Theorem dvloglem 26628

Description: Lemma for dvlog 26631. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvloglem	⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26544	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2		f1ofun 6777	. . . . . 6 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 26622	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		f1odm 6779	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom log = (ℂ ∖ {0})
8	5, 7	sseqtrri 3972	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ dom log
9		funimass4 6899	. . . . 5 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π))))
10	3, 8, 9	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)))
11	4	ellogdm 26619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
12	11	simplbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
13	4	logdmn0 26620	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
14	12, 13	logcld 26550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
15	14	imcld 15151	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12, 13	logimcld 26551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
17	16	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
18		pire 26437	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ∈ ℝ)
20	16	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
21	4	logdmnrp 26621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
22		lognegb 26570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
23	12, 13, 22	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
24	23	necon3bbid 2970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
25	21, 24	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
26	25	necomd 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
27	15, 19, 20, 26	leneltd 11294	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
28	18	renegcli 11449	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
29	28	rexri 11197	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ*
30	18	rexri 11197	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ*
31		elioo2 13333	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
32	29, 30, 31	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
33	15, 17, 27, 32	syl3anbrc 1345	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
34		imf 15069	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
35		ffn 6663	. . . . . 6 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
36		elpreima 7005	. . . . . 6 ⊢ (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
37	34, 35, 36	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
38	14, 33, 37	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)))
39	10, 38	mprgbir 3059	. . 3 ⊢ (log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π))
40		df-ioo 13296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
41		df-ioc 13297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
42		idd 24	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (-π < 𝑤 → -π < 𝑤))
43		xrltle 13094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
44	40, 41, 42, 43	ixxssixx 13306	. . . . . . . . 9 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π(,]π)
45		imass2 6062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ (-π(,]π) → (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,]π)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,]π))
47		logrn 26538	. . . . . . . 8 ⊢ ran log = (◡ℑ “ (-π(,]π))
48	46, 47	sseqtrri 3972	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ ran log
49	48	sseli 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
50		logef 26561	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
52		elpreima 7005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
53	34, 35, 52	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
54		efcl 16041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
56	53, 55	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
57	53	simplbi 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57	imcld 15151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
59		eliooord 13352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
60	53, 59	simplbiim 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
61	60	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
62	58, 61	ltned 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
63	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
64	63	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
65		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
66		mnfxr 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
67		0re 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
68		elioc2 13356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
69	66, 67, 68	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
70	65, 69	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
71	70	simp1d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
72		0red 11141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
73	70	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
74		efne0 16057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
75	57, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
77	76	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
78	71, 72, 73, 77	leneltd 11294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
79	71, 78	negelrpd 12972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
80		lognegb 26570	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
81	56, 75, 80	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
83	79, 82	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
84	64, 83	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
85	84	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
86	85	necon3ad 2946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
87	62, 86	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
88	56, 87	eldifd 3901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
89	88, 4	eleqtrrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
90		funfvima2 7180	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
91	3, 8, 90	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
92	89, 91	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
93	51, 92	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
94	93	ssriv 3926	. . 3 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
95	39, 94	eqssi 3939	. 2 ⊢ (log “ 𝐷) = (◡ℑ “ (-π(,)π))
96		imcncf 24883	. . . 4 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
97		ssid 3945	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
98		ax-resscn 11089	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
99		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
100	99	cnfldtopon 24760	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
101	100	toponrestid 22899	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
102		tgioo4 24783	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
103	99, 101, 102	cncfcn 24890	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
104	97, 98, 103	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
105	96, 104	eleqtri 2835	. . 3 ⊢ ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
106		iooretop 24743	. . 3 ⊢ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
107		cnima 23243	. . 3 ⊢ ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
108	105, 106, 107	mp2an 693	. 2 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
109	95, 108	eqeltri 2833	1 ⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  -∞cmnf 11171  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174  -cneg 11372  ℝ⁺crp 12936  (,)cioo 13292  (,]cioc 13293  ℑcim 15054  expce 16020  πcpi 16025  TopOpenctopn 17378  topGenctg 17394  ℂ_fldccnfld 21347   Cn ccn 23202  –cn→ccncf 24856  logclog 26534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-pi 16031  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847  df-log 26536

This theorem is referenced by:  dvlog  26631