Theorem om2uzoi 13961

Description: An alternative definition of 𝐺 in terms of df-oi 9451. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzoi	⊢ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7850	. . . 4 ⊢ Ord ω
2		om2uz.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
3		om2uz.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
4	2, 3	om2uzisoi 13960	. . . 4 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))
5	1, 4	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶)))
6		ordwe 6353	. . . . . 6 ⊢ (Ord ω → E We ω)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ E We ω
8		isowe 7327	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶)) → ( E We ω ↔ < We (ℤ≥‘𝐶)))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( E We ω ↔ < We (ℤ≥‘𝐶))
10	7, 9	mpbi 232	. . . 4 ⊢ < We (ℤ≥‘𝐶)
11		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝐶) ∈ V
12		exse 5603	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝐶) ∈ V → < Se (ℤ≥‘𝐶))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ < Se (ℤ≥‘𝐶)
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))
15	14	oieu 9480	. . . 4 ⊢ (( < We (ℤ≥‘𝐶) ∧ < Se (ℤ≥‘𝐶)) → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))) ↔ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)))))
16	10, 13, 15	mp2an 702	. . 3 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))) ↔ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))))
17	5, 16	mpbi 232	. 2 ⊢ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)))
18	17	simpri 489	1 ⊢ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5178   E cep 5542   Se wse 5594   We wwe 5595  dom cdm 5643   ↾ cres 5645  Ord word 6339  ‘cfv 6515   Isom wiso 6516  (class class class)co 7390  ωcom 7840  reccrdg 8373  OrdIsocoi 9450  1c1 11067   + caddc 11069   < clt 11209  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-oi 9451  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833

This theorem is referenced by:  ltbwe  22084