Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvloglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvloglem 25242
 Description: Lemma for dvlog 25245. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvloglem (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 25159 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1ofun 6596 . . . . . 6 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 Fun log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54logdmss 25236 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 f1odm 6598 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6 dom log = (ℂ ∖ {0})
85, 7sseqtrri 3955 . . . . 5 𝐷 ⊆ dom log
9 funimass4 6709 . . . . 5 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π))))
103, 8, 9mp2an 691 . . . 4 ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
114ellogdm 25233 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
1211simplbi 501 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
134logdmn0 25234 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
1412, 13logcld 25165 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
1514imcld 14549 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
1612, 13logimcld 25166 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
1716simpld 498 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
18 pire 25054 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → π ∈ ℝ)
2016simprd 499 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
214logdmnrp 25235 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
22 lognegb 25184 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2312, 13, 22syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2423necon3bbid 3027 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
2521, 24mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
2625necomd 3045 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
2715, 19, 20, 26leneltd 10787 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
2818renegcli 10940 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
2928rexri 10692 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ*
3018rexri 10692 . . . . . . 7 π ∈ ℝ*
31 elioo2 12771 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
3229, 30, 31mp2an 691 . . . . . 6 ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
3315, 17, 27, 32syl3anbrc 1340 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
34 imf 14467 . . . . . 6 ℑ:ℂ⟶ℝ
35 ffn 6491 . . . . . 6 (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
36 elpreima 6809 . . . . . 6 (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
3734, 35, 36mp2b 10 . . . . 5 ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
3814, 33, 37sylanbrc 586 . . . 4 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
3910, 38mprgbir 3124 . . 3 (log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π))
40 df-ioo 12734 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
41 df-ioc 12735 . . . . . . . . . 10 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
42 idd 24 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-π < 𝑤 → -π < 𝑤))
43 xrltle 12534 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
4440, 41, 42, 43ixxssixx 12744 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ⊆ (-π(,]π)
45 imass2 5936 . . . . . . . . 9 ((-π(,)π) ⊆ (-π(,]π) → (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π))
47 logrn 25153 . . . . . . . 8 ran log = (ℑ “ (-π(,]π))
4846, 47sseqtrri 3955 . . . . . . 7 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ ran log
4948sseli 3914 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
50 logef 25176 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
52 elpreima 6809 . . . . . . . . . 10 (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
5334, 35, 52mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
54 efcl 15431 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5554adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5653, 55sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5753simplbi 501 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5857imcld 14549 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
59 eliooord 12788 . . . . . . . . . . . 12 ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
6053, 59simplbiim 508 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
6160simprd 499 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
6258, 61ltned 10769 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
6351adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
6463fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
65 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
66 mnfxr 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
67 0re 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
68 elioc2 12792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
6966, 67, 68mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
7065, 69sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
7170simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
72 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
7370simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
74 efne0 15445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7557, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7675adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7776necomd 3045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
7871, 72, 73, 77leneltd 10787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
7971, 78negelrpd 12415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
80 lognegb 25184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8156, 75, 80syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8281adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8379, 82mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
8464, 83eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
8584ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
8685necon3ad 3003 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
8762, 86mpd 15 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
8856, 87eldifd 3895 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8988, 4eleqtrrdi 2904 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
90 funfvima2 6975 . . . . . . 7 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
913, 8, 90mp2an 691 . . . . . 6 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
9289, 91syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
9351, 92eqeltrrd 2894 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
9493ssriv 3922 . . 3 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
9539, 94eqssi 3934 . 2 (log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π))
96 imcncf 23511 . . . 4 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
97 ssid 3940 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
98 ax-resscn 10587 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
99 eqid 2801 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099cnfldtopon 23391 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
101100toponrestid 21529 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
10299tgioo2 23411 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
10399, 101, 102cncfcn 23518 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
10497, 98, 103mp2an 691 . . . 4 (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
10596, 104eleqtri 2891 . . 3 ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
106 iooretop 23374 . . 3 (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
107 cnima 21873 . . 3 ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
108105, 106, 107mp2an 691 . 2 (ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
10995, 108eqeltri 2889 1 (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524   “ cima 5526  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  -∞cmnf 10666  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669  -cneg 10864  ℝ+crp 12381  (,)cioo 12730  (,]cioc 12731  ℑcim 14452  expce 15410  πcpi 15415  TopOpenctopn 16690  topGenctg 16706  ℂfldccnfld 20094   Cn ccn 21832  –cn→ccncf 23484  logclog 25149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151 This theorem is referenced by:  dvlog  25245
 Copyright terms: Public domain W3C validator