MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapwe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapwe 9719
Description: The lexicographic order on a function space of ordinals gives a well-ordering with order type equal to the ordinal exponential. This provides an alternate definition of the ordinal exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
Assertion
Ref Expression
oemapwe (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ∧ dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴o 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapwe
StepHypRef Expression
1 cantnfs.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ On)
2 cantnfs.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ On)
3 oecl 8558 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴o 𝐵) ∈ On)
41, 2, 3syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐴o 𝐵) ∈ On)
5 eloni 6381 . . . 4 ((𝐴o 𝐵) ∈ On → Ord (𝐴o 𝐵))
6 ordwe 6384 . . . 4 (Ord (𝐴o 𝐵) → E We (𝐴o 𝐵))
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → E We (𝐴o 𝐵))
8 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
9 oemapval.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
108, 1, 2, 9cantnf 9718 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)))
11 isowe 7356 . . . 4 ((𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)) → (𝑇 We 𝑆 ↔ E We (𝐴o 𝐵)))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ↔ E We (𝐴o 𝐵)))
137, 12mpbird 256 . 2 (𝜑𝑇 We 𝑆)
144, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Ord (𝐴o 𝐵))
15 isocnv 7337 . . . . . 6 ((𝐴 CNF 𝐵) Isom 𝑇, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)) → (𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴o 𝐵), 𝑆))
1610, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑(𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴o 𝐵), 𝑆))
17 ovex 7452 . . . . . . . . 9 (𝐴 CNF 𝐵) ∈ V
1817dmex 7917 . . . . . . . 8 dom (𝐴 CNF 𝐵) ∈ V
198, 18eqeltri 2821 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
20 exse 5641 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V → 𝑇 Se 𝑆)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 𝑇 Se 𝑆
22 eqid 2725 . . . . . . 7 OrdIso(𝑇, 𝑆) = OrdIso(𝑇, 𝑆)
2322oieu 9564 . . . . . 6 ((𝑇 We 𝑆𝑇 Se 𝑆) → ((Ord (𝐴o 𝐵) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴o 𝐵), 𝑆)) ↔ ((𝐴o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆))))
2413, 21, 23sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → ((Ord (𝐴o 𝐵) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) Isom E , 𝑇 ((𝐴o 𝐵), 𝑆)) ↔ ((𝐴o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆))))
2514, 16, 24mpbi2and 710 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆) ∧ (𝐴 CNF 𝐵) = OrdIso(𝑇, 𝑆)))
2625simpld 493 . . 3 (𝜑 → (𝐴o 𝐵) = dom OrdIso(𝑇, 𝑆))
2726eqcomd 2731 . 2 (𝜑 → dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴o 𝐵))
2813, 27jca 510 1 (𝜑 → (𝑇 We 𝑆 ∧ dom OrdIso(𝑇, 𝑆) = (𝐴o 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  {copab 5211   E cep 5581   Se wse 5631   We wwe 5632  ccnv 5677  dom cdm 5678  Ord word 6370  Oncon0 6371  cfv 6549   Isom wiso 6550  (class class class)co 7419  o coe 8486  OrdIsocoi 9534   CNF ccnf 9686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-seqom 8469  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-oexp 8493  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-oi 9535  df-cnf 9687
This theorem is referenced by:  cantnffval2  9720  wemapwe  9722
  Copyright terms: Public domain W3C validator