MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1t0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem t1t0 23372
Description: A T1 space is a T0 space. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
t1t0 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem t1t0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 23354 . . 3 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
2 toptopon2 22940 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
31, 2sylib 218 . 2 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
4 biimp 215 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑜𝑦𝑜) → (𝑥𝑜𝑦𝑜))
54ralimi 3081 . . . . . . 7 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
65imim1i 63 . . . . . 6 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) → (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦))
76ralimi 3081 . . . . 5 (∀𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) → ∀𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦))
87ralimi 3081 . . . 4 (∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦))
98a1i 11 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
10 ist1-2 23371 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Fre ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
11 ist0-2 23368 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
129, 10, 113imtr4d 294 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2))
133, 12mpcom 38 1 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2106  wral 3059   cuni 4912  cfv 6563  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  Kol2ct0 23330  Frect1 23331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-cld 23043  df-t0 23337  df-t1 23338
This theorem is referenced by:  t1r0  23845  ist1-5  23846  ishaus3  23847  reghaus  23849  nrmhaus  23850  tgpt0  24143
  Copyright terms: Public domain W3C validator