Theorem toponuni 23276

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 23274	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 503	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6564  Topctop 23255  TopOnctopon 23272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fv 6572  df-topon 23273

This theorem is used by:  toponunii  23278  toponmax  23288  toponss  23289  toponcom  23290  topgele  23292  topontopn  23302  toponmre  23455  cldmreon  23456  restuni  23524  resttopon2  23530  restlp  23545  restperf  23546  perfopn  23547  ordtcld1  23559  ordtcld2  23560  lmfval  23594  cnfval  23595  cnpfval  23596  cnpf2  23612  cnprcl2  23613  ssidcn  23617  iscnp4  23625  iscncl  23631  cncls2  23635  cncls  23636  cnntr  23637  cncnp  23642  lmcls  23664  lmcld  23665  iscnrm2  23700  ist0-2  23706  ist1-2  23709  ishaus2  23713  isreg2  23739  ordtt1  23741  sscmp  23767  dfconn2  23781  clsconn  23792  conncompcld  23796  1stccnp  23825  locfincf  23894  kgenval  23898  kgenuni  23902  1stckgenlem  23916  kgen2ss  23918  kgencn2  23920  txtopon  23954  txuni  23955  pttopon  23959  ptuniconst  23961  txcls  23967  ptclsg  23978  dfac14lem  23980  xkoccn  23982  ptcnplem  23984  ptcn  23990  cnmpt1t  24028  cnmpt2t  24036  cnmpt1res  24039  cnmpt2res  24040  cnmptkp  24043  cnmptk1p  24048  cnmptk2  24049  xkoinjcn  24050  elqtop3  24066  qtoptopon  24067  qtopcld  24076  qtoprest  24080  qtopcmap  24082  kqval  24089  kqcldsat  24096  isr0  24100  r0cld  24101  regr1lem  24102  kqnrmlem1  24106  kqnrmlem2  24107  pt1hmeo  24169  xpstopnlem1  24172  neifil  24243  trnei  24255  elflim  24334  flimss2  24335  flimss1  24336  flimopn  24338  fbflim2  24340  flimclslem  24347  flffval  24352  flfnei  24354  cnpflf2  24363  cnflf  24365  cnflf2  24366  isfcls2  24376  fclsopn  24377  fclsnei  24382  fclscmp  24393  ufilcmp  24395  fcfval  24396  fcfnei  24398  fcfelbas  24399  cnpfcf  24404  cnfcf  24405  alexsublem  24407  tmdcn2  24452  tmdgsum  24458  tmdgsum2  24459  symgtgp  24469  subgntr  24470  opnsubg  24471  clssubg  24472  clsnsg  24473  cldsubg  24474  tgpconncompeqg  24475  tgpconncomp  24476  ghmcnp  24478  snclseqg  24479  tgphaus  24480  tgpt1  24481  prdstmdd  24487  prdstgpd  24488  tsmsgsum  24502  tsmsid  24503  tsmsmhm  24509  tsmsadd  24510  tgptsmscld  24514  utop3cls  24614  mopnuni  24804  isxms2  24811  prdsxmslem2  24892  metdseq0  25218  cnmpopc  25293  ishtpy  25337  om1val  25395  pi1val  25402  csscld  25614  clsocv  25615  cfilfcls  25639  relcmpcmet  25683  limcres  26250  limccnp  26255  limccnp2  26256  dvbss  26265  perfdvf  26267  dvreslem  26273  dvres2lem  26274  dvcnp2  26284  dvaddbr  26302  dvmulbr  26303  dvcmulf  26309  dvmptres2  26326  dvmptcmul  26328  dvmptntr  26335  dvcnvrelem2  26382  ftc1cn  26407  taylthlem1  26746  ulmdvlem3  26775  efrlim  27343  zart0  34615  zarmxt1  34616  pl1cn  34691  cvxpconn  36208  cvxsconn  36209  ivthALT  37331  neibastop2  37357  neibastop3  37358  topmeet  37360  topjoin  37361  refsum2cnlem1  46322  dvresntr  47195  rrxunitopnfi  47569