MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topontop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem topontop 22285
Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
topontop (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop
StepHypRef Expression
1 istopon 22284 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 = βˆͺ 𝐽))
21simplbi 499 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐽 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆͺ cuni 4869  β€˜cfv 6500  Topctop 22265  TopOnctopon 22282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topon 22283
This theorem is referenced by:  topontopi  22287  topontopon  22291  toprntopon  22297  toponmax  22298  topgele  22302  istps  22306  en2top  22358  pptbas  22381  toponmre  22467  cldmreon  22468  iscldtop  22469  neiptopreu  22507  resttopon  22535  resttopon2  22542  restlp  22557  restperf  22558  perfopn  22559  ordtopn3  22570  ordtcld1  22571  ordtcld2  22572  ordttop  22574  lmfval  22606  cnfval  22607  cnpfval  22608  tgcn  22626  tgcnp  22627  subbascn  22628  iscnp4  22637  iscncl  22643  cncls2  22647  cncls  22648  cnntr  22649  cncnp  22654  cnindis  22666  lmcls  22676  iscnrm2  22712  ist0-2  22718  ist1-2  22721  ishaus2  22725  hausnei2  22727  isreg2  22751  sscmp  22779  dfconn2  22793  clsconn  22804  conncompcld  22808  1stccnp  22836  locfincf  22905  kgenval  22909  kgenftop  22914  1stckgenlem  22927  kgen2ss  22929  txtopon  22965  pttopon  22970  txcls  22978  ptclsg  22989  dfac14lem  22991  xkoccn  22993  txcnp  22994  ptcnplem  22995  txlm  23022  cnmpt2res  23051  cnmptkp  23054  cnmptk1  23055  cnmpt1k  23056  cnmptkk  23057  cnmptk1p  23059  cnmptk2  23060  xkoinjcn  23061  qtoptopon  23078  qtopcld  23087  qtoprest  23091  qtopcmap  23093  kqval  23100  regr1lem  23113  kqreglem1  23115  kqreglem2  23116  kqnrmlem1  23117  kqnrmlem2  23118  kqtop  23119  pt1hmeo  23180  xpstopnlem1  23183  xkohmeo  23189  neifil  23254  trnei  23266  elflim  23345  flimss1  23347  flimopn  23349  fbflim2  23351  flimcf  23356  flimclslem  23358  flffval  23363  flfnei  23365  flftg  23370  cnpflf2  23374  isfcls2  23387  fclsopn  23388  fclsnei  23393  fclscf  23399  fclscmp  23404  fcfval  23407  fcfnei  23409  cnpfcf  23415  tgpmulg2  23468  tmdgsum  23469  tmdgsum2  23470  subgntr  23481  opnsubg  23482  clssubg  23483  clsnsg  23484  cldsubg  23485  snclseqg  23490  tgphaus  23491  qustgpopn  23494  prdstgpd  23499  tsmsgsum  23513  tsmsid  23514  tgptsmscld  23525  mopntop  23816  metdseq0  24240  cnmpopc  24314  ishtpy  24358  om1val  24416  pi1val  24423  csscld  24636  clsocv  24637  relcmpcmet  24705  bcth2  24717  limcres  25273  perfdvf  25290  dvaddbr  25325  dvmulbr  25326  dvcmulf  25332  dvmptres2  25349  dvmptcmul  25351  dvmptntr  25358  dvcnvlem  25363  lhop2  25402  lhop  25403  dvcnvrelem2  25405  taylthlem1  25755  zartop  32521  neibastop2  34886  neibastop3  34887  topjoin  34890  dissneqlem  35861  istopclsd  41070  dvresntr  44249
  Copyright terms: Public domain W3C validator