Theorem ioossicc 13461

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13377	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13380	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13175	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13387	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3906  (class class class)co 7412   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,)cioo 13373  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13377  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  ioodisj  13510  iccntr  24960  ivth2  25595  ivthle  25596  ivthle2  25597  ovolioo  25708  uniiccvol  25720  itgioo  25956  rollelem  26129  rolle  26130  cmvth  26131  dvlip  26133  dvlipcn  26134  dvlip2  26135  c1liplem1  26136  dvle  26147  dvivthlem1  26148  dvne0  26151  lhop1lem  26153  dvcnvrelem1  26157  dvfsumle  26161  dvfsumge  26162  dvfsumabs  26163  dvfsumlem2  26167  ftc1a  26177  ftc1lem4  26179  ftc1lem5  26180  ftc1lem6  26181  ftc1  26182  ftc2  26184  itgparts  26187  itgsubstlem  26188  itgsubst  26189  itgpowd  26190  reeff1olem  26590  efcvx  26593  cos0pilt1  26678  tanord1  26683  logccv  26809  loglesqrt  26907  chordthm  26983  amgmlem  27135  lgamgulmlem2  27175  eliccioo  33231  xrge0mulc1cn  34312  omssubadd  34671  ftc2re  34966  fdvposlt  34967  fdvneggt  34968  fdvposle  34969  fdvnegge  34970  circlemeth  35008  logdivsqrle  35018  ivthALT  36827  iccioo01  37954  itg2gt0cn  38307  ftc1cnnclem  38323  ftc1cnnc  38324  ftc2nc  38334  areacirc  38345  lcmineqlem10  42786  lcmineqlem12  42788  lhe4.4ex1a  45022  chordthmALT  45624  iccnct  46240  limciccioolb  46320  limcicciooub  46334  icccncfext  46584  cncfiooicclem1  46590  cncfioobdlem  46593  cncfioobd  46594  itgsin0pilem1  46647  iblioosinexp  46650  itgsinexplem1  46651  itgsinexp  46652  ditgeqiooicc  46657  itgcoscmulx  46666  ibliooicc  46668  itgsincmulx  46671  itgsubsticclem  46672  itgioocnicc  46674  iblcncfioo  46675  itgsbtaddcnst  46679  dirkeritg  46799  fourierdlem20  46824  fourierdlem38  46842  fourierdlem39  46843  fourierdlem46  46849  fourierdlem62  46865  fourierdlem68  46871  fourierdlem69  46872  fourierdlem70  46873  fourierdlem72  46875  fourierdlem73  46876  fourierdlem74  46877  fourierdlem75  46878  fourierdlem76  46879  fourierdlem80  46883  fourierdlem81  46884  fourierdlem82  46885  fourierdlem83  46886  fourierdlem84  46887  fourierdlem85  46888  fourierdlem88  46891  fourierdlem92  46895  fourierdlem93  46896  fourierdlem100  46903  fourierdlem101  46904  fourierdlem103  46906  fourierdlem104  46907  fourierdlem107  46910  fourierdlem111  46914  fourierdlem112  46915  sqwvfoura  46925  sqwvfourb  46926  etransclem18  46949  etransclem46  46977  hoicvrrex  47253  iooii  49679