Theorem topontop 23141

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 23140	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6533  Topctop 23121  TopOnctopon 23138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-topon 23139

This theorem is used by:  topontopi  23143  topontopon  23147  toprntopon  23153  toponmax  23154  topgele  23158  istps  23162  en2top  23213  pptbas  23236  toponmre  23321  cldmreon  23322  iscldtop  23323  neiptopreu  23361  resttopon  23389  resttopon2  23396  restlp  23411  restperf  23412  perfopn  23413  ordtopn3  23424  ordtcld1  23425  ordtcld2  23426  ordttop  23428  lmfval  23460  cnfval  23461  cnpfval  23462  tgcn  23480  tgcnp  23481  subbascn  23482  iscnp4  23491  iscncl  23497  cncls2  23501  cncls  23502  cnntr  23503  cncnp  23508  cnindis  23520  lmcls  23530  iscnrm2  23566  ist0-2  23572  ist1-2  23575  ishaus2  23579  hausnei2  23581  isreg2  23605  sscmp  23633  dfconn2  23647  clsconn  23658  conncompcld  23662  1stccnp  23691  locfincf  23760  kgenval  23764  kgenftop  23769  1stckgenlem  23782  kgen2ss  23784  txtopon  23820  pttopon  23825  txcls  23833  ptclsg  23844  dfac14lem  23846  xkoccn  23848  txcnp  23849  ptcnplem  23850  txlm  23877  cnmpt2res  23906  cnmptkp  23909  cnmptk1  23910  cnmpt1k  23911  cnmptkk  23912  cnmptk1p  23914  cnmptk2  23915  xkoinjcn  23916  qtoptopon  23933  qtopcld  23942  qtoprest  23946  qtopcmap  23948  kqval  23955  regr1lem  23968  kqreglem1  23970  kqreglem2  23971  kqnrmlem1  23972  kqnrmlem2  23973  kqtop  23974  pt1hmeo  24035  xpstopnlem1  24038  xkohmeo  24044  neifil  24109  trnei  24121  elflim  24200  flimss1  24202  flimopn  24204  fbflim2  24206  flimcf  24211  flimclslem  24213  flffval  24218  flfnei  24220  flftg  24225  cnpflf2  24229  isfcls2  24242  fclsopn  24243  fclsnei  24248  fclscf  24254  fclscmp  24259  fcfval  24262  fcfnei  24264  cnpfcf  24270  tgpmulg2  24323  tmdgsum  24324  tmdgsum2  24325  subgntr  24336  opnsubg  24337  clssubg  24338  clsnsg  24339  cldsubg  24340  snclseqg  24345  tgphaus  24346  qustgpopn  24349  prdstgpd  24354  tsmsgsum  24368  tsmsid  24369  tgptsmscld  24380  mopntop  24669  metdseq0  25084  cnmpopc  25159  ishtpy  25203  om1val  25261  pi1val  25268  csscld  25480  clsocv  25481  relcmpcmet  25549  bcth2  25561  limcres  26116  perfdvf  26133  dvaddbr  26168  dvmulbr  26169  dvcmulf  26175  dvmptres2  26192  dvmptcmul  26194  dvmptntr  26201  dvcnvlem  26206  lhop2  26245  lhop  26246  dvcnvrelem2  26248  taylthlem1  26612  zartop  34389  neibastop2  36983  neibastop3  36984  topjoin  36987  dissneqlem  38097  istopclsd  43548  dvresntr  46749