Theorem toponuni 21521

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 21519	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 499	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∪ cuni 4837  ‘cfv 6354  Topctop 21500  TopOnctopon 21517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fv 6362  df-topon 21518

This theorem is referenced by:  toponunii  21523  toponmax  21533  toponss  21534  toponcom  21535  topgele  21537  topontopn  21547  toponmre  21700  cldmreon  21701  restuni  21769  resttopon2  21775  restlp  21790  restperf  21791  perfopn  21792  ordtcld1  21804  ordtcld2  21805  lmfval  21839  cnfval  21840  cnpfval  21841  cnpf2  21857  cnprcl2  21858  ssidcn  21862  iscnp4  21870  iscncl  21876  cncls2  21880  cncls  21881  cnntr  21882  cncnp  21887  lmcls  21909  lmcld  21910  iscnrm2  21945  ist0-2  21951  ist1-2  21954  ishaus2  21958  isreg2  21984  ordtt1  21986  sscmp  22012  dfconn2  22026  clsconn  22037  conncompcld  22041  1stccnp  22069  locfincf  22138  kgenval  22142  kgenuni  22146  1stckgenlem  22160  kgen2ss  22162  kgencn2  22164  txtopon  22198  txuni  22199  pttopon  22203  ptuniconst  22205  txcls  22211  ptclsg  22222  dfac14lem  22224  xkoccn  22226  ptcnplem  22228  ptcn  22234  cnmpt1t  22272  cnmpt2t  22280  cnmpt1res  22283  cnmpt2res  22284  cnmptkp  22287  cnmptk1p  22292  cnmptk2  22293  xkoinjcn  22294  elqtop3  22310  qtoptopon  22311  qtopcld  22320  qtoprest  22324  qtopcmap  22326  kqval  22333  kqcldsat  22340  isr0  22344  r0cld  22345  regr1lem  22346  kqnrmlem1  22350  kqnrmlem2  22351  pt1hmeo  22413  xpstopnlem1  22416  neifil  22487  trnei  22499  elflim  22578  flimss2  22579  flimss1  22580  flimopn  22582  fbflim2  22584  flimclslem  22591  flffval  22596  flfnei  22598  cnpflf2  22607  cnflf  22609  cnflf2  22610  isfcls2  22620  fclsopn  22621  fclsnei  22626  fclscmp  22637  ufilcmp  22639  fcfval  22640  fcfnei  22642  fcfelbas  22643  cnpfcf  22648  cnfcf  22649  alexsublem  22651  tmdcn2  22696  tmdgsum  22702  tmdgsum2  22703  symgtgp  22713  subgntr  22714  opnsubg  22715  clssubg  22716  clsnsg  22717  cldsubg  22718  tgpconncompeqg  22719  tgpconncomp  22720  ghmcnp  22722  snclseqg  22723  tgphaus  22724  tgpt1  22725  prdstmdd  22731  prdstgpd  22732  tsmsgsum  22746  tsmsid  22747  tsmsmhm  22753  tsmsadd  22754  tgptsmscld  22758  utop3cls  22859  mopnuni  23050  isxms2  23057  prdsxmslem2  23138  metdseq0  23461  cnmpopc  23531  ishtpy  23575  om1val  23633  pi1val  23640  csscld  23851  clsocv  23852  cfilfcls  23876  relcmpcmet  23920  limcres  24483  limccnp  24488  limccnp2  24489  dvbss  24498  perfdvf  24500  dvreslem  24506  dvres2lem  24507  dvcnp2  24516  dvaddbr  24534  dvmulbr  24535  dvcmulf  24541  dvmptres2  24558  dvmptcmul  24560  dvmptntr  24567  dvcnvrelem2  24614  ftc1cn  24639  taylthlem1  24960  ulmdvlem3  24989  efrlim  25546  pl1cn  31198  cvxpconn  32489  cvxsconn  32490  ivthALT  33683  neibastop2  33709  neibastop3  33710  topmeet  33712  topjoin  33713  refsum2cnlem1  41292  dvresntr  42200  rrxunitopnfi  42576