Theorem methaus 24425

Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
methaus.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
methaus	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem methaus

Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑥 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		methaus.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnex 24424	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
3		metxmet 24239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
6		metcl 24237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
7	6	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
9		metgt0 24264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 0 < (𝑥𝑑𝑦)))
10	9	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 0 < (𝑥𝑑𝑦)))
11	10	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 0 < (𝑥𝑑𝑦))
12	8, 11	elrpd 12953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ+)
13	12	rphalfcld 12968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+)
14	13	rpxrd 12957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*)
15		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘𝑑)
16	15	blopn 24405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
17	4, 5, 14, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
18		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑋)
19	15	blopn 24405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
20	4, 18, 14, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
21		blcntr 24318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
22	4, 5, 13, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
23		blcntr 24318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
24	4, 18, 13, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
25	13	rpred 12956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ)
26	25, 25	rexaddd 13155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
27	8	recnd 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℂ)
28	27	2halvesd 12389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (𝑥𝑑𝑦))
29	26, 28	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (𝑥𝑑𝑦))
30	8	leidd 11705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ≤ (𝑥𝑑𝑦))
31	29, 30	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ≤ (𝑥𝑑𝑦))
32		bldisj 24303	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ≤ (𝑥𝑑𝑦))) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)
33	4, 5, 18, 14, 14, 31, 32	syl33anc 1387	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)
34		eleq2 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑥 ∈ 𝑚 ↔ 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
35		ineq1 4166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑚 ∩ 𝑛) = ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛))
36	35	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑚 ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅))
37	34, 36	3anbi13d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅)))
38		eleq2 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑦 ∈ 𝑛 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
39		ineq2 4167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
40	39	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅))
41	38, 40	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)))
42	37, 41	rspc2ev 3592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑) ∧ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑) ∧ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)) → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
43	17, 20, 22, 24, 33, 42	syl113anc 1384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
44	43	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
45	44	ralrimivva 3172	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
46	15	mopntopon 24344	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝑑) ∈ (TopOn‘𝑋))
47		ishaus2 23255	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘𝑑) ∈ (TopOn‘𝑋) → ((MetOpen‘𝑑) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
48	3, 46, 47	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → ((MetOpen‘𝑑) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
49	45, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝑑) ∈ Haus)
50		eleq1 2816	. . . 4 ⊢ (𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → (𝐽 ∈ Haus ↔ (MetOpen‘𝑑) ∈ Haus))
51	49, 50	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → 𝐽 ∈ Haus))
52	51	rexlimiv 3123	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → 𝐽 ∈ Haus)
53	2, 52	syl 17	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3904  ∅c0 4286   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  2c2 12202  ℝ⁺crp 12912   +_𝑒 cxad 13031  ∞Metcxmet 21265  Metcmet 21266  ballcbl 21267  MetOpencmopn 21270  TopOnctopon 22814  Hauscha 23212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13274  df-topgen 17366  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-top 22798  df-topon 22815  df-bases 22850  df-haus 23219

This theorem is referenced by:  cnfldhaus  24689  rehaus  24704  metreg  24769  lmcau  25230  metsscmetcld  25232  minveclem4a  25347  minvecolem4a  30840  minvecolem4b  30841  minvecolem4  30843  hlimf  31200  hmopidmchi  32114  rrhcn  33983  rrexthaus  33993  sitmcl  34338  heiborlem9  37818  bfplem1  37821