Theorem om2noseqoi 28310

Description: An alternative definition of 𝐺 in terms of df-oi 9551. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqoi	⊢ (𝜑 → 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqiso 28309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍))
5		ordom 7898	. . . 4 ⊢ Ord ω
6	4, 5	jctil 519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)))
7		ordwe 6396	. . . . . 6 ⊢ (Ord ω → E We ω)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ E We ω
9		isowe 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍) → ( E We ω ↔ <s We 𝑍))
10	4, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( E We ω ↔ <s We 𝑍))
11	8, 10	mpbii 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → <s We 𝑍)
12	3	noseqex 28296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
13		exse 5644	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → <s Se 𝑍)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → <s Se 𝑍)
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ OrdIso( <s , 𝑍) = OrdIso( <s , 𝑍)
16	15	oieu 9580	. . . 4 ⊢ (( <s We 𝑍 ∧ <s Se 𝑍) → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)) ↔ (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))))
17	11, 14, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)) ↔ (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))))
18	6, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍)))
19	18	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ↦ cmpt 5224   E cep 5582   Se wse 5634   We wwe 5635  dom cdm 5684   ↾ cres 5686   “ cima 5687  Ord word 6382   Isom wiso 6561  (class class class)co 7432  ωcom 7888  reccrdg 8450  OrdIsocoi 9550   No csur 27685   <s cslt 27686   1_s c1s 27869   +_s cadds 27993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-dc 10487

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-nadd 8705  df-oi 9551  df-no 27688  df-slt 27689  df-bday 27690  df-sle 27791  df-sslt 27827  df-scut 27829  df-0s 27870  df-1s 27871  df-made 27887  df-old 27888  df-left 27890  df-right 27891  df-norec2 27983  df-adds 27994

This theorem is referenced by: (None)