Theorem methaus 24462

Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
methaus.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
methaus	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem methaus

Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑥 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		methaus.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnex 24461	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
3		metxmet 24276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
6		metcl 24274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
7	6	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
9		metgt0 24301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 0 < (𝑥𝑑𝑦)))
10	9	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 0 < (𝑥𝑑𝑦)))
11	10	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 0 < (𝑥𝑑𝑦))
12	8, 11	elrpd 12944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ+)
13	12	rphalfcld 12959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+)
14	13	rpxrd 12948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*)
15		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘𝑑)
16	15	blopn 24442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
17	4, 5, 14, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
18		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑋)
19	15	blopn 24442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
20	4, 18, 14, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
21		blcntr 24355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
22	4, 5, 13, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
23		blcntr 24355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
24	4, 18, 13, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
25	13	rpred 12947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ)
26	25, 25	rexaddd 13147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
27	8	recnd 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℂ)
28	27	2halvesd 12385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (𝑥𝑑𝑦))
29	26, 28	eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (𝑥𝑑𝑦))
30	8	leidd 11701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ≤ (𝑥𝑑𝑦))
31	29, 30	eqbrtrd 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ≤ (𝑥𝑑𝑦))
32		bldisj 24340	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ≤ (𝑥𝑑𝑦))) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)
33	4, 5, 18, 14, 14, 31, 32	syl33anc 1387	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)
34		eleq2 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑥 ∈ 𝑚 ↔ 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
35		ineq1 4163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑚 ∩ 𝑛) = ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛))
36	35	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑚 ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅))
37	34, 36	3anbi13d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅)))
38		eleq2 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑦 ∈ 𝑛 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
39		ineq2 4164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
40	39	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅))
41	38, 40	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)))
42	37, 41	rspc2ev 3587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑) ∧ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑) ∧ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)) → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
43	17, 20, 22, 24, 33, 42	syl113anc 1384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
44	43	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
45	44	ralrimivva 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
46	15	mopntopon 24381	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝑑) ∈ (TopOn‘𝑋))
47		ishaus2 23293	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘𝑑) ∈ (TopOn‘𝑋) → ((MetOpen‘𝑑) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
48	3, 46, 47	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → ((MetOpen‘𝑑) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
49	45, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝑑) ∈ Haus)
50		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ (𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → (𝐽 ∈ Haus ↔ (MetOpen‘𝑑) ∈ Haus))
51	49, 50	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → 𝐽 ∈ Haus))
52	51	rexlimiv 3128	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → 𝐽 ∈ Haus)
53	2, 52	syl 17	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ∩ cin 3898  ∅c0 4283   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024   + caddc 11027  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165   / cdiv 11792  2c2 12198  ℝ⁺crp 12903   +_𝑒 cxad 13022  ∞Metcxmet 21292  Metcmet 21293  ballcbl 21294  MetOpencmopn 21297  TopOnctopon 22852  Hauscha 23250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-icc 13266  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-haus 23257

This theorem is referenced by:  cnfldhaus  24726  rehaus  24741  metreg  24806  lmcau  25267  metsscmetcld  25269  minveclem4a  25384  minvecolem4a  30901  minvecolem4b  30902  minvecolem4  30904  hlimf  31261  hmopidmchi  32175  rrhcn  34103  rrexthaus  34113  sitmcl  34457  heiborlem9  37959  bfplem1  37962