MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossicc 12820
Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioossicc (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 12739 . 2 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 df-icc 12742 . 2 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
3 xrltle 12539 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
4 xrltle 12539 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
51, 2, 3, 4ixxssixx 12749 1 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3919  (class class class)co 7149   < clt 10673  cle 10674  (,)cioo 12735  [,]cicc 12738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-ioo 12739  df-icc 12742
This theorem is referenced by:  ioodisj  12869  iccntr  23429  ivth2  24062  ivthle  24063  ivthle2  24064  ovolioo  24175  uniiccvol  24187  itgioo  24422  rollelem  24595  rolle  24596  cmvth  24597  dvlip  24599  dvlipcn  24600  dvlip2  24601  c1liplem1  24602  dvle  24613  dvivthlem1  24614  dvne0  24617  lhop1lem  24619  dvcnvrelem1  24623  dvfsumle  24627  dvfsumge  24628  dvfsumabs  24629  dvfsumlem2  24633  ftc1a  24643  ftc1lem4  24645  ftc1lem5  24646  ftc1lem6  24647  ftc1  24648  ftc2  24650  itgparts  24653  itgsubstlem  24654  itgsubst  24655  itgpowd  24656  reeff1olem  25044  efcvx  25047  cos0pilt1  25127  tanord1  25132  logccv  25257  loglesqrt  25350  chordthm  25426  amgmlem  25578  lgamgulmlem2  25618  eliccioo  30618  xrge0mulc1cn  31241  omssubadd  31615  ftc2re  31926  fdvposlt  31927  fdvneggt  31928  fdvposle  31929  fdvnegge  31930  circlemeth  31968  logdivsqrle  31978  ivthALT  33740  iccioo01  34686  itg2gt0cn  35057  ftc1cnnclem  35073  ftc1cnnc  35074  ftc2nc  35084  areacirc  35095  lcmineqlem10  39274  lcmineqlem12  39276  lhe4.4ex1a  40953  chordthmALT  41559  iccnct  42104  limciccioolb  42189  limcicciooub  42205  icccncfext  42455  cncfiooicclem1  42461  cncfioobdlem  42464  cncfioobd  42465  itgsin0pilem1  42518  iblioosinexp  42521  itgsinexplem1  42522  itgsinexp  42523  ditgeqiooicc  42528  itgcoscmulx  42537  ibliooicc  42539  itgsincmulx  42542  itgsubsticclem  42543  itgioocnicc  42545  iblcncfioo  42546  itgsbtaddcnst  42550  dirkeritg  42670  fourierdlem20  42695  fourierdlem38  42713  fourierdlem39  42714  fourierdlem46  42720  fourierdlem62  42736  fourierdlem68  42742  fourierdlem69  42743  fourierdlem70  42744  fourierdlem72  42746  fourierdlem73  42747  fourierdlem74  42748  fourierdlem75  42749  fourierdlem76  42750  fourierdlem80  42754  fourierdlem81  42755  fourierdlem82  42756  fourierdlem83  42757  fourierdlem84  42758  fourierdlem85  42759  fourierdlem88  42762  fourierdlem92  42766  fourierdlem93  42767  fourierdlem100  42774  fourierdlem101  42775  fourierdlem103  42777  fourierdlem104  42778  fourierdlem107  42781  fourierdlem111  42785  fourierdlem112  42786  sqwvfoura  42796  sqwvfourb  42797  etransclem18  42820  etransclem46  42848  hoicvrrex  43121
  Copyright terms: Public domain W3C validator