Theorem topontop 22891

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 22890	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6493  Topctop 22871  TopOnctopon 22888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-topon 22889

This theorem is referenced by:  topontopi  22893  topontopon  22897  toprntopon  22903  toponmax  22904  topgele  22908  istps  22912  en2top  22963  pptbas  22986  toponmre  23071  cldmreon  23072  iscldtop  23073  neiptopreu  23111  resttopon  23139  resttopon2  23146  restlp  23161  restperf  23162  perfopn  23163  ordtopn3  23174  ordtcld1  23175  ordtcld2  23176  ordttop  23178  lmfval  23210  cnfval  23211  cnpfval  23212  tgcn  23230  tgcnp  23231  subbascn  23232  iscnp4  23241  iscncl  23247  cncls2  23251  cncls  23252  cnntr  23253  cncnp  23258  cnindis  23270  lmcls  23280  iscnrm2  23316  ist0-2  23322  ist1-2  23325  ishaus2  23329  hausnei2  23331  isreg2  23355  sscmp  23383  dfconn2  23397  clsconn  23408  conncompcld  23412  1stccnp  23440  locfincf  23509  kgenval  23513  kgenftop  23518  1stckgenlem  23531  kgen2ss  23533  txtopon  23569  pttopon  23574  txcls  23582  ptclsg  23593  dfac14lem  23595  xkoccn  23597  txcnp  23598  ptcnplem  23599  txlm  23626  cnmpt2res  23655  cnmptkp  23658  cnmptk1  23659  cnmpt1k  23660  cnmptkk  23661  cnmptk1p  23663  cnmptk2  23664  xkoinjcn  23665  qtoptopon  23682  qtopcld  23691  qtoprest  23695  qtopcmap  23697  kqval  23704  regr1lem  23717  kqreglem1  23719  kqreglem2  23720  kqnrmlem1  23721  kqnrmlem2  23722  kqtop  23723  pt1hmeo  23784  xpstopnlem1  23787  xkohmeo  23793  neifil  23858  trnei  23870  elflim  23949  flimss1  23951  flimopn  23953  fbflim2  23955  flimcf  23960  flimclslem  23962  flffval  23967  flfnei  23969  flftg  23974  cnpflf2  23978  isfcls2  23991  fclsopn  23992  fclsnei  23997  fclscf  24003  fclscmp  24008  fcfval  24011  fcfnei  24013  cnpfcf  24019  tgpmulg2  24072  tmdgsum  24073  tmdgsum2  24074  subgntr  24085  opnsubg  24086  clssubg  24087  clsnsg  24088  cldsubg  24089  snclseqg  24094  tgphaus  24095  qustgpopn  24098  prdstgpd  24103  tsmsgsum  24117  tsmsid  24118  tgptsmscld  24129  mopntop  24418  metdseq0  24833  cnmpopc  24908  ishtpy  24952  om1val  25010  pi1val  25017  csscld  25229  clsocv  25230  relcmpcmet  25298  bcth2  25310  limcres  25866  perfdvf  25883  dvaddbr  25918  dvmulbr  25919  dvcmulf  25925  dvmptres2  25942  dvmptcmul  25944  dvmptntr  25951  dvcnvlem  25956  lhop2  25995  lhop  25996  dvcnvrelem2  25998  taylthlem1  26353  zartop  34039  neibastop2  36562  neibastop3  36563  topjoin  36566  dissneqlem  37673  istopclsd  43149  dvresntr  46367