Theorem ioossicc 13434

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13350	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13353	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13148	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13360	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7392   < clt 11213   ≤ cle 11214  (,)cioo 13346  [,]cicc 13349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-ioo 13350  df-icc 13353

This theorem is referenced by:  ioodisj  13483  iccntr  24862  ivth2  25497  ivthle  25498  ivthle2  25499  ovolioo  25610  uniiccvol  25622  itgioo  25858  rollelem  26031  rolle  26032  cmvth  26033  dvlip  26035  dvlipcn  26036  dvlip2  26037  c1liplem1  26038  dvle  26049  dvivthlem1  26050  dvne0  26053  lhop1lem  26055  dvcnvrelem1  26059  dvfsumle  26063  dvfsumge  26064  dvfsumabs  26065  dvfsumlem2  26069  ftc1a  26079  ftc1lem4  26081  ftc1lem5  26082  ftc1lem6  26083  ftc1  26084  ftc2  26086  itgparts  26089  itgsubstlem  26090  itgsubst  26091  itgpowd  26092  reeff1olem  26486  efcvx  26489  cos0pilt1  26574  tanord1  26579  logccv  26705  loglesqrt  26803  chordthm  26879  amgmlem  27031  lgamgulmlem2  27071  eliccioo  33069  xrge0mulc1cn  34199  omssubadd  34558  ftc2re  34856  fdvposlt  34857  fdvneggt  34858  fdvposle  34859  fdvnegge  34860  circlemeth  34898  logdivsqrle  34908  ivthALT  36659  iccioo01  37785  itg2gt0cn  38138  ftc1cnnclem  38154  ftc1cnnc  38155  ftc2nc  38165  areacirc  38176  lcmineqlem10  42619  lcmineqlem12  42621  lhe4.4ex1a  44869  chordthmALT  45472  iccnct  46081  limciccioolb  46161  limcicciooub  46175  icccncfext  46425  cncfiooicclem1  46431  cncfioobdlem  46434  cncfioobd  46435  itgsin0pilem1  46488  iblioosinexp  46491  itgsinexplem1  46492  itgsinexp  46493  ditgeqiooicc  46498  itgcoscmulx  46507  ibliooicc  46509  itgsincmulx  46512  itgsubsticclem  46513  itgioocnicc  46515  iblcncfioo  46516  itgsbtaddcnst  46520  dirkeritg  46640  fourierdlem20  46665  fourierdlem38  46683  fourierdlem39  46684  fourierdlem46  46690  fourierdlem62  46706  fourierdlem68  46712  fourierdlem69  46713  fourierdlem70  46714  fourierdlem72  46716  fourierdlem73  46717  fourierdlem74  46718  fourierdlem75  46719  fourierdlem76  46720  fourierdlem80  46724  fourierdlem81  46725  fourierdlem82  46726  fourierdlem83  46727  fourierdlem84  46728  fourierdlem85  46729  fourierdlem88  46732  fourierdlem92  46736  fourierdlem93  46737  fourierdlem100  46744  fourierdlem101  46745  fourierdlem103  46747  fourierdlem104  46748  fourierdlem107  46751  fourierdlem111  46755  fourierdlem112  46756  sqwvfoura  46766  sqwvfourb  46767  etransclem18  46790  etransclem46  46818  hoicvrrex  47094  iooii  49503