MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haust1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haust1 23376
Description: A Hausdorff space is a T1 space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
haust1 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)

Proof of Theorem haust1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
21hausnei 23352 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))
3 simprr1 1220 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → 𝑥𝑧)
4 noel 4344 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑦 ∈ ∅
5 simprr3 1222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑧𝑤) = ∅)
65eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑦 ∈ (𝑧𝑤) ↔ 𝑦 ∈ ∅))
74, 6mtbiri 327 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑧𝑤))
8 simprr2 1221 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → 𝑦𝑤)
9 elin 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝑧𝑤) ↔ (𝑦𝑧𝑦𝑤))
109simplbi2com 502 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑤 → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝑧𝑤)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝑧𝑤)))
127, 11mtod 198 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → ¬ 𝑦𝑧)
133, 12jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧))
1413rexlimdvaa 3154 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) → (∃𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅) → (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧)))
1514reximdva 3166 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → (∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑧𝐽 (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧)))
162, 15mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐽 (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧))
17 rexanali 3100 . . . . . . 7 (∃𝑧𝐽 (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧))
1816, 17sylib 218 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧))
19183exp2 1353 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus → (𝑥 𝐽 → (𝑦 𝐽 → (𝑥𝑦 → ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧)))))
2019imp32 418 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥𝑦 → ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧)))
2120necon4ad 2957 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
2221ralrimivva 3200 . 2 (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
23 haustop 23355 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
24 toptopon2 22940 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2523, 24sylib 218 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
26 ist1-2 23371 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Fre ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
2725, 26syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Haus → (𝐽 ∈ Fre ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
2822, 27mpbird 257 1 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cin 3962  c0 4339   cuni 4912  cfv 6563  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  Frect1 23331  Hauscha 23332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-cld 23043  df-t1 23338  df-haus 23339
This theorem is referenced by:  sncld  23395  ishaus3  23847  reghaus  23849  nrmhaus  23850  tgpt1  24142  metreg  24899  ipasslem8  30866  sitmcl  34333  onint1  36432  oninhaus  36433  poimirlem30  37637
  Copyright terms: Public domain W3C validator