MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1t0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem t1t0 22722
Description: A T1 space is a T0 space. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
t1t0 (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem t1t0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 π‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 22704 . . 3 (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 toptopon2 22290 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
31, 2sylib 217 . 2 (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
4 biimp 214 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ))
54ralimi 3083 . . . . . . 7 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ))
65imim1i 63 . . . . . 6 ((βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦))
76ralimi 3083 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦))
87ralimi 3083 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦))
98a1i 11 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
10 ist1-2 22721 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
11 ist0-2 22718 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
129, 10, 113imtr4d 294 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Kol2))
133, 12mpcom 38 1 (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆͺ cuni 4869  β€˜cfv 6500  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  Kol2ct0 22680  Frect1 22681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-cld 22393  df-t0 22687  df-t1 22688
This theorem is referenced by:  t1r0  23195  ist1-5  23196  ishaus3  23197  reghaus  23199  nrmhaus  23200  tgpt0  23493
  Copyright terms: Public domain W3C validator