MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  methaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem methaus 23876
Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
methaus (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem methaus
Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑥 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopnex 23875 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
3 metxmet 23687 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋))
43ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑋)
6 metcl 23685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
763expb 1120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
9 metgt0 23712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑦 ↔ 0 < (𝑥𝑑𝑦)))
1093expb 1120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑦 ↔ 0 < (𝑥𝑑𝑦)))
1110biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 < (𝑥𝑑𝑦))
128, 11elrpd 12954 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ+)
1312rphalfcld 12969 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+)
1413rpxrd 12958 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*)
15 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘𝑑)
1615blopn 23856 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
174, 5, 14, 16syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
18 simplrr 776 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑋)
1915blopn 23856 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
204, 18, 14, 19syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
21 blcntr 23766 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
224, 5, 13, 21syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
23 blcntr 23766 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
244, 18, 13, 23syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
2513rpred 12957 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ)
2625, 25rexaddd 13153 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
278recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℂ)
28272halvesd 12399 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (𝑥𝑑𝑦))
2926, 28eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (𝑥𝑑𝑦))
308leidd 11721 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ≤ (𝑥𝑑𝑦))
3129, 30eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ≤ (𝑥𝑑𝑦))
32 bldisj 23751 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ≤ (𝑥𝑑𝑦))) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)
334, 5, 18, 14, 14, 31, 32syl33anc 1385 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)
34 eleq2 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑥𝑚𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
35 ineq1 4165 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑚𝑛) = ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛))
3635eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑚𝑛) = ∅ ↔ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅))
3734, 363anbi13d 1438 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅)))
38 eleq2 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑦𝑛𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
39 ineq2 4166 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
4039eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅))
4138, 403anbi23d 1439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)))
4237, 41rspc2ev 3592 . . . . . . . 8 (((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑) ∧ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑) ∧ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)) → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
4317, 20, 22, 24, 33, 42syl113anc 1382 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
4443ex 413 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
4544ralrimivva 3197 . . . . 5 (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
4615mopntopon 23792 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝑑) ∈ (TopOn‘𝑋))
47 ishaus2 22702 . . . . . 6 ((MetOpen‘𝑑) ∈ (TopOn‘𝑋) → ((MetOpen‘𝑑) ∈ Haus ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
483, 46, 473syl 18 . . . . 5 (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → ((MetOpen‘𝑑) ∈ Haus ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
4945, 48mpbird 256 . . . 4 (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝑑) ∈ Haus)
50 eleq1 2825 . . . 4 (𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → (𝐽 ∈ Haus ↔ (MetOpen‘𝑑) ∈ Haus))
5149, 50syl5ibrcom 246 . . 3 (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → 𝐽 ∈ Haus))
5251rexlimiv 3145 . 2 (∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → 𝐽 ∈ Haus)
532, 52syl 17 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915   +𝑒 cxad 13031  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786  TopOnctopon 22259  Hauscha 22659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-haus 22666
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  24148  rehaus  24162  metreg  24226  lmcau  24677  metsscmetcld  24679  minveclem4a  24794  minvecolem4a  29819  minvecolem4b  29820  minvecolem4  29822  hlimf  30179  hmopidmchi  31093  rrhcn  32578  rrexthaus  32588  sitmcl  32951  heiborlem9  36278  bfplem1  36281
  Copyright terms: Public domain W3C validator