Theorem dvloglem 27033

Description: Lemma for dvlog 27036. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvloglem	⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26949	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶1-1ontoran log
2		f1ofun 6856	. . . . . 6 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})⟶1-1ontoran log → Fun log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 27027	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		f1odm 6858	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})⟶1-1ontoran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom log = (ℂ ∖ {0})
8	5, 7	sseqtrri 3962	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ dom log
9		funimass4 6980	. . . . 5 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π))))
10	3, 8, 9	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)))
11	4	ellogdm 27024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
12	11	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
13	4	logdmn0 27025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
14	12, 13	logcld 26955	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
15	14	imcld 15405	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12, 13	logimcld 26956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ( -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
17	16	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
18		pire 26840	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ∈ ℝ)
20	16	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
21	4	logdmnrp 27026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
22		lognegb 26975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ( -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
23	12, 13, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ( -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
24	23	necon3bbid 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
25	21, 24	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
26	25	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
27	15, 19, 20, 26	leneltd 11503	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
28	18	renegcli 11658	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
29	28	rexri 11406	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ*
30	18	rexri 11406	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ*
31		elioo2 13557	. . . . . . 7 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ( -π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
32	29, 30, 31	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ( -π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
33	15, 17, 27, 32	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ( -π(,)π))
34		imf 15323	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
35		ffn 6739	. . . . . 6 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
36		elpreima 7088	. . . . . 6 ⊢ (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ( -π(,)π))))
37	34, 35, 36	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ( -π(,)π)))
38	14, 33, 37	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)))
39	10, 38	mprgbir 3087	. . 3 ⊢ (log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,)π))
40		df-ioo 13520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
41		df-ioc 13521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
42		idd 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ( -π < 𝑤 → -π < 𝑤))
43		xrltle 13318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
44	40, 41, 42, 43	ixxssixx 13530	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -π(,)π) ⊆ ( -π(,]π)
45		imass2 6073	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -π(,)π) ⊆ ( -π(,]π) → (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,]π)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,]π))
47		logrn 26943	. . . . . . . 8 ⊢ ran log = (◡ℑ “ ( -π(,]π))
48	46, 47	sseqtrri 3962	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ⊆ ran log
49	48	sseli 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
50		logef 26966	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
51	49, 50	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
52		elpreima 7088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π))))
53	34, 35, 52	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π)))
54		efcl 16292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
56	53, 55	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
57	53	simplbi 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57	imcld 15405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
59		eliooord 13576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π) → ( -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
60	53, 59	simplbiim 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ( -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
61	60	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
62	58, 61	ltned 11485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
63	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
64	63	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
65		mnfxr 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
66		0re 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		elioc2 13580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
68	65, 66, 67	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
69	68	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
70	69	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
71		0red 11350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
72	69	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
73		efne0 16308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
74	57, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
76	75	necomd 3014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
77	70, 71, 72, 76	leneltd 11503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
78	70, 77	negelrpd 13196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
79		lognegb 26975	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → ( -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
80	56, 74, 79	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ( -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ( -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
82	78, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
83	64, 82	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
84	83	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
85	84	necon3ad 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
86	62, 85	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
87	56, 86	eldifd 4053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
88	87, 4	eleqtrrdi 2875	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
89		funfvima2 7268	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
90	3, 8, 89	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
91	88, 90	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
92	51, 91	eqeltrrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
93	92	ssriv 3917	. . 3 ⊢ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
94	39, 93	eqssi 3929	. 2 ⊢ (log “ 𝐷) = (◡ℑ “ ( -π(,)π))
95		imcncf 25279	. . . 4 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
96		ssid 3935	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
97		ax-resscn 11296	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
98		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
99	98	cnfldtopon 25156	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
100	99	toponrestid 23294	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
101		tgioo4 25179	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102	98, 100, 101	cncfcn 25286	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
103	96, 97, 102	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
104	95, 103	eleqtri 2862	. . 3 ⊢ ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
105		iooretop 25139	. . 3 ⊢ ( -π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
106		cnima 23638	. . 3 ⊢ ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ ( -π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
107	104, 105, 106	mp2an 705	. 2 ⊢ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
108	94, 107	eqeltri 2860	1 ⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659   “ cima 5661  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581  ℝ⁺crp 13160  (,)cioo 13516  (,]cioc 13517  ℑcim 15308  expce 16271  πcpi 16276  TopOpenctopn 17642  topGenctg 17658  ℂ_fldccnfld 21729   Cn ccn 23597  –cn→ccncf 25252  logclog 26939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941

This theorem is used by:  dvlog  27036