MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvloglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvloglem 25949
Description: Lemma for dvlog 25952. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvloglem (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 25866 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1ofun 6783 . . . . . 6 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 Fun log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54logdmss 25943 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 f1odm 6785 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6 dom log = (ℂ ∖ {0})
85, 7sseqtrri 3979 . . . . 5 𝐷 ⊆ dom log
9 funimass4 6904 . . . . 5 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π))))
103, 8, 9mp2an 690 . . . 4 ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
114ellogdm 25940 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
1211simplbi 498 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
134logdmn0 25941 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
1412, 13logcld 25872 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
1514imcld 15034 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
1612, 13logimcld 25873 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
1716simpld 495 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
18 pire 25761 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → π ∈ ℝ)
2016simprd 496 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
214logdmnrp 25942 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
22 lognegb 25891 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2312, 13, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2423necon3bbid 2979 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
2521, 24mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
2625necomd 2997 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
2715, 19, 20, 26leneltd 11267 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
2818renegcli 11420 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
2928rexri 11171 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ*
3018rexri 11171 . . . . . . 7 π ∈ ℝ*
31 elioo2 13259 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
3229, 30, 31mp2an 690 . . . . . 6 ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
3315, 17, 27, 32syl3anbrc 1343 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
34 imf 14952 . . . . . 6 ℑ:ℂ⟶ℝ
35 ffn 6665 . . . . . 6 (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
36 elpreima 7005 . . . . . 6 (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
3734, 35, 36mp2b 10 . . . . 5 ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
3814, 33, 37sylanbrc 583 . . . 4 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
3910, 38mprgbir 3069 . . 3 (log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π))
40 df-ioo 13222 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
41 df-ioc 13223 . . . . . . . . . 10 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
42 idd 24 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-π < 𝑤 → -π < 𝑤))
43 xrltle 13022 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
4440, 41, 42, 43ixxssixx 13232 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ⊆ (-π(,]π)
45 imass2 6052 . . . . . . . . 9 ((-π(,)π) ⊆ (-π(,]π) → (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π))
47 logrn 25860 . . . . . . . 8 ran log = (ℑ “ (-π(,]π))
4846, 47sseqtrri 3979 . . . . . . 7 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ ran log
4948sseli 3938 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
50 logef 25883 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
52 elpreima 7005 . . . . . . . . . 10 (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
5334, 35, 52mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
54 efcl 15919 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5653, 55sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5753simplbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5857imcld 15034 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
59 eliooord 13277 . . . . . . . . . . . 12 ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
6053, 59simplbiim 505 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
6160simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
6258, 61ltned 11249 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
6351adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
6463fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
65 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
66 mnfxr 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
67 0re 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
68 elioc2 13281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
6966, 67, 68mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
7065, 69sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
7170simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
72 0red 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
7370simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
74 efne0 15933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7557, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7776necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
7871, 72, 73, 77leneltd 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
7971, 78negelrpd 12903 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
80 lognegb 25891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8156, 75, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8379, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
8464, 83eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
8584ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
8685necon3ad 2954 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
8762, 86mpd 15 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
8856, 87eldifd 3919 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8988, 4eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
90 funfvima2 7177 . . . . . . 7 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
913, 8, 90mp2an 690 . . . . . 6 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
9289, 91syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
9351, 92eqeltrrd 2839 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
9493ssriv 3946 . . 3 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
9539, 94eqssi 3958 . 2 (log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π))
96 imcncf 24212 . . . 4 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
97 ssid 3964 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
98 ax-resscn 11066 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
99 eqid 2736 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099cnfldtopon 24092 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
101100toponrestid 22216 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
10299tgioo2 24112 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
10399, 101, 102cncfcn 24219 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
10497, 98, 103mp2an 690 . . . 4 (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
10596, 104eleqtri 2836 . . 3 ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
106 iooretop 24075 . . 3 (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
107 cnima 22562 . . 3 ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
108105, 106, 107mp2an 690 . 2 (ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
10995, 108eqeltri 2834 1 (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  cdif 3905  wss 3908  {csn 4584   class class class wbr 5103  ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632  cima 5634  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  wf 6489  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  -∞cmnf 11145  *cxr 11146   < clt 11147  cle 11148  -cneg 11344  +crp 12869  (,)cioo 13218  (,]cioc 13219  cim 14937  expce 15898  πcpi 15903  TopOpenctopn 17257  topGenctg 17273  fldccnfld 20743   Cn ccn 22521  cnccncf 24185  logclog 25856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ioc 13223  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14906  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-limsup 15307  df-clim 15324  df-rlim 15325  df-sum 15525  df-ef 15904  df-sin 15906  df-cos 15907  df-pi 15909  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-starv 17102  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-ip 17105  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-unif 17110  df-hom 17111  df-cco 17112  df-rest 17258  df-topn 17259  df-0g 17277  df-gsum 17278  df-topgen 17279  df-pt 17280  df-prds 17283  df-xrs 17338  df-qtop 17343  df-imas 17344  df-xps 17346  df-mre 17420  df-mrc 17421  df-acs 17423  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-submnd 18556  df-mulg 18826  df-cntz 19050  df-cmn 19517  df-psmet 20735  df-xmet 20736  df-met 20737  df-bl 20738  df-mopn 20739  df-fbas 20740  df-fg 20741  df-cnfld 20744  df-top 22189  df-topon 22206  df-topsp 22228  df-bases 22242  df-cld 22316  df-ntr 22317  df-cls 22318  df-nei 22395  df-lp 22433  df-perf 22434  df-cn 22524  df-cnp 22525  df-haus 22612  df-tx 22859  df-hmeo 23052  df-fil 23143  df-fm 23235  df-flim 23236  df-flf 23237  df-xms 23619  df-ms 23620  df-tms 23621  df-cncf 24187  df-limc 25176  df-dv 25177  df-log 25858
This theorem is referenced by:  dvlog  25952
  Copyright terms: Public domain W3C validator