Theorem dvloglem 26710

Description: Lemma for dvlog 26713. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvloglem	⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26626	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2		f1ofun 6808	. . . . . 6 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 26704	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		f1odm 6810	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom log = (ℂ ∖ {0})
8	5, 7	sseqtrri 3985	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ dom log
9		funimass4 6931	. . . . 5 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π))))
10	3, 8, 9	mp2an 702	. . . 4 ⊢ ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)))
11	4	ellogdm 26701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
12	11	simplbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
13	4	logdmn0 26702	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
14	12, 13	logcld 26632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
15	14	imcld 15222	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12, 13	logimcld 26633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
17	16	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
18		pire 26516	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ∈ ℝ)
20	16	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
21	4	logdmnrp 26703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
22		lognegb 26652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
23	12, 13, 22	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
24	23	necon3bbid 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
25	21, 24	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
26	25	necomd 3012	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
27	15, 19, 20, 26	leneltd 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
28	18	renegcli 11492	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
29	28	rexri 11240	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ*
30	18	rexri 11240	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ*
31		elioo2 13390	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
32	29, 30, 31	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
33	15, 17, 27, 32	syl3anbrc 1357	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
34		imf 15140	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
35		ffn 6691	. . . . . 6 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
36		elpreima 7039	. . . . . 6 ⊢ (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
37	34, 35, 36	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
38	14, 33, 37	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)))
39	10, 38	mprgbir 3083	. . 3 ⊢ (log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π))
40		df-ioo 13353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
41		df-ioc 13354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
42		idd 24	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (-π < 𝑤 → -π < 𝑤))
43		xrltle 13151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
44	40, 41, 42, 43	ixxssixx 13363	. . . . . . . . 9 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π(,]π)
45		imass2 6091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ (-π(,]π) → (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,]π)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,]π))
47		logrn 26620	. . . . . . . 8 ⊢ ran log = (◡ℑ “ (-π(,]π))
48	46, 47	sseqtrri 3985	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ ran log
49	48	sseli 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
50		logef 26643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
52		elpreima 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
53	34, 35, 52	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
54		efcl 16112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
55	54	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
56	53, 55	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
57	53	simplbi 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57	imcld 15222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
59		eliooord 13409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
60	53, 59	simplbiim 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
61	60	simprd 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
62	58, 61	ltned 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
63	51	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
64	63	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
65		mnfxr 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
66		0re 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		elioc2 13413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
68	65, 66, 67	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
69	68	bilani 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
70	69	simp1d 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
71		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
72	69	simp3d 1157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
73		efne0 16128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
74	57, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
75	74	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
76	75	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
77	70, 71, 72, 76	leneltd 11337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
78	70, 77	negelrpd 13029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
79		lognegb 26652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
80	56, 74, 79	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
81	80	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
82	78, 81	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
83	64, 82	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
84	83	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
85	84	necon3ad 2970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
86	62, 85	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
87	56, 86	eldifd 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
88	87, 4	eleqtrrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
89		funfvima2 7215	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
90	3, 8, 89	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
91	88, 90	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
92	51, 91	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
93	92	ssriv 3940	. . 3 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
94	39, 93	eqssi 3952	. 2 ⊢ (log “ 𝐷) = (◡ℑ “ (-π(,)π))
95		imcncf 24962	. . . 4 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
96		ssid 3958	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
97		ax-resscn 11130	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
98		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
99	98	cnfldtopon 24839	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
100	99	toponrestid 22978	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
101		tgioo4 24862	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102	98, 100, 101	cncfcn 24969	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
103	96, 97, 102	mp2an 702	. . . 4 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
104	95, 103	eleqtri 2860	. . 3 ⊢ ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
105		iooretop 24822	. . 3 ⊢ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
106		cnima 23322	. . 3 ⊢ ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
107	104, 105, 106	mp2an 702	. 2 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
108	94, 107	eqeltri 2858	1 ⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4582   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647  ran crn 5648   “ cima 5650  Fun wfun 6515   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  -∞cmnf 11214  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  -cneg 11415  ℝ⁺crp 12993  (,)cioo 13349  (,]cioc 13350  ℑcim 15125  expce 16091  πcpi 16096  TopOpenctopn 17450  topGenctg 17466  ℂ_fldccnfld 21421   Cn ccn 23281  –cn→ccncf 24935  logclog 26616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-haus 23372  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926  df-log 26618

This theorem is referenced by:  dvlog  26713