MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haust1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haust1 22855
Description: A Hausdorff space is a T1 space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
haust1 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Fre)

Proof of Theorem haust1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21hausnei 22831 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))
3 simprr1 1221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑧)
4 noel 4330 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ 𝑦 ∈ βˆ…
5 simprr3 1223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…)
65eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ (𝑦 ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ↔ 𝑦 ∈ βˆ…))
74, 6mtbiri 326 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑧 ∩ 𝑀))
8 simprr2 1222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)
9 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ↔ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀))
109simplbi2com 503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑀 β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (𝑧 ∩ 𝑀)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (𝑧 ∩ 𝑀)))
127, 11mtod 197 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
133, 12jca 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
1413rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧)))
1514reximdva 3168 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧)))
162, 15mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
17 rexanali 3102 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧))
1816, 17sylib 217 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧))
19183exp2 1354 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)))))
2019imp32 419 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)))
2120necon4ad 2959 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦))
2221ralrimivva 3200 . 2 (𝐽 ∈ Haus β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦))
23 haustop 22834 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Top)
24 toptopon2 22419 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
2523, 24sylib 217 . . 3 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
26 ist1-2 22850 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
2725, 26syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Haus β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
2822, 27mpbird 256 1 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  Frect1 22810  Hauscha 22811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-cld 22522  df-t1 22817  df-haus 22818
This theorem is referenced by:  sncld  22874  ishaus3  23326  reghaus  23328  nrmhaus  23329  tgpt1  23621  metreg  24378  ipasslem8  30085  sitmcl  33345  onint1  35329  oninhaus  35330  poimirlem30  36513
  Copyright terms: Public domain W3C validator