Theorem ordthaus 23595

Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordthaus	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	ordthauslem 23594	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
3	1	ordthauslem 23594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦 ≠ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))))
4		necom 3013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5		3ancoma 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
6		incom 4162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∩ 𝑚) = (𝑚 ∩ 𝑛)
7	6	eqeq1i 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∩ 𝑚) = ∅ ↔ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)
8	7	3anbi3i 1177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
9	5, 8	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
10	9	2rexbii 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
11		rexcom 3296	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
12	10, 11	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
13	4, 12	imbi12i 353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ≠ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑚 ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅)) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
14	3, 13	imbitrdi 254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
15	14	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
16	1	tsrlin 18667	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
17	2, 15, 16	mpjaod 874	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
18	17	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
19	18	ralrimivva 3210	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
20	1	ordttopon 23404	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
21		ishaus2 23562	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
22	20, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅∀𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
23	19, 22	mpbird 260	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∩ cin 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  ordTopcordt 17579   TosetRel ctsr 18647  TopOnctopon 23121  Hauscha 23519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1o 8459  df-2o 8460  df-en 8950  df-fin 8953  df-fi 9378  df-topgen 17522  df-ordt 17581  df-ps 18648  df-tsr 18649  df-top 23105  df-topon 23122  df-bases 23157  df-haus 23526

This theorem is used by:  xrhaus  23596  xrge0tsms  25047  xrge0tsmsd  33461