Theorem topontop 23039

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 23038	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∪ cuni 4876  ‘cfv 6537  Topctop 23019  TopOnctopon 23036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-topon 23037

This theorem is referenced by:  topontopi  23041  topontopon  23045  toprntopon  23051  toponmax  23052  topgele  23056  istps  23060  en2top  23111  pptbas  23134  toponmre  23219  cldmreon  23220  iscldtop  23221  neiptopreu  23259  resttopon  23287  resttopon2  23294  restlp  23309  restperf  23310  perfopn  23311  ordtopn3  23322  ordtcld1  23323  ordtcld2  23324  ordttop  23326  lmfval  23358  cnfval  23359  cnpfval  23360  tgcn  23378  tgcnp  23379  subbascn  23380  iscnp4  23389  iscncl  23395  cncls2  23399  cncls  23400  cnntr  23401  cncnp  23406  cnindis  23418  lmcls  23428  iscnrm2  23464  ist0-2  23470  ist1-2  23473  ishaus2  23477  hausnei2  23479  isreg2  23503  sscmp  23531  dfconn2  23545  clsconn  23556  conncompcld  23560  1stccnp  23588  locfincf  23657  kgenval  23661  kgenftop  23666  1stckgenlem  23679  kgen2ss  23681  txtopon  23717  pttopon  23722  txcls  23730  ptclsg  23741  dfac14lem  23743  xkoccn  23745  txcnp  23746  ptcnplem  23747  txlm  23774  cnmpt2res  23803  cnmptkp  23806  cnmptk1  23807  cnmpt1k  23808  cnmptkk  23809  cnmptk1p  23811  cnmptk2  23812  xkoinjcn  23813  qtoptopon  23830  qtopcld  23839  qtoprest  23843  qtopcmap  23845  kqval  23852  regr1lem  23865  kqreglem1  23867  kqreglem2  23868  kqnrmlem1  23869  kqnrmlem2  23870  kqtop  23871  pt1hmeo  23932  xpstopnlem1  23935  xkohmeo  23941  neifil  24006  trnei  24018  elflim  24097  flimss1  24099  flimopn  24101  fbflim2  24103  flimcf  24108  flimclslem  24110  flffval  24115  flfnei  24117  flftg  24122  cnpflf2  24126  isfcls2  24139  fclsopn  24140  fclsnei  24145  fclscf  24151  fclscmp  24156  fcfval  24159  fcfnei  24161  cnpfcf  24167  tgpmulg2  24220  tmdgsum  24221  tmdgsum2  24222  subgntr  24233  opnsubg  24234  clssubg  24235  clsnsg  24236  cldsubg  24237  snclseqg  24242  tgphaus  24243  qustgpopn  24246  prdstgpd  24251  tsmsgsum  24265  tsmsid  24266  tgptsmscld  24277  mopntop  24566  metdseq0  24981  cnmpopc  25056  ishtpy  25100  om1val  25158  pi1val  25165  csscld  25377  clsocv  25378  relcmpcmet  25446  bcth2  25458  limcres  26014  perfdvf  26031  dvaddbr  26066  dvmulbr  26067  dvcmulf  26073  dvmptres2  26090  dvmptcmul  26092  dvmptntr  26099  dvcnvlem  26104  lhop2  26143  lhop  26144  dvcnvrelem2  26146  taylthlem1  26502  zartop  34211  neibastop2  36761  neibastop3  36762  topjoin  36765  dissneqlem  37874  istopclsd  43323  dvresntr  46524