Theorem ordthaus 23510

Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordthaus	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	ordthauslem 23509	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
3	1	ordthauslem 23509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦 ≠ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))
4		necom 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5		3ancoma 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
6		incom 4170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∩ 𝑚) = (𝑚 ∩ 𝑛)
7	6	eqeq1i 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∩ 𝑚) = ∅ ↔ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)
8	7	3anbi3i 1175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
9	5, 8	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
10	9	2rexbii 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
11		rexcom 3300	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
12	10, 11	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
13	4, 12	imbi12i 353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ≠ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅)) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
14	3, 13	imbitrdi 254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
15	14	3com23 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
16	1	tsrlin 18641	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
17	2, 15, 16	mpjaod 873	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
18	17	3expb 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
19	18	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
20	1	ordttopon 23319	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
21		ishaus2 23477	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
22	20, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
23	19, 22	mpbird 260	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ∩ cin 3912  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  ordTopcordt 17553   TosetRel ctsr 18621  TopOnctopon 23036  Hauscha 23434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7863  df-1o 8453  df-2o 8454  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9371  df-topgen 17496  df-ordt 17555  df-ps 18622  df-tsr 18623  df-top 23020  df-topon 23037  df-bases 23072  df-haus 23441

This theorem is referenced by:  xrhaus  23511  xrge0tsms  24961  xrge0tsmsd  33334