Theorem dvloglem 26985

Description: Lemma for dvlog 26988. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvloglem	⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26901	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2		f1ofun 6831	. . . . . 6 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 26979	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		f1odm 6833	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom log = (ℂ ∖ {0})
8	5, 7	sseqtrri 3958	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ dom log
9		funimass4 6954	. . . . 5 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π))))
10	3, 8, 9	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)))
11	4	ellogdm 26976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
12	11	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
13	4	logdmn0 26977	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
14	12, 13	logcld 26907	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
15	14	imcld 15371	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12, 13	logimcld 26908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ( -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
17	16	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
18		pire 26792	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ∈ ℝ)
20	16	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
21	4	logdmnrp 26978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
22		lognegb 26927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ( -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
23	12, 13, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ( -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
24	23	necon3bbid 2992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
25	21, 24	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
26	25	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
27	15, 19, 20, 26	leneltd 11471	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
28	18	renegcli 11626	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
29	28	rexri 11374	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ*
30	18	rexri 11374	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ*
31		elioo2 13524	. . . . . . 7 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ( -π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
32	29, 30, 31	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ( -π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
33	15, 17, 27, 32	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ( -π(,)π))
34		imf 15289	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
35		ffn 6714	. . . . . 6 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
36		elpreima 7062	. . . . . 6 ⊢ (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ( -π(,)π))))
37	34, 35, 36	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ( -π(,)π)))
38	14, 33, 37	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)))
39	10, 38	mprgbir 3083	. . 3 ⊢ (log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,)π))
40		df-ioo 13487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
41		df-ioc 13488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
42		idd 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ( -π < 𝑤 → -π < 𝑤))
43		xrltle 13285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
44	40, 41, 42, 43	ixxssixx 13497	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -π(,)π) ⊆ ( -π(,]π)
45		imass2 6057	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -π(,)π) ⊆ ( -π(,]π) → (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,]π)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,]π))
47		logrn 26895	. . . . . . . 8 ⊢ ran log = (◡ℑ “ ( -π(,]π))
48	46, 47	sseqtrri 3958	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ⊆ ran log
49	48	sseli 3905	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
50		logef 26918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
51	49, 50	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
52		elpreima 7062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π))))
53	34, 35, 52	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π)))
54		efcl 16257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
56	53, 55	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
57	53	simplbi 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57	imcld 15371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
59		eliooord 13543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π) → ( -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
60	53, 59	simplbiim 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ( -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
61	60	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
62	58, 61	ltned 11453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
63	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
64	63	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
65		mnfxr 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
66		0re 11317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		elioc2 13547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
68	65, 66, 67	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
69	68	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
70	69	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
71		0red 11318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
72	69	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
73		efne0 16273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
74	57, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
76	75	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
77	70, 71, 72, 76	leneltd 11471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
78	70, 77	negelrpd 13163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
79		lognegb 26927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → ( -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
80	56, 74, 79	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ( -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ( -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
82	78, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
83	64, 82	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
84	83	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
85	84	necon3ad 2968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
86	62, 85	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
87	56, 86	eldifd 4049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
88	87, 4	eleqtrrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
89		funfvima2 7241	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
90	3, 8, 89	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
91	88, 90	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
92	51, 91	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
93	92	ssriv 3913	. . 3 ⊢ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
94	39, 93	eqssi 3925	. 2 ⊢ (log “ 𝐷) = (◡ℑ “ ( -π(,)π))
95		imcncf 25233	. . . 4 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
96		ssid 3931	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
97		ax-resscn 11264	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
98		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
99	98	cnfldtopon 25110	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
100	99	toponrestid 23248	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
101		tgioo4 25133	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102	98, 100, 101	cncfcn 25240	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
103	96, 97, 102	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
104	95, 103	eleqtri 2858	. . 3 ⊢ ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
105		iooretop 25093	. . 3 ⊢ ( -π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
106		cnima 23592	. . 3 ⊢ ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ ( -π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
107	104, 105, 106	mp2an 705	. 2 ⊢ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
108	94, 107	eqeltri 2856	1 ⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  {csn 4584   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  -∞cmnf 11348  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351   -cneg 11549  ℝ⁺crp 13127  (,)cioo 13483  (,]cioc 13484  ℑcim 15274  expce 16236  πcpi 16241  TopOpenctopn 17601  topGenctg 17617  ℂ_fldccnfld 21687   Cn ccn 23551  –cn→ccncf 25206  logclog 26891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893

This theorem is used by:  dvlog  26988