Theorem isowe2 7350

Description: A weak form of isowe 7349 that does not need Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isowe2	⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → (𝑆 We 𝐵 → 𝑅 We 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝐻

Proof of Theorem isowe2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2		imaeq2 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻 “ 𝑥) = (𝐻 “ 𝑦))
3	2	eleq1d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻 “ 𝑥) ∈ V ↔ (𝐻 “ 𝑦) ∈ V))
4	3	spvv 2018	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V → (𝐻 “ 𝑦) ∈ V)
5	4	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → (𝐻 “ 𝑦) ∈ V)
6	1, 5	isofrlem 7340	. . 3 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → (𝑆 Fr 𝐵 → 𝑅 Fr 𝐴))
7		isosolem 7347	. . . 4 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Or 𝐵 → 𝑅 Or 𝐴))
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → (𝑆 Or 𝐵 → 𝑅 Or 𝐴))
9	6, 8	anim12d 620	. 2 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → ((𝑆 Fr 𝐵 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝐴)))
10		df-we 5618	. 2 ⊢ (𝑆 We 𝐵 ↔ (𝑆 Fr 𝐵 ∧ 𝑆 Or 𝐵))
11		df-we 5618	. 2 ⊢ (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝐴))
12	9, 10, 11	3imtr4g 299	1 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝐻 “ 𝑥) ∈ V) → (𝑆 We 𝐵 → 𝑅 We 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ∀wal 1568   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   Or wor 5570   Fr wfr 5613   We wwe 5615   “ cima 5666   Isom wiso 6539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547

This theorem is referenced by:  fnwelem  8128  ltweuz  13999