Theorem isowe2 7325

Description: A weak form of isowe 7324 that does not need Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isowe2	⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → (𝑆 We 𝐵 → 𝑅 We 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝐻

Proof of Theorem isowe2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2		imaeq2 6027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻 “ 𝑥) = (𝐻 “ 𝑦))
3	2	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻 “ 𝑥) ∈ V ↔ (𝐻 “ 𝑦) ∈ V))
4	3	spvv 1988	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V → (𝐻 “ 𝑦) ∈ V)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → (𝐻 “ 𝑦) ∈ V)
6	1, 5	isofrlem 7315	. . 3 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → (𝑆 Fr 𝐵 → 𝑅 Fr 𝐴))
7		isosolem 7322	. . . 4 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Or 𝐵 → 𝑅 Or 𝐴))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → (𝑆 Or 𝐵 → 𝑅 Or 𝐴))
9	6, 8	anim12d 609	. 2 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → ((𝑆 Fr 𝐵 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝐴)))
10		df-we 5593	. 2 ⊢ (𝑆 We 𝐵 ↔ (𝑆 Fr 𝐵 ∧ 𝑆 Or 𝐵))
11		df-we 5593	. 2 ⊢ (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝐴))
12	9, 10, 11	3imtr4g 296	1 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → (𝑆 We 𝐵 → 𝑅 We 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   Or wor 5545   Fr wfr 5588   We wwe 5590   “ cima 5641   Isom wiso 6512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520

This theorem is referenced by:  fnwelem  8110  ltweuz  13926