MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthaus 21410
Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . . 6 dom 𝑅 = dom 𝑅
21ordthauslem 21409 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
31ordthauslem 21409 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
4 necom 2996 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥𝑥𝑦)
5 3ancoma 1083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
6 incom 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑚) = (𝑚𝑛)
76eqeq1i 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑚) = ∅ ↔ (𝑚𝑛) = ∅)
873anbi3i 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
95, 8bitri 264 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
1092rexbii 3190 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
11 rexcom 3247 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
1210, 11bitri 264 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
134, 12imbi12i 339 . . . . . . 7 ((𝑦𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅)) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
143, 13syl6ib 241 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
15143com23 1120 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
161tsrlin 17428 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
172, 15, 16mpjaod 841 . . . 4 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
18173expb 1113 . . 3 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
1918ralrimivva 3120 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
201ordttopon 21219 . . 3 (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
21 ishaus2 21377 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
2220, 21syl 17 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
2319, 22mpbird 247 1 (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  cin 3723  c0 4064   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  cfv 6032  ordTopcordt 16368   TosetRel ctsr 17408  TopOnctopon 20936  Hauscha 21334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-en 8111  df-fin 8114  df-fi 8474  df-topgen 16313  df-ordt 16370  df-ps 17409  df-tsr 17410  df-top 20920  df-topon 20937  df-bases 20972  df-haus 21341
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  22858  xrhaus  29876  xrge0tsmsd  30126
  Copyright terms: Public domain W3C validator