MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapwe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapwe 8839
Description: The lexicographic order on a function space of ordinals gives a well-ordering with order type equal to the ordinal exponential. This provides an alternate definition of the ordinal exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
Assertion
Ref Expression
oemapwe (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ∧ dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴𝑜 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapwe
StepHypRef Expression
1 cantnfs.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ On)
2 cantnfs.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ On)
3 oecl 7855 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝑜 𝐵) ∈ On)
41, 2, 3syl2anc 580 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑜 𝐵) ∈ On)
5 eloni 5949 . . . 4 ((𝐴𝑜 𝐵) ∈ On → Ord (𝐴𝑜 𝐵))
6 ordwe 5952 . . . 4 (Ord (𝐴𝑜 𝐵) → E We (𝐴𝑜 𝐵))
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → E We (𝐴𝑜 𝐵))
8 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
9 oemapval.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
108, 1, 2, 9cantnf 8838 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴𝑜 𝐵)))
11 isowe 6825 . . . 4 ((𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴𝑜 𝐵)) → (𝑇 We 𝑆 ↔ E We (𝐴𝑜 𝐵)))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ↔ E We (𝐴𝑜 𝐵)))
137, 12mpbird 249 . 2 (𝜑𝑇 We 𝑆)
144, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Ord (𝐴𝑜 𝐵))
15 isocnv 6806 . . . . . 6 ((𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴𝑜 𝐵)) → (𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴𝑜 𝐵), 𝑆))
1610, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴𝑜 𝐵), 𝑆))
17 ovex 6908 . . . . . . . . 9 (𝐴 CNF 𝐵) ∈ V
1817dmex 7332 . . . . . . . 8 dom (𝐴 CNF 𝐵) ∈ V
198, 18eqeltri 2872 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
20 exse 5274 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V → 𝑇 Se 𝑆)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 𝑇 Se 𝑆
22 eqid 2797 . . . . . . 7 OrdIso(𝑇, 𝑆) = OrdIso(𝑇, 𝑆)
2322oieu 8684 . . . . . 6 ((𝑇 We 𝑆𝑇 Se 𝑆) → ((Ord (𝐴𝑜 𝐵) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴𝑜 𝐵), 𝑆)) ↔ ((𝐴𝑜 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆))))
2413, 21, 23sylancl 581 . . . . 5 (𝜑 → ((Ord (𝐴𝑜 𝐵) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴𝑜 𝐵), 𝑆)) ↔ ((𝐴𝑜 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆))))
2514, 16, 24mpbi2and 704 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑜 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆)))
2625simpld 489 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑜 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆))
2726eqcomd 2803 . 2 (𝜑 → dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴𝑜 𝐵))
2813, 27jca 508 1 (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ∧ dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴𝑜 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  wrex 3088  Vcvv 3383  {copab 4903   E cep 5222   Se wse 5267   We wwe 5268  ccnv 5309  dom cdm 5310  Ord word 5938  Oncon0 5939  cfv 6099   Isom wiso 6100  (class class class)co 6876  𝑜 coe 7796  OrdIsocoi 8654   CNF ccnf 8806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-seqom 7780  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-omul 7802  df-oexp 7803  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-oi 8655  df-cnf 8807
This theorem is referenced by:  cantnffval2  8840  wemapwe  8842
  Copyright terms: Public domain W3C validator