MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  methaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem methaus 24384
Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
methaus (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem methaus
Dummy variables 𝑛 𝑑 π‘₯ 𝑦 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopnex 24383 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (Metβ€˜π‘‹)𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘))
3 metxmet 24195 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
43ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 simplrl 774 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6 metcl 24193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ)
763expb 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ)
9 metgt0 24220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ 0 < (π‘₯𝑑𝑦)))
1093expb 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ 0 < (π‘₯𝑑𝑦)))
1110biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 0 < (π‘₯𝑑𝑦))
128, 11elrpd 13019 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ+)
1312rphalfcld 13034 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+)
1413rpxrd 13023 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*)
15 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜π‘‘) = (MetOpenβ€˜π‘‘)
1615blopn 24364 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
174, 5, 14, 16syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
18 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
1915blopn 24364 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
204, 18, 14, 19syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
21 blcntr 24274 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
224, 5, 13, 21syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
23 blcntr 24274 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
244, 18, 13, 23syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
2513rpred 13022 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ)
2625, 25rexaddd 13219 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) = (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) + ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
278recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ β„‚)
28272halvesd 12462 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) + ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) = (π‘₯𝑑𝑦))
2926, 28eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) = (π‘₯𝑑𝑦))
308leidd 11784 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ≀ (π‘₯𝑑𝑦))
3129, 30eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ≀ (π‘₯𝑑𝑦))
32 bldisj 24259 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ≀ (π‘₯𝑑𝑦))) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)
334, 5, 18, 14, 14, 31, 32syl33anc 1382 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)
34 eleq2 2816 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘š ↔ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))))
35 ineq1 4200 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (π‘š ∩ 𝑛) = ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛))
3635eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘š ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ…))
3734, 363anbi13d 1434 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ…)))
38 eleq2 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑛 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))))
39 ineq2 4201 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))))
4039eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…))
4138, 403anbi23d 1435 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)))
4237, 41rspc2ev 3619 . . . . . . . 8 (((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∧ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
4317, 20, 22, 24, 33, 42syl113anc 1379 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
4443ex 412 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
4544ralrimivva 3194 . . . . 5 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
4615mopntopon 24300 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
47 ishaus2 23210 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
483, 46, 473syl 18 . . . . 5 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ ((MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
4945, 48mpbird 257 . . . 4 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus)
50 eleq1 2815 . . . 4 (𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘) β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus))
5149, 50syl5ibrcom 246 . . 3 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘) β†’ 𝐽 ∈ Haus))
5251rexlimiv 3142 . 2 (βˆƒπ‘‘ ∈ (Metβ€˜π‘‹)𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
532, 52syl 17 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12980   +𝑒 cxad 13096  βˆžMetcxmet 21225  Metcmet 21226  ballcbl 21227  MetOpencmopn 21230  TopOnctopon 22767  Hauscha 23167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-haus 23174
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  24656  rehaus  24670  metreg  24734  lmcau  25196  metsscmetcld  25198  minveclem4a  25313  minvecolem4a  30639  minvecolem4b  30640  minvecolem4  30642  hlimf  30999  hmopidmchi  31913  rrhcn  33507  rrexthaus  33517  sitmcl  33880  heiborlem9  37200  bfplem1  37203
  Copyright terms: Public domain W3C validator