Theorem oemapwe 9688

Description: The lexicographic order on a function space of ordinals gives a well-ordering with order type equal to the ordinal exponential. This provides an alternate definition of the ordinal exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
oemapval.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}

Assertion

Ref	Expression
oemapwe	⊢ (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ∧ dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴 ↑o 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapwe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
2		cantnfs.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
3		oecl 8536	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ On)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ On)
5		eloni 6374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ↑o 𝐵) ∈ On → Ord (𝐴 ↑o 𝐵))
6		ordwe 6377	. . . 4 ⊢ (Ord (𝐴 ↑o 𝐵) → E We (𝐴 ↑o 𝐵))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → E We (𝐴 ↑o 𝐵))
8		cantnfs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
9		oemapval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
10	8, 1, 2, 9	cantnf 9687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴 ↑o 𝐵)))
11		isowe 7345	. . . 4 ⊢ ((𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴 ↑o 𝐵)) → (𝑇 We 𝑆 ↔ E We (𝐴 ↑o 𝐵)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ↔ E We (𝐴 ↑o 𝐵)))
13	7, 12	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝑆)
14	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ord (𝐴 ↑o 𝐵))
15		isocnv 7326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴 ↑o 𝐵)) → ◡(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴 ↑o 𝐵), 𝑆))
16	10, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴 ↑o 𝐵), 𝑆))
17		ovex 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 CNF 𝐵) ∈ V
18	17	dmex 7901	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐴 CNF 𝐵) ∈ V
19	8, 18	eqeltri 2829	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
20		exse 5639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → 𝑇 Se 𝑆)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 Se 𝑆
22		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ OrdIso(𝑇, 𝑆) = OrdIso(𝑇, 𝑆)
23	22	oieu 9533	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 We 𝑆 ∧ 𝑇 Se 𝑆) → ((Ord (𝐴 ↑o 𝐵) ∧ ◡(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴 ↑o 𝐵), 𝑆)) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ ◡(𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆))))
24	13, 21, 23	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Ord (𝐴 ↑o 𝐵) ∧ ◡(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴 ↑o 𝐵), 𝑆)) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ ◡(𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆))))
25	14, 16, 24	mpbi2and 710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ ◡(𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆)))
26	25	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆))
27	26	eqcomd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴 ↑o 𝐵))
28	13, 27	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ∧ dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴 ↑o 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474  {copab 5210   E cep 5579   Se wse 5629   We wwe 5630  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  Ord word 6363  Oncon0 6364  ‘cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7408   ↑_o coe 8464  OrdIsocoi 9503   CNF ccnf 9655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-oexp 8471  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-cnf 9656

This theorem is referenced by:  cantnffval2  9689  wemapwe  9691