Theorem topontop 22798

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 22797	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6482  Topctop 22778  TopOnctopon 22795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-topon 22796

This theorem is referenced by:  topontopi  22800  topontopon  22804  toprntopon  22810  toponmax  22811  topgele  22815  istps  22819  en2top  22870  pptbas  22893  toponmre  22978  cldmreon  22979  iscldtop  22980  neiptopreu  23018  resttopon  23046  resttopon2  23053  restlp  23068  restperf  23069  perfopn  23070  ordtopn3  23081  ordtcld1  23082  ordtcld2  23083  ordttop  23085  lmfval  23117  cnfval  23118  cnpfval  23119  tgcn  23137  tgcnp  23138  subbascn  23139  iscnp4  23148  iscncl  23154  cncls2  23158  cncls  23159  cnntr  23160  cncnp  23165  cnindis  23177  lmcls  23187  iscnrm2  23223  ist0-2  23229  ist1-2  23232  ishaus2  23236  hausnei2  23238  isreg2  23262  sscmp  23290  dfconn2  23304  clsconn  23315  conncompcld  23319  1stccnp  23347  locfincf  23416  kgenval  23420  kgenftop  23425  1stckgenlem  23438  kgen2ss  23440  txtopon  23476  pttopon  23481  txcls  23489  ptclsg  23500  dfac14lem  23502  xkoccn  23504  txcnp  23505  ptcnplem  23506  txlm  23533  cnmpt2res  23562  cnmptkp  23565  cnmptk1  23566  cnmpt1k  23567  cnmptkk  23568  cnmptk1p  23570  cnmptk2  23571  xkoinjcn  23572  qtoptopon  23589  qtopcld  23598  qtoprest  23602  qtopcmap  23604  kqval  23611  regr1lem  23624  kqreglem1  23626  kqreglem2  23627  kqnrmlem1  23628  kqnrmlem2  23629  kqtop  23630  pt1hmeo  23691  xpstopnlem1  23694  xkohmeo  23700  neifil  23765  trnei  23777  elflim  23856  flimss1  23858  flimopn  23860  fbflim2  23862  flimcf  23867  flimclslem  23869  flffval  23874  flfnei  23876  flftg  23881  cnpflf2  23885  isfcls2  23898  fclsopn  23899  fclsnei  23904  fclscf  23910  fclscmp  23915  fcfval  23918  fcfnei  23920  cnpfcf  23926  tgpmulg2  23979  tmdgsum  23980  tmdgsum2  23981  subgntr  23992  opnsubg  23993  clssubg  23994  clsnsg  23995  cldsubg  23996  snclseqg  24001  tgphaus  24002  qustgpopn  24005  prdstgpd  24010  tsmsgsum  24024  tsmsid  24025  tgptsmscld  24036  mopntop  24326  metdseq0  24741  cnmpopc  24820  ishtpy  24869  om1val  24928  pi1val  24935  csscld  25147  clsocv  25148  relcmpcmet  25216  bcth2  25228  limcres  25785  perfdvf  25802  dvaddbr  25838  dvmulbr  25839  dvmulbrOLD  25840  dvcmulf  25846  dvmptres2  25864  dvmptcmul  25866  dvmptntr  25873  dvcnvlem  25878  lhop2  25918  lhop  25919  dvcnvrelem2  25921  taylthlem1  26279  zartop  33843  neibastop2  36339  neibastop3  36340  topjoin  36343  dissneqlem  37318  istopclsd  42677  dvresntr  45903