Theorem toponuni 23238

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 23236	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 503	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6539  Topctop 23217  TopOnctopon 23234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-topon 23235

This theorem is used by:  toponunii  23240  toponmax  23250  toponss  23251  toponcom  23252  topgele  23254  topontopn  23264  toponmre  23417  cldmreon  23418  restuni  23486  resttopon2  23492  restlp  23507  restperf  23508  perfopn  23509  ordtcld1  23521  ordtcld2  23522  lmfval  23556  cnfval  23557  cnpfval  23558  cnpf2  23574  cnprcl2  23575  ssidcn  23579  iscnp4  23587  iscncl  23593  cncls2  23597  cncls  23598  cnntr  23599  cncnp  23604  lmcls  23626  lmcld  23627  iscnrm2  23662  ist0-2  23668  ist1-2  23671  ishaus2  23675  isreg2  23701  ordtt1  23703  sscmp  23729  dfconn2  23743  clsconn  23754  conncompcld  23758  1stccnp  23787  locfincf  23856  kgenval  23860  kgenuni  23864  1stckgenlem  23878  kgen2ss  23880  kgencn2  23882  txtopon  23916  txuni  23917  pttopon  23921  ptuniconst  23923  txcls  23929  ptclsg  23940  dfac14lem  23942  xkoccn  23944  ptcnplem  23946  ptcn  23952  cnmpt1t  23990  cnmpt2t  23998  cnmpt1res  24001  cnmpt2res  24002  cnmptkp  24005  cnmptk1p  24010  cnmptk2  24011  xkoinjcn  24012  elqtop3  24028  qtoptopon  24029  qtopcld  24038  qtoprest  24042  qtopcmap  24044  kqval  24051  kqcldsat  24058  isr0  24062  r0cld  24063  regr1lem  24064  kqnrmlem1  24068  kqnrmlem2  24069  pt1hmeo  24131  xpstopnlem1  24134  neifil  24205  trnei  24217  elflim  24296  flimss2  24297  flimss1  24298  flimopn  24300  fbflim2  24302  flimclslem  24309  flffval  24314  flfnei  24316  cnpflf2  24325  cnflf  24327  cnflf2  24328  isfcls2  24338  fclsopn  24339  fclsnei  24344  fclscmp  24355  ufilcmp  24357  fcfval  24358  fcfnei  24360  fcfelbas  24361  cnpfcf  24366  cnfcf  24367  alexsublem  24369  tmdcn2  24414  tmdgsum  24420  tmdgsum2  24421  symgtgp  24431  subgntr  24432  opnsubg  24433  clssubg  24434  clsnsg  24435  cldsubg  24436  tgpconncompeqg  24437  tgpconncomp  24438  ghmcnp  24440  snclseqg  24441  tgphaus  24442  tgpt1  24443  prdstmdd  24449  prdstgpd  24450  tsmsgsum  24464  tsmsid  24465  tsmsmhm  24471  tsmsadd  24472  tgptsmscld  24476  utop3cls  24576  mopnuni  24766  isxms2  24773  prdsxmslem2  24854  metdseq0  25180  cnmpopc  25255  ishtpy  25299  om1val  25357  pi1val  25364  csscld  25576  clsocv  25577  cfilfcls  25601  relcmpcmet  25645  limcres  26212  limccnp  26217  limccnp2  26218  dvbss  26227  perfdvf  26229  dvreslem  26235  dvres2lem  26236  dvcnp2  26246  dvaddbr  26264  dvmulbr  26265  dvcmulf  26271  dvmptres2  26288  dvmptcmul  26290  dvmptntr  26297  dvcnvrelem2  26344  ftc1cn  26369  taylthlem1  26706  ulmdvlem3  26735  efrlim  27303  zart0  34558  zarmxt1  34559  pl1cn  34634  cvxpconn  36094  cvxsconn  36095  ivthALT  37216  neibastop2  37242  neibastop3  37243  topmeet  37245  topjoin  37246  refsum2cnlem1  46148  dvresntr  47022  rrxunitopnfi  47396