Theorem dvloglem 26969

Description: Lemma for dvlog 26972. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvloglem	⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26885	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2		f1ofun 6824	. . . . . 6 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 26963	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		f1odm 6826	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom log = (ℂ ∖ {0})
8	5, 7	sseqtrri 3980	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ dom log
9		funimass4 6947	. . . . 5 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π))))
10	3, 8, 9	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)))
11	4	ellogdm 26960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
12	11	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
13	4	logdmn0 26961	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
14	12, 13	logcld 26891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
15	14	imcld 15355	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12, 13	logimcld 26892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
17	16	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
18		pire 26776	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ∈ ℝ)
20	16	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
21	4	logdmnrp 26962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
22		lognegb 26911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
23	12, 13, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
24	23	necon3bbid 2993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
25	21, 24	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
26	25	necomd 3011	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
27	15, 19, 20, 26	leneltd 11457	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
28	18	renegcli 11612	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
29	28	rexri 11360	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ*
30	18	rexri 11360	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ*
31		elioo2 13510	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
32	29, 30, 31	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
33	15, 17, 27, 32	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
34		imf 15273	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
35		ffn 6707	. . . . . 6 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
36		elpreima 7055	. . . . . 6 ⊢ (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
37	34, 35, 36	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
38	14, 33, 37	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)))
39	10, 38	mprgbir 3084	. . 3 ⊢ (log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π))
40		df-ioo 13473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
41		df-ioc 13474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
42		idd 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (-π < 𝑤 → -π < 𝑤))
43		xrltle 13271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
44	40, 41, 42, 43	ixxssixx 13483	. . . . . . . . 9 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π(,]π)
45		imass2 6055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ (-π(,]π) → (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,]π)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,]π))
47		logrn 26879	. . . . . . . 8 ⊢ ran log = (◡ℑ “ (-π(,]π))
48	46, 47	sseqtrri 3980	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ ran log
49	48	sseli 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
50		logef 26902	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
51	49, 50	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
52		elpreima 7055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
53	34, 35, 52	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
54		efcl 16241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
56	53, 55	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
57	53	simplbi 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57	imcld 15355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
59		eliooord 13529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
60	53, 59	simplbiim 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
61	60	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
62	58, 61	ltned 11439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
63	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
64	63	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
65		mnfxr 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
66		0re 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		elioc2 13533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
68	65, 66, 67	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
69	68	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
70	69	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
71		0red 11304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
72	69	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
73		efne0 16257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
74	57, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
76	75	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
77	70, 71, 72, 76	leneltd 11457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
78	70, 77	negelrpd 13149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
79		lognegb 26911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
80	56, 74, 79	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
82	78, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
83	64, 82	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
84	83	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
85	84	necon3ad 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
86	62, 85	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
87	56, 86	eldifd 3910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
88	87, 4	eleqtrrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
89		funfvima2 7235	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
90	3, 8, 89	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
91	88, 90	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
92	51, 91	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
93	92	ssriv 3935	. . 3 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
94	39, 93	eqssi 3947	. 2 ⊢ (log “ 𝐷) = (◡ℑ “ (-π(,)π))
95		imcncf 25217	. . . 4 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
96		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
97		ax-resscn 11250	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
98		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
99	98	cnfldtopon 25094	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
100	99	toponrestid 23232	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
101		tgioo4 25117	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102	98, 100, 101	cncfcn 25224	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
103	96, 97, 102	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
104	95, 103	eleqtri 2859	. . 3 ⊢ ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
105		iooretop 25077	. . 3 ⊢ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
106		cnima 23576	. . 3 ⊢ ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
107	104, 105, 106	mp2an 705	. 2 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
108	94, 107	eqeltri 2857	1 ⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  -∞cmnf 11334  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  -cneg 11535  ℝ⁺crp 13113  (,)cioo 13469  (,]cioc 13470  ℑcim 15258  expce 16220  πcpi 16225  TopOpenctopn 17585  topGenctg 17601  ℂ_fldccnfld 21671   Cn ccn 23535  –cn→ccncf 25190  logclog 26875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226  df-sin 16228  df-cos 16229  df-pi 16231  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-limc 26179  df-dv 26180  df-log 26877

This theorem is used by:  dvlog  26972