Theorem ordthaus 23413

Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordthaus	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	ordthauslem 23412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
3	1	ordthauslem 23412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦 ≠ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))
4		necom 3000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5		3ancoma 1098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
6		incom 4230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∩ 𝑚) = (𝑚 ∩ 𝑛)
7	6	eqeq1i 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∩ 𝑚) = ∅ ↔ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)
8	7	3anbi3i 1159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
9	5, 8	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
10	9	2rexbii 3135	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
11		rexcom 3296	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
12	10, 11	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
13	4, 12	imbi12i 350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ≠ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅)) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
14	3, 13	imbitrdi 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
15	14	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
16	1	tsrlin 18655	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
17	2, 15, 16	mpjaod 859	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
18	17	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
19	18	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
20	1	ordttopon 23222	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
21		ishaus2 23380	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
23	19, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  ordTopcordt 17559   TosetRel ctsr 18635  TopOnctopon 22937  Hauscha 23337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-2o 8523  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480  df-topgen 17503  df-ordt 17561  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-haus 23344

This theorem is referenced by:  xrhaus  23414  xrge0tsms  24875  xrge0tsmsd  33041