MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isowe2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isowe2 7342
Description: A weak form of isowe 7341 that does not need Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isowe2 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → (𝑆 We 𝐵𝑅 We 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝐻

Proof of Theorem isowe2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 imaeq2 6048 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
32eleq1d 2812 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) ∈ V ↔ (𝐻𝑦) ∈ V))
43spvv 1992 . . . . 5 (∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V → (𝐻𝑦) ∈ V)
54adantl 481 . . . 4 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → (𝐻𝑦) ∈ V)
61, 5isofrlem 7332 . . 3 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → (𝑆 Fr 𝐵𝑅 Fr 𝐴))
7 isosolem 7339 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Or 𝐵𝑅 Or 𝐴))
87adantr 480 . . 3 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → (𝑆 Or 𝐵𝑅 Or 𝐴))
96, 8anim12d 608 . 2 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → ((𝑆 Fr 𝐵𝑆 Or 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴)))
10 df-we 5626 . 2 (𝑆 We 𝐵 ↔ (𝑆 Fr 𝐵𝑆 Or 𝐵))
11 df-we 5626 . 2 (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴))
129, 10, 113imtr4g 296 1 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → (𝑆 We 𝐵𝑅 We 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1531  wcel 2098  Vcvv 3468   Or wor 5580   Fr wfr 5621   We wwe 5623  cima 5672   Isom wiso 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545
This theorem is referenced by:  fnwelem  8114  ltweuz  13929
  Copyright terms: Public domain W3C validator