Theorem ioossicc 13330

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13246	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13249	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13045	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13045	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13256	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7346   < clt 11143   ≤ cle 11144  (,)cioo 13242  [,]cicc 13245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-ioo 13246  df-icc 13249

This theorem is referenced by:  ioodisj  13379  iccntr  24735  ivth2  25381  ivthle  25382  ivthle2  25383  ovolioo  25494  uniiccvol  25506  itgioo  25742  rollelem  25918  rolle  25919  cmvth  25920  cmvthOLD  25921  dvlip  25923  dvlipcn  25924  dvlip2  25925  c1liplem1  25926  dvle  25937  dvivthlem1  25938  dvne0  25941  lhop1lem  25943  dvcnvrelem1  25947  dvfsumle  25951  dvfsumleOLD  25952  dvfsumge  25953  dvfsumabs  25954  dvfsumlem2  25958  dvfsumlem2OLD  25959  ftc1a  25969  ftc1lem4  25971  ftc1lem5  25972  ftc1lem6  25973  ftc1  25974  ftc2  25976  itgparts  25979  itgsubstlem  25980  itgsubst  25981  itgpowd  25982  reeff1olem  26381  efcvx  26384  cos0pilt1  26466  tanord1  26471  logccv  26597  loglesqrt  26696  chordthm  26772  amgmlem  26925  lgamgulmlem2  26965  eliccioo  32906  xrge0mulc1cn  33949  omssubadd  34308  ftc2re  34606  fdvposlt  34607  fdvneggt  34608  fdvposle  34609  fdvnegge  34610  circlemeth  34648  logdivsqrle  34658  ivthALT  36368  iccioo01  37360  itg2gt0cn  37714  ftc1cnnclem  37730  ftc1cnnc  37731  ftc2nc  37741  areacirc  37752  lcmineqlem10  42070  lcmineqlem12  42072  lhe4.4ex1a  44361  chordthmALT  44964  iccnct  45580  limciccioolb  45660  limcicciooub  45674  icccncfext  45924  cncfiooicclem1  45930  cncfioobdlem  45933  cncfioobd  45934  itgsin0pilem1  45987  iblioosinexp  45990  itgsinexplem1  45991  itgsinexp  45992  ditgeqiooicc  45997  itgcoscmulx  46006  ibliooicc  46008  itgsincmulx  46011  itgsubsticclem  46012  itgioocnicc  46014  iblcncfioo  46015  itgsbtaddcnst  46019  dirkeritg  46139  fourierdlem20  46164  fourierdlem38  46182  fourierdlem39  46183  fourierdlem46  46189  fourierdlem62  46205  fourierdlem68  46211  fourierdlem69  46212  fourierdlem70  46213  fourierdlem72  46215  fourierdlem73  46216  fourierdlem74  46217  fourierdlem75  46218  fourierdlem76  46219  fourierdlem80  46223  fourierdlem81  46224  fourierdlem82  46225  fourierdlem83  46226  fourierdlem84  46227  fourierdlem85  46228  fourierdlem88  46231  fourierdlem92  46235  fourierdlem93  46236  fourierdlem100  46243  fourierdlem101  46244  fourierdlem103  46246  fourierdlem104  46247  fourierdlem107  46250  fourierdlem111  46254  fourierdlem112  46255  sqwvfoura  46265  sqwvfourb  46266  etransclem18  46289  etransclem46  46317  hoicvrrex  46593  iooii  48948