MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthaus 22136
Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . . 6 dom 𝑅 = dom 𝑅
21ordthauslem 22135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
31ordthauslem 22135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
4 necom 2987 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥𝑥𝑦)
5 3ancoma 1099 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
6 incom 4092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑚) = (𝑚𝑛)
76eqeq1i 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑚) = ∅ ↔ (𝑚𝑛) = ∅)
873anbi3i 1160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
95, 8bitri 278 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
1092rexbii 3162 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
11 rexcom 3259 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
1210, 11bitri 278 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
134, 12imbi12i 354 . . . . . . 7 ((𝑦𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅)) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
143, 13syl6ib 254 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
15143com23 1127 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
161tsrlin 17946 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
172, 15, 16mpjaod 859 . . . 4 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
18173expb 1121 . . 3 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
1918ralrimivva 3103 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
201ordttopon 21945 . . 3 (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
21 ishaus2 22103 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
2220, 21syl 17 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
2319, 22mpbird 260 1 (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  cin 3843  c0 4212   class class class wbr 5031  dom cdm 5526  cfv 6340  ordTopcordt 16876   TosetRel ctsr 17926  TopOnctopon 21662  Hauscha 22060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-om 7601  df-1o 8132  df-er 8321  df-en 8557  df-fin 8560  df-fi 8949  df-topgen 16821  df-ordt 16878  df-ps 17927  df-tsr 17928  df-top 21646  df-topon 21663  df-bases 21698  df-haus 22067
This theorem is referenced by:  xrhaus  22137  xrge0tsms  23587  xrge0tsmsd  30894
  Copyright terms: Public domain W3C validator