Theorem oemapwe 9529

Description: The lexicographic order on a function space of ordinals gives a well-ordering with order type equal to the ordinal exponential. This provides an alternate definition of the ordinal exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
oemapval.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}

Assertion

Ref	Expression
oemapwe	⊢ (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ∧ dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴 ↑o 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapwe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
2		cantnfs.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
3		oecl 8416	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ On)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ On)
5		eloni 6298	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ↑o 𝐵) ∈ On → Ord (𝐴 ↑o 𝐵))
6		ordwe 6301	. . . 4 ⊢ (Ord (𝐴 ↑o 𝐵) → E We (𝐴 ↑o 𝐵))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → E We (𝐴 ↑o 𝐵))
8		cantnfs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
9		oemapval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
10	8, 1, 2, 9	cantnf 9528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴 ↑o 𝐵)))
11		isowe 7259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴 ↑o 𝐵)) → (𝑇 We 𝑆 ↔ E We (𝐴 ↑o 𝐵)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ↔ E We (𝐴 ↑o 𝐵)))
13	7, 12	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝑆)
14	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ord (𝐴 ↑o 𝐵))
15		isocnv 7240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴 ↑o 𝐵)) → ◡(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴 ↑o 𝐵), 𝑆))
16	10, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴 ↑o 𝐵), 𝑆))
17		ovex 7349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 CNF 𝐵) ∈ V
18	17	dmex 7804	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐴 CNF 𝐵) ∈ V
19	8, 18	eqeltri 2833	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
20		exse 5570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → 𝑇 Se 𝑆)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 Se 𝑆
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ OrdIso(𝑇, 𝑆) = OrdIso(𝑇, 𝑆)
23	22	oieu 9374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 We 𝑆 ∧ 𝑇 Se 𝑆) → ((Ord (𝐴 ↑o 𝐵) ∧ ◡(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴 ↑o 𝐵), 𝑆)) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ ◡(𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆))))
24	13, 21, 23	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Ord (𝐴 ↑o 𝐵) ∧ ◡(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴 ↑o 𝐵), 𝑆)) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ ◡(𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆))))
25	14, 16, 24	mpbi2and 709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ ◡(𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆)))
26	25	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆))
27	26	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴 ↑o 𝐵))
28	13, 27	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ∧ dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴 ↑o 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3440  {copab 5148   E cep 5511   Se wse 5560   We wwe 5561  ^◡ccnv 5606  dom cdm 5607  Ord word 6287  Oncon0 6288  ‘cfv 6465   Isom wiso 6466  (class class class)co 7316   ↑_o coe 8344  OrdIsocoi 9344   CNF ccnf 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-seqom 8327  df-1o 8345  df-2o 8346  df-oadd 8349  df-omul 8350  df-oexp 8351  df-er 8547  df-map 8666  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-oi 9345  df-cnf 9497

This theorem is referenced by:  cantnffval2  9530  wemapwe  9532