . 4 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
18173expb 1119 . . 3 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
1918ralrimivva 3199 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom π‘…βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑅(π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
201ordttopon 22918 . . 3 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜dom 𝑅))
21 ishaus2 23076 . . 3 ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜dom 𝑅) β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘₯ ∈ dom π‘…βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑅(π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
2220, 21syl 17 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘₯ ∈ dom π‘…βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑅(π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (ordTopβ€˜π‘…)βˆƒπ‘› ∈ (ordTopβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
2319, 22mpbird 257 1 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  ordTopcordt 17450   TosetRel ctsr 18523  TopOnctopon 22633  Hauscha 23033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7860  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9410  df-topgen 17394  df-ordt 17452  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-haus 23040
This theorem is referenced by:  xrhaus  23110  xrge0tsms  24571  xrge0tsmsd  32480
  Copyright terms: Public domain W3C validator