MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvloglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvloglem 25158
Description: Lemma for dvlog 25161. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvloglem (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 25075 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1ofun 6610 . . . . . 6 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 Fun log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54logdmss 25152 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 f1odm 6612 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6 dom log = (ℂ ∖ {0})
85, 7sseqtrri 4001 . . . . 5 𝐷 ⊆ dom log
9 funimass4 6723 . . . . 5 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π))))
103, 8, 9mp2an 688 . . . 4 ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
114ellogdm 25149 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
1211simplbi 498 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
134logdmn0 25150 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
1412, 13logcld 25081 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
1514imcld 14542 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
1612, 13logimcld 25082 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
1716simpld 495 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
18 pire 24971 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → π ∈ ℝ)
2016simprd 496 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
214logdmnrp 25151 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
22 lognegb 25100 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2312, 13, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2423necon3bbid 3050 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
2521, 24mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
2625necomd 3068 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
2715, 19, 20, 26leneltd 10782 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
2818renegcli 10935 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
2928rexri 10687 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ*
3018rexri 10687 . . . . . . 7 π ∈ ℝ*
31 elioo2 12767 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
3229, 30, 31mp2an 688 . . . . . 6 ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
3315, 17, 27, 32syl3anbrc 1335 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
34 imf 14460 . . . . . 6 ℑ:ℂ⟶ℝ
35 ffn 6507 . . . . . 6 (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
36 elpreima 6820 . . . . . 6 (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
3734, 35, 36mp2b 10 . . . . 5 ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
3814, 33, 37sylanbrc 583 . . . 4 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
3910, 38mprgbir 3150 . . 3 (log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π))
40 df-ioo 12730 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
41 df-ioc 12731 . . . . . . . . . 10 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
42 idd 24 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-π < 𝑤 → -π < 𝑤))
43 xrltle 12530 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
4440, 41, 42, 43ixxssixx 12740 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ⊆ (-π(,]π)
45 imass2 5958 . . . . . . . . 9 ((-π(,)π) ⊆ (-π(,]π) → (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π))
47 logrn 25069 . . . . . . . 8 ran log = (ℑ “ (-π(,]π))
4846, 47sseqtrri 4001 . . . . . . 7 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ ran log
4948sseli 3960 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
50 logef 25092 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
52 elpreima 6820 . . . . . . . . . 10 (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
5334, 35, 52mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
54 efcl 15424 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5653, 55sylbi 218 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5753simplbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5857imcld 14542 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
59 eliooord 12784 . . . . . . . . . . . 12 ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
6053, 59simplbiim 505 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
6160simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
6258, 61ltned 10764 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
6351adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
6463fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
65 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
66 mnfxr 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
67 0re 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
68 elioc2 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
6966, 67, 68mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
7065, 69sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
7170simp1d 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
72 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
7370simp3d 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
74 efne0 15438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7557, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7776necomd 3068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
7871, 72, 73, 77leneltd 10782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
7971, 78negelrpd 12411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
80 lognegb 25100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8156, 75, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8379, 82mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
8464, 83eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
8584ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
8685necon3ad 3026 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
8762, 86mpd 15 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
8856, 87eldifd 3944 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8988, 4eleqtrrdi 2921 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
90 funfvima2 6984 . . . . . . 7 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
913, 8, 90mp2an 688 . . . . . 6 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
9289, 91syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
9351, 92eqeltrrd 2911 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
9493ssriv 3968 . . 3 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
9539, 94eqssi 3980 . 2 (log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π))
96 imcncf 23438 . . . 4 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
97 ssid 3986 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
98 ax-resscn 10582 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
99 eqid 2818 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099cnfldtopon 23318 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
101100toponrestid 21457 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
10299tgioo2 23338 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
10399, 101, 102cncfcn 23444 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
10497, 98, 103mp2an 688 . . . 4 (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
10596, 104eleqtri 2908 . . 3 ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
106 iooretop 23301 . . 3 (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
107 cnima 21801 . . 3 ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
108105, 106, 107mp2an 688 . 2 (ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
10995, 108eqeltri 2906 1 (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  cdif 3930  wss 3933  {csn 4557   class class class wbr 5057  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  -cneg 10859  +crp 12377  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  cim 14445  expce 15403  πcpi 15408  TopOpenctopn 16683  topGenctg 16699  fldccnfld 20473   Cn ccn 21760  cnccncf 23411  logclog 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067
This theorem is referenced by:  dvlog  25161
  Copyright terms: Public domain W3C validator