Theorem om2noseqoi 28477

Description: An alternative definition of 𝐺 in terms of df-oi 9473. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqoi	⊢ (𝜑 → 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqiso 28476	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍))
5		ordom 7873	. . . 4 ⊢ Ord ω
6	4, 5	jctil 528	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)))
7		ordwe 6375	. . . . . 6 ⊢ (Ord ω → E We ω)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ E We ω
9		isowe 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍) → ( E We ω ↔ <s We 𝑍))
10	4, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( E We ω ↔ <s We 𝑍))
11	8, 10	mpbii 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → <s We 𝑍)
12	3	noseqex 28463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
13		exse 5623	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → <s Se 𝑍)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → <s Se 𝑍)
15		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ OrdIso( <s , 𝑍) = OrdIso( <s , 𝑍)
16	15	oieu 9502	. . . 4 ⊢ (( <s We 𝑍 ∧ <s Se 𝑍) → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)) ↔ (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))))
17	11, 14, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)) ↔ (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))))
18	6, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍)))
19	18	simprd 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5193   E cep 5562   Se wse 5614   We wwe 5615  dom cdm 5663   ↾ cres 5665   “ cima 5666  Ord word 6361   Isom wiso 6539  (class class class)co 7412  ωcom 7863  reccrdg 8397  OrdIsocoi 9472   No csur 27785   <s clts 27786   1_s c1s 27980   +_s cadds 28133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-dc 10431

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-nadd 8653  df-oi 9473  df-no 27788  df-lts 27789  df-bday 27790  df-les 27890  df-slts 27932  df-cuts 27934  df-0s 27981  df-1s 27982  df-made 28001  df-old 28002  df-left 28004  df-right 28005  df-norec2 28123  df-adds 28134

This theorem is referenced by: (None)