Theorem topontop 22855

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 22854	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∪ cuni 4861  ‘cfv 6490  Topctop 22835  TopOnctopon 22852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-topon 22853

This theorem is referenced by:  topontopi  22857  topontopon  22861  toprntopon  22867  toponmax  22868  topgele  22872  istps  22876  en2top  22927  pptbas  22950  toponmre  23035  cldmreon  23036  iscldtop  23037  neiptopreu  23075  resttopon  23103  resttopon2  23110  restlp  23125  restperf  23126  perfopn  23127  ordtopn3  23138  ordtcld1  23139  ordtcld2  23140  ordttop  23142  lmfval  23174  cnfval  23175  cnpfval  23176  tgcn  23194  tgcnp  23195  subbascn  23196  iscnp4  23205  iscncl  23211  cncls2  23215  cncls  23216  cnntr  23217  cncnp  23222  cnindis  23234  lmcls  23244  iscnrm2  23280  ist0-2  23286  ist1-2  23289  ishaus2  23293  hausnei2  23295  isreg2  23319  sscmp  23347  dfconn2  23361  clsconn  23372  conncompcld  23376  1stccnp  23404  locfincf  23473  kgenval  23477  kgenftop  23482  1stckgenlem  23495  kgen2ss  23497  txtopon  23533  pttopon  23538  txcls  23546  ptclsg  23557  dfac14lem  23559  xkoccn  23561  txcnp  23562  ptcnplem  23563  txlm  23590  cnmpt2res  23619  cnmptkp  23622  cnmptk1  23623  cnmpt1k  23624  cnmptkk  23625  cnmptk1p  23627  cnmptk2  23628  xkoinjcn  23629  qtoptopon  23646  qtopcld  23655  qtoprest  23659  qtopcmap  23661  kqval  23668  regr1lem  23681  kqreglem1  23683  kqreglem2  23684  kqnrmlem1  23685  kqnrmlem2  23686  kqtop  23687  pt1hmeo  23748  xpstopnlem1  23751  xkohmeo  23757  neifil  23822  trnei  23834  elflim  23913  flimss1  23915  flimopn  23917  fbflim2  23919  flimcf  23924  flimclslem  23926  flffval  23931  flfnei  23933  flftg  23938  cnpflf2  23942  isfcls2  23955  fclsopn  23956  fclsnei  23961  fclscf  23967  fclscmp  23972  fcfval  23975  fcfnei  23977  cnpfcf  23983  tgpmulg2  24036  tmdgsum  24037  tmdgsum2  24038  subgntr  24049  opnsubg  24050  clssubg  24051  clsnsg  24052  cldsubg  24053  snclseqg  24058  tgphaus  24059  qustgpopn  24062  prdstgpd  24067  tsmsgsum  24081  tsmsid  24082  tgptsmscld  24093  mopntop  24382  metdseq0  24797  cnmpopc  24876  ishtpy  24925  om1val  24984  pi1val  24991  csscld  25203  clsocv  25204  relcmpcmet  25272  bcth2  25284  limcres  25841  perfdvf  25858  dvaddbr  25894  dvmulbr  25895  dvmulbrOLD  25896  dvcmulf  25902  dvmptres2  25920  dvmptcmul  25922  dvmptntr  25929  dvcnvlem  25934  lhop2  25974  lhop  25975  dvcnvrelem2  25977  taylthlem1  26335  zartop  33982  neibastop2  36504  neibastop3  36505  topjoin  36508  dissneqlem  37484  istopclsd  42884  dvresntr  46104