MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnt1 22845
Description: The preimage of a T1 topology under an injective map is T1. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt1 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Fre)

Proof of Theorem cnt1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 22735 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1135 . 2 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
4 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 22741 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
653ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
76ffnd 6715 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝐽)
8 fnsnfv 6967 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐽𝑥 𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
97, 8sylan 580 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
109imaeq2d 6057 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) = (𝐹 “ (𝐹 “ {𝑥})))
11 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
126fdmd 6725 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → dom 𝐹 = 𝐽)
13 f1dm 6788 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
14133ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → dom 𝐹 = 𝑋)
1512, 14eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 = 𝑋)
1615eleq2d 2819 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 𝐽𝑥𝑋))
1716biimpa 477 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥𝑋)
1817snssd 4811 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑥} ⊆ 𝑋)
19 f1imacnv 6846 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑋) → (𝐹 “ (𝐹 “ {𝑥})) = {𝑥})
2011, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ (𝐹 “ {𝑥})) = {𝑥})
2110, 20eqtrd 2772 . . . 4 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) = {𝑥})
22 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
23 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐾 ∈ Fre)
246ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
254t1sncld 22821 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Fre ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) → {(𝐹𝑥)} ∈ (Clsd‘𝐾))
2623, 24, 25syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {(𝐹𝑥)} ∈ (Clsd‘𝐾))
27 cnclima 22763 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ {(𝐹𝑥)} ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) ∈ (Clsd‘𝐽))
2822, 26, 27syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) ∈ (Clsd‘𝐽))
2921, 28eqeltrrd 2834 . . 3 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
3029ralrimiva 3146 . 2 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽{𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
313ist1 22816 . 2 (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽{𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
322, 30, 31sylanbrc 583 1 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wss 3947  {csn 4627   cuni 4907  ccnv 5674  dom cdm 5675  cima 5678   Fn wfn 6535  wf 6536  1-1wf1 6537  cfv 6540  (class class class)co 7405  Topctop 22386  Clsdccld 22511   Cn ccn 22719  Frect1 22802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-top 22387  df-topon 22404  df-cld 22514  df-cn 22722  df-t1 22809
This theorem is referenced by:  restt1  22862  sst1  22869  t1hmph  23286
  Copyright terms: Public domain W3C validator