Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapwe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapwe 9144
 Description: The lexicographic order on a function space of ordinals gives a well-ordering with order type equal to the ordinal exponential. This provides an alternate definition of the ordinal exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
Assertion
Ref Expression
oemapwe (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ∧ dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴o 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapwe
StepHypRef Expression
1 cantnfs.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ On)
2 cantnfs.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ On)
3 oecl 8148 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴o 𝐵) ∈ On)
41, 2, 3syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐴o 𝐵) ∈ On)
5 eloni 6170 . . . 4 ((𝐴o 𝐵) ∈ On → Ord (𝐴o 𝐵))
6 ordwe 6173 . . . 4 (Ord (𝐴o 𝐵) → E We (𝐴o 𝐵))
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → E We (𝐴o 𝐵))
8 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
9 oemapval.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
108, 1, 2, 9cantnf 9143 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)))
11 isowe 7082 . . . 4 ((𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)) → (𝑇 We 𝑆 ↔ E We (𝐴o 𝐵)))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ↔ E We (𝐴o 𝐵)))
137, 12mpbird 260 . 2 (𝜑𝑇 We 𝑆)
144, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Ord (𝐴o 𝐵))
15 isocnv 7063 . . . . . 6 ((𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)) → (𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴o 𝐵), 𝑆))
1610, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴o 𝐵), 𝑆))
17 ovex 7169 . . . . . . . . 9 (𝐴 CNF 𝐵) ∈ V
1817dmex 7601 . . . . . . . 8 dom (𝐴 CNF 𝐵) ∈ V
198, 18eqeltri 2886 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
20 exse 5484 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V → 𝑇 Se 𝑆)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 𝑇 Se 𝑆
22 eqid 2798 . . . . . . 7 OrdIso(𝑇, 𝑆) = OrdIso(𝑇, 𝑆)
2322oieu 8990 . . . . . 6 ((𝑇 We 𝑆𝑇 Se 𝑆) → ((Ord (𝐴o 𝐵) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴o 𝐵), 𝑆)) ↔ ((𝐴o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆))))
2413, 21, 23sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → ((Ord (𝐴o 𝐵) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴o 𝐵), 𝑆)) ↔ ((𝐴o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆))))
2514, 16, 24mpbi2and 711 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆)))
2625simpld 498 . . 3 (𝜑 → (𝐴o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆))
2726eqcomd 2804 . 2 (𝜑 → dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴o 𝐵))
2813, 27jca 515 1 (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ∧ dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴o 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441  {copab 5093   E cep 5430   Se wse 5477   We wwe 5478  ◡ccnv 5519  dom cdm 5520  Ord word 6159  Oncon0 6160  ‘cfv 6325   Isom wiso 6326  (class class class)co 7136   ↑o coe 8087  OrdIsocoi 8960   CNF ccnf 9111 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-seqom 8070  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-omul 8093  df-oexp 8094  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-oi 8961  df-cnf 9112 This theorem is referenced by:  cantnffval2  9145  wemapwe  9147
 Copyright terms: Public domain W3C validator