MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  methaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem methaus 23892
Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
methaus (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem methaus
Dummy variables 𝑛 𝑑 π‘₯ 𝑦 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopnex 23891 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (Metβ€˜π‘‹)𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘))
3 metxmet 23703 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
43ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6 metcl 23701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ)
763expb 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ)
87adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ)
9 metgt0 23728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ 0 < (π‘₯𝑑𝑦)))
1093expb 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ 0 < (π‘₯𝑑𝑦)))
1110biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 0 < (π‘₯𝑑𝑦))
128, 11elrpd 12961 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ+)
1312rphalfcld 12976 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+)
1413rpxrd 12965 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*)
15 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜π‘‘) = (MetOpenβ€˜π‘‘)
1615blopn 23872 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
174, 5, 14, 16syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
18 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
1915blopn 23872 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
204, 18, 14, 19syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
21 blcntr 23782 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
224, 5, 13, 21syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
23 blcntr 23782 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
244, 18, 13, 23syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
2513rpred 12964 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ)
2625, 25rexaddd 13160 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) = (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) + ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
278recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ β„‚)
28272halvesd 12406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) + ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) = (π‘₯𝑑𝑦))
2926, 28eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) = (π‘₯𝑑𝑦))
308leidd 11728 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ≀ (π‘₯𝑑𝑦))
3129, 30eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ≀ (π‘₯𝑑𝑦))
32 bldisj 23767 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ≀ (π‘₯𝑑𝑦))) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)
334, 5, 18, 14, 14, 31, 32syl33anc 1386 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)
34 eleq2 2827 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘š ↔ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))))
35 ineq1 4170 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (π‘š ∩ 𝑛) = ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛))
3635eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘š ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ…))
3734, 363anbi13d 1439 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ…)))
38 eleq2 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑛 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))))
39 ineq2 4171 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))))
4039eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…))
4138, 403anbi23d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)))
4237, 41rspc2ev 3595 . . . . . . . 8 (((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∧ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
4317, 20, 22, 24, 33, 42syl113anc 1383 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
4443ex 414 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
4544ralrimivva 3198 . . . . 5 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
4615mopntopon 23808 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
47 ishaus2 22718 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
483, 46, 473syl 18 . . . . 5 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ ((MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
4945, 48mpbird 257 . . . 4 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus)
50 eleq1 2826 . . . 4 (𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘) β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus))
5149, 50syl5ibrcom 247 . . 3 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘) β†’ 𝐽 ∈ Haus))
5251rexlimiv 3146 . 2 (βˆƒπ‘‘ ∈ (Metβ€˜π‘‹)𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
532, 52syl 17 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  2c2 12215  β„+crp 12922   +𝑒 cxad 13038  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802  TopOnctopon 22275  Hauscha 22675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-haus 22682
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  24164  rehaus  24178  metreg  24242  lmcau  24693  metsscmetcld  24695  minveclem4a  24810  minvecolem4a  29861  minvecolem4b  29862  minvecolem4  29864  hlimf  30221  hmopidmchi  31135  rrhcn  32618  rrexthaus  32628  sitmcl  32991  heiborlem9  36307  bfplem1  36310
  Copyright terms: Public domain W3C validator