MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvloglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvloglem 26003
Description: Lemma for dvlog 26006. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvloglem (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem dvloglem
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 25920 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1ofun 6786 . . . . . 6 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 Fun log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54logdmss 25997 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 f1odm 6788 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → dom log = (ℂ ∖ {0}))
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6 dom log = (ℂ ∖ {0})
85, 7sseqtrri 3981 . . . . 5 𝐷 ⊆ dom log
9 funimass4 6907 . . . . 5 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π))))
103, 8, 9mp2an 690 . . . 4 ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
114ellogdm 25994 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
1211simplbi 498 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
134logdmn0 25995 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
1412, 13logcld 25926 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
1514imcld 15080 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
1612, 13logimcld 25927 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
1716simpld 495 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
18 pire 25815 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → π ∈ ℝ)
2016simprd 496 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
214logdmnrp 25996 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
22 lognegb 25945 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2312, 13, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2423necon3bbid 2981 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
2521, 24mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
2625necomd 2999 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
2715, 19, 20, 26leneltd 11309 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
2818renegcli 11462 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
2928rexri 11213 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ*
3018rexri 11213 . . . . . . 7 π ∈ ℝ*
31 elioo2 13305 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
3229, 30, 31mp2an 690 . . . . . 6 ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
3315, 17, 27, 32syl3anbrc 1343 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
34 imf 14998 . . . . . 6 ℑ:ℂ⟶ℝ
35 ffn 6668 . . . . . 6 (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
36 elpreima 7008 . . . . . 6 (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
3734, 35, 36mp2b 10 . . . . 5 ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
3814, 33, 37sylanbrc 583 . . . 4 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
3910, 38mprgbir 3071 . . 3 (log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π))
40 df-ioo 13268 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
41 df-ioc 13269 . . . . . . . . . 10 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
42 idd 24 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-π < 𝑤 → -π < 𝑤))
43 xrltle 13068 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
4440, 41, 42, 43ixxssixx 13278 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ⊆ (-π(,]π)
45 imass2 6054 . . . . . . . . 9 ((-π(,)π) ⊆ (-π(,]π) → (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π))
47 logrn 25914 . . . . . . . 8 ran log = (ℑ “ (-π(,]π))
4846, 47sseqtrri 3981 . . . . . . 7 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ ran log
4948sseli 3940 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
50 logef 25937 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
52 elpreima 7008 . . . . . . . . . 10 (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
5334, 35, 52mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
54 efcl 15965 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5653, 55sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
5753simplbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5857imcld 15080 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
59 eliooord 13323 . . . . . . . . . . . 12 ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
6053, 59simplbiim 505 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
6160simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
6258, 61ltned 11291 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≠ π)
6351adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
6463fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = (ℑ‘𝑥))
65 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
66 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
67 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
68 elioc2 13327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0)))
6966, 67, 68mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
7065, 69sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -∞ < (exp‘𝑥) ∧ (exp‘𝑥) ≤ 0))
7170simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
72 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
7370simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≤ 0)
74 efne0 15979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7557, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7776necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≠ (exp‘𝑥))
7871, 72, 73, 77leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (exp‘𝑥) < 0)
7971, 78negelrpd 12949 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → -(exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
80 lognegb 25945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8156, 75, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (-(exp‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π))
8379, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘(log‘(exp‘𝑥))) = π)
8464, 83eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)) → (ℑ‘𝑥) = π)
8584ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0) → (ℑ‘𝑥) = π))
8685necon3ad 2956 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) ≠ π → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0)))
8762, 86mpd 15 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → ¬ (exp‘𝑥) ∈ (-∞(,]0))
8856, 87eldifd 3921 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8988, 4eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
90 funfvima2 7181 . . . . . . 7 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
913, 8, 90mp2an 690 . . . . . 6 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
9289, 91syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
9351, 92eqeltrrd 2839 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
9493ssriv 3948 . . 3 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
9539, 94eqssi 3960 . 2 (log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π))
96 imcncf 24266 . . . 4 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
97 ssid 3966 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
98 ax-resscn 11108 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
99 eqid 2736 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099cnfldtopon 24146 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
101100toponrestid 22270 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
10299tgioo2 24166 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
10399, 101, 102cncfcn 24273 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))))
10497, 98, 103mp2an 690 . . . 4 (ℂ–cn→ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
10596, 104eleqtri 2836 . . 3 ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,)))
106 iooretop 24129 . . 3 (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
107 cnima 22616 . . 3 ((ℑ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
108105, 106, 107mp2an 690 . 2 (ℑ “ (-π(,)π)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
10995, 108eqeltri 2834 1 (log “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386  +crp 12915  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  cim 14983  expce 15944  πcpi 15949  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796   Cn ccn 22575  cnccncf 24239  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912
This theorem is referenced by:  dvlog  26006
  Copyright terms: Public domain W3C validator