Theorem om2noseqoi 28746

Description: An alternative definition of 𝐺 in terms of df-oi 9541. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqoi	⊢ (𝜑 → 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
2		om2noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqiso 28745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍))
5		ordom 7921	. . . 4 ⊢ Ord ω
6	4, 5	jctil 529	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)))
7		ordwe 6401	. . . . . 6 ⊢ (Ord ω → E We ω)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ E We ω
9		isowe 7388	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍) → ( E We ω ↔ <s We 𝑍))
10	4, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( E We ω ↔ <s We 𝑍))
11	8, 10	mpbii 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → <s We 𝑍)
12	3	noseqex 28732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
13		exse 5618	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → <s Se 𝑍)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → <s Se 𝑍)
15		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ OrdIso( <s , 𝑍) = OrdIso( <s , 𝑍)
16	15	oieu 9570	. . . 4 ⊢ (( <s We 𝑍 ∧ <s Se 𝑍) → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)) ↔ (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))))
17	11, 14, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , <s (ω, 𝑍)) ↔ (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))))
18	6, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (ω = dom OrdIso( <s , 𝑍) ∧ 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍)))
19	18	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = OrdIso( <s , 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5192   E cep 5557   Se wse 5609   We wwe 5610  dom cdm 5658   ↾ cres 5660   “ cima 5661  Ord word 6387   Isom wiso 6567  (class class class)co 7451  ωcom 7911  reccrdg 8455  OrdIsocoi 9540  Nocsur 28054   <s clts 28055   1_s c1s 28249   +_s cadds 28402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-dc 10563

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-nadd 8713  df-oi 9541  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-les 28159  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250  df-1s 28251  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-norec2 28392  df-adds 28403

This theorem is used by: (None)