MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthaus 21402
Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2806 . . . . . 6 dom 𝑅 = dom 𝑅
21ordthauslem 21401 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
31ordthauslem 21401 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
4 necom 3031 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥𝑥𝑦)
5 3ancoma 1112 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
6 incom 4004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑚) = (𝑚𝑛)
76eqeq1i 2811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑚) = ∅ ↔ (𝑚𝑛) = ∅)
873anbi3i 1191 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
95, 8bitri 266 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
1092rexbii 3230 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
11 rexcom 3287 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
1210, 11bitri 266 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
134, 12imbi12i 341 . . . . . . 7 ((𝑦𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅)) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
143, 13syl6ib 242 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
15143com23 1149 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
161tsrlin 17424 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
172, 15, 16mpjaod 878 . . . 4 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
18173expb 1142 . . 3 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
1918ralrimivva 3159 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
201ordttopon 21211 . . 3 (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
21 ishaus2 21369 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
2220, 21syl 17 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
2319, 22mpbird 248 1 (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  cin 3768  c0 4116   class class class wbr 4844  dom cdm 5311  cfv 6101  ordTopcordt 16364   TosetRel ctsr 17404  TopOnctopon 20928  Hauscha 21326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-en 8193  df-fin 8196  df-fi 8556  df-topgen 16309  df-ordt 16366  df-ps 17405  df-tsr 17406  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-haus 21333
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  22850  xrhaus  29862  xrge0tsmsd  30110
  Copyright terms: Public domain W3C validator