Theorem topontop 21970

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 21969	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4836  ‘cfv 6418  Topctop 21950  TopOnctopon 21967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-topon 21968

This theorem is referenced by:  topontopi  21972  topontopon  21976  toprntopon  21982  toponmax  21983  topgele  21987  istps  21991  en2top  22043  pptbas  22066  toponmre  22152  cldmreon  22153  iscldtop  22154  neiptopreu  22192  resttopon  22220  resttopon2  22227  restlp  22242  restperf  22243  perfopn  22244  ordtopn3  22255  ordtcld1  22256  ordtcld2  22257  ordttop  22259  lmfval  22291  cnfval  22292  cnpfval  22293  tgcn  22311  tgcnp  22312  subbascn  22313  iscnp4  22322  iscncl  22328  cncls2  22332  cncls  22333  cnntr  22334  cncnp  22339  cnindis  22351  lmcls  22361  iscnrm2  22397  ist0-2  22403  ist1-2  22406  ishaus2  22410  hausnei2  22412  isreg2  22436  sscmp  22464  dfconn2  22478  clsconn  22489  conncompcld  22493  1stccnp  22521  locfincf  22590  kgenval  22594  kgenftop  22599  1stckgenlem  22612  kgen2ss  22614  txtopon  22650  pttopon  22655  txcls  22663  ptclsg  22674  dfac14lem  22676  xkoccn  22678  txcnp  22679  ptcnplem  22680  txlm  22707  cnmpt2res  22736  cnmptkp  22739  cnmptk1  22740  cnmpt1k  22741  cnmptkk  22742  cnmptk1p  22744  cnmptk2  22745  xkoinjcn  22746  qtoptopon  22763  qtopcld  22772  qtoprest  22776  qtopcmap  22778  kqval  22785  regr1lem  22798  kqreglem1  22800  kqreglem2  22801  kqnrmlem1  22802  kqnrmlem2  22803  kqtop  22804  pt1hmeo  22865  xpstopnlem1  22868  xkohmeo  22874  neifil  22939  trnei  22951  elflim  23030  flimss1  23032  flimopn  23034  fbflim2  23036  flimcf  23041  flimclslem  23043  flffval  23048  flfnei  23050  flftg  23055  cnpflf2  23059  isfcls2  23072  fclsopn  23073  fclsnei  23078  fclscf  23084  fclscmp  23089  fcfval  23092  fcfnei  23094  cnpfcf  23100  tgpmulg2  23153  tmdgsum  23154  tmdgsum2  23155  subgntr  23166  opnsubg  23167  clssubg  23168  clsnsg  23169  cldsubg  23170  snclseqg  23175  tgphaus  23176  qustgpopn  23179  prdstgpd  23184  tsmsgsum  23198  tsmsid  23199  tgptsmscld  23210  mopntop  23501  metdseq0  23923  cnmpopc  23997  ishtpy  24041  om1val  24099  pi1val  24106  csscld  24318  clsocv  24319  relcmpcmet  24387  bcth2  24399  limcres  24955  perfdvf  24972  dvaddbr  25007  dvmulbr  25008  dvcmulf  25014  dvmptres2  25031  dvmptcmul  25033  dvmptntr  25040  dvcnvlem  25045  lhop2  25084  lhop  25085  dvcnvrelem2  25087  taylthlem1  25437  zartop  31728  neibastop2  34477  neibastop3  34478  topjoin  34481  dissneqlem  35438  istopclsd  40438  dvresntr  43349