MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxssixx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxssixx 13277
Description: An interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixx.2 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
ixx.3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑇𝑤))
ixx.4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝑈𝐵))
Assertion
Ref Expression
ixxssixx (𝐴𝑂𝐵) ⊆ (𝐴𝑃𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑂   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxssixx
StepHypRef Expression
1 ixx.1 . . . 4 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
21elmpocl 7594 . . 3 (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
3 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ*)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ*))
5 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 3simpa 1148 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤))
7 ixx.3 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑇𝑤))
87expimpd 454 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤) → 𝐴𝑇𝑤))
95, 6, 8syl2im 40 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → 𝐴𝑇𝑤))
10 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 3simpb 1149 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → (𝑤 ∈ ℝ*𝑤𝑆𝐵))
12 ixx.4 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝑈𝐵))
1312ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝑈𝐵))
1413expimpd 454 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝑤 ∈ ℝ*𝑤𝑆𝐵) → 𝑤𝑈𝐵))
1510, 11, 14syl2im 40 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → 𝑤𝑈𝐵))
164, 9, 153jcad 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑇𝑤𝑤𝑈𝐵)))
171elixx1 13272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
18 ixx.2 . . . . 5 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
1918elixx1 13272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑇𝑤𝑤𝑈𝐵)))
2016, 17, 193imtr4d 293 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)))
212, 20mpcom 38 . 2 (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵))
2221ssriv 3948 1 (𝐴𝑂𝐵) ⊆ (𝐴𝑃𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105  (class class class)co 7356  cmpo 7358  *cxr 11187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-xr 11192
This theorem is referenced by:  ioossicc  13349  icossicc  13352  iocssicc  13353  ioossico  13354  dvloglem  26001  ioossioc  43702
  Copyright terms: Public domain W3C validator