Theorem ioossicc 13384

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13300	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13303	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13098	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13098	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13310	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7363   < clt 11177   ≤ cle 11178  (,)cioo 13296  [,]cicc 13299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-ioo 13300  df-icc 13303

This theorem is referenced by:  ioodisj  13433  iccntr  24812  ivth2  25447  ivthle  25448  ivthle2  25449  ovolioo  25560  uniiccvol  25572  itgioo  25808  rollelem  25981  rolle  25982  cmvth  25983  dvlip  25985  dvlipcn  25986  dvlip2  25987  c1liplem1  25988  dvle  25999  dvivthlem1  26000  dvne0  26003  lhop1lem  26005  dvcnvrelem1  26009  dvfsumle  26013  dvfsumge  26014  dvfsumabs  26015  dvfsumlem2  26019  ftc1a  26029  ftc1lem4  26031  ftc1lem5  26032  ftc1lem6  26033  ftc1  26034  ftc2  26036  itgparts  26039  itgsubstlem  26040  itgsubst  26041  itgpowd  26042  reeff1olem  26436  efcvx  26439  cos0pilt1  26521  tanord1  26526  logccv  26652  loglesqrt  26750  chordthm  26826  amgmlem  26978  lgamgulmlem2  27018  eliccioo  33016  xrge0mulc1cn  34132  omssubadd  34491  ftc2re  34789  fdvposlt  34790  fdvneggt  34791  fdvposle  34792  fdvnegge  34793  circlemeth  34831  logdivsqrle  34841  ivthALT  36570  iccioo01  37696  itg2gt0cn  38049  ftc1cnnclem  38065  ftc1cnnc  38066  ftc2nc  38076  areacirc  38087  lcmineqlem10  42530  lcmineqlem12  42532  lhe4.4ex1a  44780  chordthmALT  45383  iccnct  45993  limciccioolb  46073  limcicciooub  46087  icccncfext  46337  cncfiooicclem1  46343  cncfioobdlem  46346  cncfioobd  46347  itgsin0pilem1  46400  iblioosinexp  46403  itgsinexplem1  46404  itgsinexp  46405  ditgeqiooicc  46410  itgcoscmulx  46419  ibliooicc  46421  itgsincmulx  46424  itgsubsticclem  46425  itgioocnicc  46427  iblcncfioo  46428  itgsbtaddcnst  46432  dirkeritg  46552  fourierdlem20  46577  fourierdlem38  46595  fourierdlem39  46596  fourierdlem46  46602  fourierdlem62  46618  fourierdlem68  46624  fourierdlem69  46625  fourierdlem70  46626  fourierdlem72  46628  fourierdlem73  46629  fourierdlem74  46630  fourierdlem75  46631  fourierdlem76  46632  fourierdlem80  46636  fourierdlem81  46637  fourierdlem82  46638  fourierdlem83  46639  fourierdlem84  46640  fourierdlem85  46641  fourierdlem88  46644  fourierdlem92  46648  fourierdlem93  46649  fourierdlem100  46656  fourierdlem101  46657  fourierdlem103  46659  fourierdlem104  46660  fourierdlem107  46663  fourierdlem111  46667  fourierdlem112  46668  sqwvfoura  46678  sqwvfourb  46679  etransclem18  46702  etransclem46  46730  hoicvrrex  47006  iooii  49415