Theorem om2noseqoi 28450

Description: An alternative definition of 𝐺 in terms of df-oi 9460. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqoi	⊢ (𝜑 → 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqiso 28449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍))
5		ordom 7860	. . . 4 ⊢ Ord ω
6	4, 5	jctil 528	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)))
7		ordwe 6362	. . . . . 6 ⊢ (Ord ω → E We ω)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ E We ω
9		isowe 7337	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍) → ( E We ω ↔ <s We 𝑍))
10	4, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( E We ω ↔ <s We 𝑍))
11	8, 10	mpbii 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → <s We 𝑍)
12	3	noseqex 28436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
13		exse 5611	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → <s Se 𝑍)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → <s Se 𝑍)
15		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ OrdIso( <s , 𝑍) = OrdIso( <s , 𝑍)
16	15	oieu 9489	. . . 4 ⊢ (( <s We 𝑍 ∧ <s Se 𝑍) → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)) ↔ (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))))
17	11, 14, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)) ↔ (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))))
18	6, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍)))
19	18	simprd 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5185   E cep 5550   Se wse 5602   We wwe 5603  dom cdm 5651   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Ord word 6348   Isom wiso 6526  (class class class)co 7400  ωcom 7850  reccrdg 8384  OrdIsocoi 9459   No csur 27758   <s clts 27759   1_s c1s 27953   +_s cadds 28106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-dc 10418

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-nadd 8640  df-oi 9460  df-no 27761  df-lts 27762  df-bday 27763  df-les 27863  df-slts 27905  df-cuts 27907  df-0s 27954  df-1s 27955  df-made 27974  df-old 27975  df-left 27977  df-right 27978  df-norec2 28096  df-adds 28107

This theorem is referenced by: (None)