MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isowe2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isowe2 7362
Description: A weak form of isowe 7361 that does not need Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isowe2 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → (𝑆 We 𝐵𝑅 We 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝐻

Proof of Theorem isowe2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 imaeq2 6062 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
32eleq1d 2813 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) ∈ V ↔ (𝐻𝑦) ∈ V))
43spvv 1992 . . . . 5 (∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V → (𝐻𝑦) ∈ V)
54adantl 480 . . . 4 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → (𝐻𝑦) ∈ V)
61, 5isofrlem 7352 . . 3 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → (𝑆 Fr 𝐵𝑅 Fr 𝐴))
7 isosolem 7359 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Or 𝐵𝑅 Or 𝐴))
87adantr 479 . . 3 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → (𝑆 Or 𝐵𝑅 Or 𝐴))
96, 8anim12d 607 . 2 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → ((𝑆 Fr 𝐵𝑆 Or 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴)))
10 df-we 5637 . 2 (𝑆 We 𝐵 ↔ (𝑆 Fr 𝐵𝑆 Or 𝐵))
11 df-we 5637 . 2 (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴))
129, 10, 113imtr4g 295 1 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻𝑥) ∈ V) → (𝑆 We 𝐵𝑅 We 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wal 1531  wcel 2098  Vcvv 3471   Or wor 5591   Fr wfr 5632   We wwe 5634  cima 5683   Isom wiso 6552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560
This theorem is referenced by:  fnwelem  8140  ltweuz  13964
  Copyright terms: Public domain W3C validator