Theorem om2noseqoi 28254

Description: An alternative definition of 𝐺 in terms of df-oi 9529. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqoi	⊢ (𝜑 → 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqiso 28253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍))
5		ordom 7876	. . . 4 ⊢ Ord ω
6	4, 5	jctil 519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)))
7		ordwe 6370	. . . . . 6 ⊢ (Ord ω → E We ω)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ E We ω
9		isowe 7347	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍) → ( E We ω ↔ <s We 𝑍))
10	4, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( E We ω ↔ <s We 𝑍))
11	8, 10	mpbii 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → <s We 𝑍)
12	3	noseqex 28240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
13		exse 5619	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → <s Se 𝑍)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → <s Se 𝑍)
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ OrdIso( <s , 𝑍) = OrdIso( <s , 𝑍)
16	15	oieu 9558	. . . 4 ⊢ (( <s We 𝑍 ∧ <s Se 𝑍) → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)) ↔ (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))))
17	11, 14, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)) ↔ (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))))
18	6, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍)))
19	18	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ↦ cmpt 5206   E cep 5557   Se wse 5609   We wwe 5610  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   “ cima 5662  Ord word 6356   Isom wiso 6537  (class class class)co 7410  ωcom 7866  reccrdg 8428  OrdIsocoi 9528   No csur 27608   <s cslt 27609   1_s c1s 27792   +_s cadds 27923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-dc 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-nadd 8683  df-oi 9529  df-no 27611  df-slt 27612  df-bday 27613  df-sle 27714  df-sslt 27750  df-scut 27752  df-0s 27793  df-1s 27794  df-made 27812  df-old 27813  df-left 27815  df-right 27816  df-norec2 27913  df-adds 27924

This theorem is referenced by: (None)