Theorem dvloglem 26864

Description: Lemma for dvlog 26867. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvloglem	⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26780	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2		f1ofun 6826	. . . . . 6 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 26858	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		f1odm 6828	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom log = (ℂ ∖ {0})
8	5, 7	sseqtrri 3987	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ dom log
9		funimass4 6949	. . . . 5 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π))))
10	3, 8, 9	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)))
11	4	ellogdm 26855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
12	11	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
13	4	logdmn0 26856	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
14	12, 13	logcld 26786	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
15	14	imcld 15270	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12, 13	logimcld 26787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
17	16	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
18		pire 26670	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ∈ ℝ)
20	16	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
21	4	logdmnrp 26857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
22		lognegb 26806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
23	12, 13, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
24	23	necon3bbid 2997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
25	21, 24	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
26	25	necomd 3015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
27	15, 19, 20, 26	leneltd 11379	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
28	18	renegcli 11534	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
29	28	rexri 11282	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ*
30	18	rexri 11282	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ*
31		elioo2 13429	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
32	29, 30, 31	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
33	15, 17, 27, 32	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
34		imf 15188	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
35		ffn 6709	. . . . . 6 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
36		elpreima 7057	. . . . . 6 ⊢ (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
37	34, 35, 36	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ((log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
38	14, 33, 37	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)))
39	10, 38	mprgbir 3088	. . 3 ⊢ (log “ 𝐷) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,)π))
40		df-ioo 13392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
41		df-ioc 13393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
42		idd 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (-π < 𝑤 → -π < 𝑤))
43		xrltle 13190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
44	40, 41, 42, 43	ixxssixx 13402	. . . . . . . . 9 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π(,]π)
45		imass2 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ (-π(,]π) → (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,]π)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (◡ℑ “ (-π(,]π))
47		logrn 26774	. . . . . . . 8 ⊢ ran log = (◡ℑ “ (-π(,]π))
48	46, 47	sseqtrri 3987	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ ran log
49	48	sseli 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
50		logef 26797	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
51	49, 50	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
52		elpreima 7057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
53	34, 35, 52	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
54		efcl 16158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
56	53, 55	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
57	53	simplbi 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57	imcld 15270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
59		eliooord 13448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
60	53, 59	simplbiim 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
61	60	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
62	58, 61	ltned 11361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
63	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
64	63	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
65		mnfxr 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
66		0re 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		elioc2 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
68	65, 66, 67	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
69	68	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
70	69	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
71		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
72	69	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
73		efne0 16174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
74	57, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
76	75	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
77	70, 71, 72, 76	leneltd 11379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
78	70, 77	negelrpd 13068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
79		lognegb 26806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
80	56, 74, 79	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
82	78, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
83	64, 82	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
84	83	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
85	84	necon3ad 2973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
86	62, 85	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
87	56, 86	eldifd 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
88	87, 4	eleqtrrdi 2876	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
89		funfvima2 7236	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
90	3, 8, 89	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
91	88, 90	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
92	51, 91	eqeltrrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
93	92	ssriv 3942	. . 3 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
94	39, 93	eqssi 3954	. 2 ⊢ (log “ 𝐷) = (◡ℑ “ (-π(,)π))
95		imcncf 25113	. . . 4 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
96		ssid 3960	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
97		ax-resscn 11172	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
98		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
99	98	cnfldtopon 24990	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
100	99	toponrestid 23128	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
101		tgioo4 25013	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102	98, 100, 101	cncfcn 25120	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
103	96, 97, 102	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
104	95, 103	eleqtri 2863	. . 3 ⊢ ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
105		iooretop 24973	. . 3 ⊢ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
106		cnima 23472	. . 3 ⊢ ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
107	104, 105, 106	mp2an 705	. 2 ⊢ (◡ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
108	94, 107	eqeltri 2861	1 ⊢ (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115  -∞cmnf 11256  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259  -cneg 11457  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13388  (,]cioc 13389  ℑcim 15173  expce 16137  πcpi 16142  TopOpenctopn 17496  topGenctg 17512  ℂ_fldccnfld 21572   Cn ccn 23431  –cn→ccncf 25086  logclog 26770

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143  df-sin 16145  df-cos 16146  df-pi 16148  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-limc 26076  df-dv 26077  df-log 26772

This theorem is used by:  dvlog  26867