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Theorem regr1lem2 23244
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
Assertion
Ref Expression
regr1lem2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Haus)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem regr1lem2
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑀 𝑧 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
2 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
4 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
5 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
6 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
7 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7regr1lem 23243 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ (𝑧 ∈ π‘Ž β†’ 𝑀 ∈ π‘Ž))
9 3ancoma 1099 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
10 incom 4202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∩ 𝑛) = (𝑛 ∩ π‘š)
1110eqeq1i 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)
12113anbi3i 1160 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
139, 12bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
14132rexbii 3130 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
15 rexcom 3288 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
1614, 15bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
177, 16sylnib 328 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
181, 2, 3, 5, 4, 6, 17regr1lem 23243 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ (𝑀 ∈ π‘Ž β†’ 𝑧 ∈ π‘Ž))
198, 18impbid 211 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ (𝑧 ∈ π‘Ž ↔ 𝑀 ∈ π‘Ž))
2019expr 458 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ π‘Ž ↔ 𝑀 ∈ π‘Ž)))
2120ralrimdva 3155 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ π‘Ž ↔ 𝑀 ∈ π‘Ž)))
221kqfeq 23228 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑀 ∈ 𝑦)))
23 elequ2 2122 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ π‘Ž))
24 elequ2 2122 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑀 ∈ 𝑦 ↔ 𝑀 ∈ π‘Ž))
2523, 24bibi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑀 ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ π‘Ž ↔ 𝑀 ∈ π‘Ž)))
2625cbvralvw 3235 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑀 ∈ 𝑦) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ π‘Ž ↔ 𝑀 ∈ π‘Ž))
2722, 26bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ π‘Ž ↔ 𝑀 ∈ π‘Ž)))
28273expb 1121 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ π‘Ž ↔ 𝑀 ∈ π‘Ž)))
2928adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ π‘Ž ↔ 𝑀 ∈ π‘Ž)))
3021, 29sylibrd 259 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€)))
3130necon1ad 2958 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
3231ralrimivva 3201 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
331kqffn 23229 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
3433adantr 482 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
35 neeq1 3004 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 ↔ (πΉβ€˜π‘§) β‰  𝑏))
36 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘Ž ∈ π‘š ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š))
37363anbi1d 1441 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((π‘Ž ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
38372rexbidv 3220 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)(π‘Ž ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
3935, 38imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘Ž = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)(π‘Ž ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
4039ralbidv 3178 . . . . . 6 (π‘Ž = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ran 𝐹(π‘Ž β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)(π‘Ž ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)) ↔ βˆ€π‘ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘§) β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
4140ralrn 7090 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ran πΉβˆ€π‘ ∈ ran 𝐹(π‘Ž β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)(π‘Ž ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘§) β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
42 neeq2 3005 . . . . . . . 8 (𝑏 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) β‰  𝑏 ↔ (πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€)))
43 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (𝑏 ∈ 𝑛 ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛))
44433anbi2d 1442 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
45442rexbidv 3220 . . . . . . . 8 (𝑏 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
4642, 45imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑏 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
4746ralrn 7090 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘§) β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
4847ralbidv 3178 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘§) β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
4941, 48bitrd 279 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ran πΉβˆ€π‘ ∈ ran 𝐹(π‘Ž β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)(π‘Ž ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
5034, 49syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ran πΉβˆ€π‘ ∈ ran 𝐹(π‘Ž β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)(π‘Ž ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
5132, 50mpbird 257 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ran πΉβˆ€π‘ ∈ ran 𝐹(π‘Ž β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)(π‘Ž ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
521kqtopon 23231 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹))
5352adantr 482 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹))
54 ishaus2 22855 . . 3 ((KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹) β†’ ((KQβ€˜π½) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ran πΉβˆ€π‘ ∈ ran 𝐹(π‘Ž β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)(π‘Ž ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
5553, 54syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ ((KQβ€˜π½) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ran πΉβˆ€π‘ ∈ ran 𝐹(π‘Ž β‰  𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)(π‘Ž ∈ π‘š ∧ 𝑏 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
5651, 55mpbird 257 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  TopOnctopon 22412  Hauscha 22812  Regcreg 22813  KQckq 23197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-qtop 17453  df-top 22396  df-topon 22413  df-cld 22523  df-cls 22525  df-haus 22819  df-reg 22820  df-kq 23198
This theorem is referenced by:  regr1  23254
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