Theorem ioossicc 13469

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13387	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13390	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13187	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13397	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3962  (class class class)co 7430   < clt 11292   ≤ cle 11293  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ioo 13387  df-icc 13390

This theorem is referenced by:  ioodisj  13518  iccntr  24856  ivth2  25503  ivthle  25504  ivthle2  25505  ovolioo  25616  uniiccvol  25628  itgioo  25865  rollelem  26041  rolle  26042  cmvth  26043  cmvthOLD  26044  dvlip  26046  dvlipcn  26047  dvlip2  26048  c1liplem1  26049  dvle  26060  dvivthlem1  26061  dvne0  26064  lhop1lem  26066  dvcnvrelem1  26070  dvfsumle  26074  dvfsumleOLD  26075  dvfsumge  26076  dvfsumabs  26077  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  ftc1a  26092  ftc1lem4  26094  ftc1lem5  26095  ftc1lem6  26096  ftc1  26097  ftc2  26099  itgparts  26102  itgsubstlem  26103  itgsubst  26104  itgpowd  26105  reeff1olem  26504  efcvx  26507  cos0pilt1  26588  tanord1  26593  logccv  26719  loglesqrt  26818  chordthm  26894  amgmlem  27047  lgamgulmlem2  27087  eliccioo  32897  xrge0mulc1cn  33901  omssubadd  34281  ftc2re  34591  fdvposlt  34592  fdvneggt  34593  fdvposle  34594  fdvnegge  34595  circlemeth  34633  logdivsqrle  34643  ivthALT  36317  iccioo01  37309  itg2gt0cn  37661  ftc1cnnclem  37677  ftc1cnnc  37678  ftc2nc  37688  areacirc  37699  lcmineqlem10  42019  lcmineqlem12  42021  lhe4.4ex1a  44324  chordthmALT  44930  iccnct  45493  limciccioolb  45576  limcicciooub  45592  icccncfext  45842  cncfiooicclem1  45848  cncfioobdlem  45851  cncfioobd  45852  itgsin0pilem1  45905  iblioosinexp  45908  itgsinexplem1  45909  itgsinexp  45910  ditgeqiooicc  45915  itgcoscmulx  45924  ibliooicc  45926  itgsincmulx  45929  itgsubsticclem  45930  itgioocnicc  45932  iblcncfioo  45933  itgsbtaddcnst  45937  dirkeritg  46057  fourierdlem20  46082  fourierdlem38  46100  fourierdlem39  46101  fourierdlem46  46107  fourierdlem62  46123  fourierdlem68  46129  fourierdlem69  46130  fourierdlem70  46131  fourierdlem72  46133  fourierdlem73  46134  fourierdlem74  46135  fourierdlem75  46136  fourierdlem76  46137  fourierdlem80  46141  fourierdlem81  46142  fourierdlem82  46143  fourierdlem83  46144  fourierdlem84  46145  fourierdlem85  46146  fourierdlem88  46149  fourierdlem92  46153  fourierdlem93  46154  fourierdlem100  46161  fourierdlem101  46162  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierdlem107  46168  fourierdlem111  46172  fourierdlem112  46173  sqwvfoura  46183  sqwvfourb  46184  etransclem18  46207  etransclem46  46235  hoicvrrex  46511  iooii  48713