Theorem toponuni 21971

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 21969	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 496	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4836  ‘cfv 6418  Topctop 21950  TopOnctopon 21967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-topon 21968

This theorem is referenced by:  toponunii  21973  toponmax  21983  toponss  21984  toponcom  21985  topgele  21987  topontopn  21997  toponmre  22152  cldmreon  22153  restuni  22221  resttopon2  22227  restlp  22242  restperf  22243  perfopn  22244  ordtcld1  22256  ordtcld2  22257  lmfval  22291  cnfval  22292  cnpfval  22293  cnpf2  22309  cnprcl2  22310  ssidcn  22314  iscnp4  22322  iscncl  22328  cncls2  22332  cncls  22333  cnntr  22334  cncnp  22339  lmcls  22361  lmcld  22362  iscnrm2  22397  ist0-2  22403  ist1-2  22406  ishaus2  22410  isreg2  22436  ordtt1  22438  sscmp  22464  dfconn2  22478  clsconn  22489  conncompcld  22493  1stccnp  22521  locfincf  22590  kgenval  22594  kgenuni  22598  1stckgenlem  22612  kgen2ss  22614  kgencn2  22616  txtopon  22650  txuni  22651  pttopon  22655  ptuniconst  22657  txcls  22663  ptclsg  22674  dfac14lem  22676  xkoccn  22678  ptcnplem  22680  ptcn  22686  cnmpt1t  22724  cnmpt2t  22732  cnmpt1res  22735  cnmpt2res  22736  cnmptkp  22739  cnmptk1p  22744  cnmptk2  22745  xkoinjcn  22746  elqtop3  22762  qtoptopon  22763  qtopcld  22772  qtoprest  22776  qtopcmap  22778  kqval  22785  kqcldsat  22792  isr0  22796  r0cld  22797  regr1lem  22798  kqnrmlem1  22802  kqnrmlem2  22803  pt1hmeo  22865  xpstopnlem1  22868  neifil  22939  trnei  22951  elflim  23030  flimss2  23031  flimss1  23032  flimopn  23034  fbflim2  23036  flimclslem  23043  flffval  23048  flfnei  23050  cnpflf2  23059  cnflf  23061  cnflf2  23062  isfcls2  23072  fclsopn  23073  fclsnei  23078  fclscmp  23089  ufilcmp  23091  fcfval  23092  fcfnei  23094  fcfelbas  23095  cnpfcf  23100  cnfcf  23101  alexsublem  23103  tmdcn2  23148  tmdgsum  23154  tmdgsum2  23155  symgtgp  23165  subgntr  23166  opnsubg  23167  clssubg  23168  clsnsg  23169  cldsubg  23170  tgpconncompeqg  23171  tgpconncomp  23172  ghmcnp  23174  snclseqg  23175  tgphaus  23176  tgpt1  23177  prdstmdd  23183  prdstgpd  23184  tsmsgsum  23198  tsmsid  23199  tsmsmhm  23205  tsmsadd  23206  tgptsmscld  23210  utop3cls  23311  mopnuni  23502  isxms2  23509  prdsxmslem2  23591  metdseq0  23923  cnmpopc  23997  ishtpy  24041  om1val  24099  pi1val  24106  csscld  24318  clsocv  24319  cfilfcls  24343  relcmpcmet  24387  limcres  24955  limccnp  24960  limccnp2  24961  dvbss  24970  perfdvf  24972  dvreslem  24978  dvres2lem  24979  dvcnp2  24989  dvaddbr  25007  dvmulbr  25008  dvcmulf  25014  dvmptres2  25031  dvmptcmul  25033  dvmptntr  25040  dvcnvrelem2  25087  ftc1cn  25112  taylthlem1  25437  ulmdvlem3  25466  efrlim  26024  zart0  31731  zarmxt1  31732  pl1cn  31807  cvxpconn  33104  cvxsconn  33105  ivthALT  34451  neibastop2  34477  neibastop3  34478  topmeet  34480  topjoin  34481  refsum2cnlem1  42469  dvresntr  43349  rrxunitopnfi  43723