MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haust1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haust1 22726
Description: A Hausdorff space is a T1 space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
haust1 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Fre)

Proof of Theorem haust1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21hausnei 22702 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))
3 simprr1 1222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑧)
4 noel 4294 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ 𝑦 ∈ βˆ…
5 simprr3 1224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…)
65eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ (𝑦 ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ↔ 𝑦 ∈ βˆ…))
74, 6mtbiri 327 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑧 ∩ 𝑀))
8 simprr2 1223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)
9 elin 3930 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ↔ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀))
109simplbi2com 504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑀 β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (𝑧 ∩ 𝑀)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (𝑧 ∩ 𝑀)))
127, 11mtod 197 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
133, 12jca 513 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
1413rexlimdvaa 3150 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧)))
1514reximdva 3162 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧)))
162, 15mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
17 rexanali 3102 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧))
1816, 17sylib 217 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧))
19183exp2 1355 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)))))
2019imp32 420 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)))
2120necon4ad 2959 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦))
2221ralrimivva 3194 . 2 (𝐽 ∈ Haus β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦))
23 haustop 22705 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Top)
24 toptopon2 22290 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
2523, 24sylib 217 . . 3 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
26 ist1-2 22721 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
2725, 26syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Haus β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
2822, 27mpbird 257 1 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3913  βˆ…c0 4286  βˆͺ cuni 4869  β€˜cfv 6500  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  Frect1 22681  Hauscha 22682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-cld 22393  df-t1 22688  df-haus 22689
This theorem is referenced by:  sncld  22745  ishaus3  23197  reghaus  23199  nrmhaus  23200  tgpt1  23492  metreg  24249  ipasslem8  29828  sitmcl  33015  onint1  34974  oninhaus  34975  poimirlem30  36158
  Copyright terms: Public domain W3C validator