MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  methaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem methaus 24449
Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
methaus (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem methaus
Dummy variables 𝑛 𝑑 π‘₯ 𝑦 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopnex 24448 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (Metβ€˜π‘‹)𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘))
3 metxmet 24260 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
43ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6 metcl 24258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ)
763expb 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ)
87adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ)
9 metgt0 24285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ 0 < (π‘₯𝑑𝑦)))
1093expb 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ 0 < (π‘₯𝑑𝑦)))
1110biimpa 475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 0 < (π‘₯𝑑𝑦))
128, 11elrpd 13053 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ ℝ+)
1312rphalfcld 13068 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+)
1413rpxrd 13057 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*)
15 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜π‘‘) = (MetOpenβ€˜π‘‘)
1615blopn 24429 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
174, 5, 14, 16syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
18 simplrr 776 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
1915blopn 24429 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
204, 18, 14, 19syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘))
21 blcntr 24339 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
224, 5, 13, 21syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
23 blcntr 24339 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
244, 18, 13, 23syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
2513rpred 13056 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ)
2625, 25rexaddd 13253 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) = (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) + ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)))
278recnd 11280 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ∈ β„‚)
28272halvesd 12496 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) + ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) = (π‘₯𝑑𝑦))
2926, 28eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) = (π‘₯𝑑𝑦))
308leidd 11818 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) ≀ (π‘₯𝑑𝑦))
3129, 30eqbrtrd 5174 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ≀ (π‘₯𝑑𝑦))
32 bldisj 24324 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ (((π‘₯𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ≀ (π‘₯𝑑𝑦))) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)
334, 5, 18, 14, 14, 31, 32syl33anc 1382 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)
34 eleq2 2818 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘š ↔ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))))
35 ineq1 4207 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (π‘š ∩ 𝑛) = ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛))
3635eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘š ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ…))
3734, 363anbi13d 1434 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ…)))
38 eleq2 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑛 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))))
39 ineq2 4208 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))))
4039eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ (((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…))
4138, 403anbi23d 1435 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)))
4237, 41rspc2ev 3624 . . . . . . . 8 (((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∧ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ballβ€˜π‘‘)((π‘₯𝑑𝑦) / 2))) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
4317, 20, 22, 24, 33, 42syl113anc 1379 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
4443ex 411 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
4544ralrimivva 3198 . . . . 5 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
4615mopntopon 24365 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
47 ishaus2 23275 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
483, 46, 473syl 18 . . . . 5 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ ((MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)βˆƒπ‘› ∈ (MetOpenβ€˜π‘‘)(π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))))
4945, 48mpbird 256 . . . 4 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus)
50 eleq1 2817 . . . 4 (𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘) β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ (MetOpenβ€˜π‘‘) ∈ Haus))
5149, 50syl5ibrcom 246 . . 3 (𝑑 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘) β†’ 𝐽 ∈ Haus))
5251rexlimiv 3145 . 2 (βˆƒπ‘‘ ∈ (Metβ€˜π‘‹)𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘‘) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
532, 52syl 17 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4326   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149  β„*cxr 11285   < clt 11286   ≀ cle 11287   / cdiv 11909  2c2 12305  β„+crp 13014   +𝑒 cxad 13130  βˆžMetcxmet 21271  Metcmet 21272  ballcbl 21273  MetOpencmopn 21276  TopOnctopon 22832  Hauscha 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13371  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-haus 23239
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  24721  rehaus  24735  metreg  24799  lmcau  25261  metsscmetcld  25263  minveclem4a  25378  minvecolem4a  30707  minvecolem4b  30708  minvecolem4  30710  hlimf  31067  hmopidmchi  31981  rrhcn  33631  rrexthaus  33641  sitmcl  34004  heiborlem9  37325  bfplem1  37328
  Copyright terms: Public domain W3C validator