Theorem om2uzoi 13603

Description: An alternative definition of 𝐺 in terms of df-oi 9199. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzoi	⊢ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7697	. . . 4 ⊢ Ord ω
2		om2uz.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
3		om2uz.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
4	2, 3	om2uzisoi 13602	. . . 4 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))
5	1, 4	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶)))
6		ordwe 6264	. . . . . 6 ⊢ (Ord ω → E We ω)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ E We ω
8		isowe 7200	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶)) → ( E We ω ↔ < We (ℤ≥‘𝐶)))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( E We ω ↔ < We (ℤ≥‘𝐶))
10	7, 9	mpbi 229	. . . 4 ⊢ < We (ℤ≥‘𝐶)
11		fvex 6769	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝐶) ∈ V
12		exse 5543	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝐶) ∈ V → < Se (ℤ≥‘𝐶))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ < Se (ℤ≥‘𝐶)
14		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))
15	14	oieu 9228	. . . 4 ⊢ (( < We (ℤ≥‘𝐶) ∧ < Se (ℤ≥‘𝐶)) → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))) ↔ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)))))
16	10, 13, 15	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))) ↔ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))))
17	5, 16	mpbi 229	. 2 ⊢ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)))
18	17	simpri 485	1 ⊢ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ↦ cmpt 5153   E cep 5485   Se wse 5533   We wwe 5534  dom cdm 5580   ↾ cres 5582  Ord word 6250  ‘cfv 6418   Isom wiso 6419  (class class class)co 7255  ωcom 7687  reccrdg 8211  OrdIsocoi 9198  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-oi 9199  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  ltbwe  21155