MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1t0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem t1t0 23356
Description: A T1 space is a T0 space. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
t1t0 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem t1t0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 23338 . . 3 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
2 toptopon2 22924 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
31, 2sylib 218 . 2 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
4 biimp 215 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑜𝑦𝑜) → (𝑥𝑜𝑦𝑜))
54ralimi 3083 . . . . . . 7 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
65imim1i 63 . . . . . 6 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) → (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦))
76ralimi 3083 . . . . 5 (∀𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) → ∀𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦))
87ralimi 3083 . . . 4 (∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦))
98a1i 11 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
10 ist1-2 23355 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Fre ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
11 ist0-2 23352 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
129, 10, 113imtr4d 294 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2))
133, 12mpcom 38 1 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2108  wral 3061   cuni 4907  cfv 6561  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  Kol2ct0 23314  Frect1 23315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-cld 23027  df-t0 23321  df-t1 23322
This theorem is referenced by:  t1r0  23829  ist1-5  23830  ishaus3  23831  reghaus  23833  nrmhaus  23834  tgpt0  24127
  Copyright terms: Public domain W3C validator