Theorem om2uzoi 13924

Description: An alternative definition of 𝐺 in terms of df-oi 9507. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzoi	⊢ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7867	. . . 4 ⊢ Ord ω
2		om2uz.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
3		om2uz.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
4	2, 3	om2uzisoi 13923	. . . 4 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))
5	1, 4	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ (Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶)))
6		ordwe 6376	. . . . . 6 ⊢ (Ord ω → E We ω)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ E We ω
8		isowe 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶)) → ( E We ω ↔ < We (ℤ≥‘𝐶)))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( E We ω ↔ < We (ℤ≥‘𝐶))
10	7, 9	mpbi 229	. . . 4 ⊢ < We (ℤ≥‘𝐶)
11		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝐶) ∈ V
12		exse 5638	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝐶) ∈ V → < Se (ℤ≥‘𝐶))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ < Se (ℤ≥‘𝐶)
14		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))
15	14	oieu 9536	. . . 4 ⊢ (( < We (ℤ≥‘𝐶) ∧ < Se (ℤ≥‘𝐶)) → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))) ↔ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)))))
16	10, 13, 15	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))) ↔ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))))
17	5, 16	mpbi 229	. 2 ⊢ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)))
18	17	simpri 484	1 ⊢ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230   E cep 5578   Se wse 5628   We wwe 5629  dom cdm 5675   ↾ cres 5677  Ord word 6362  ‘cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7411  ωcom 7857  reccrdg 8411  OrdIsocoi 9506  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-oi 9507  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827

This theorem is referenced by:  ltbwe  21818