Theorem ioossicc 12825

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 12745	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 12748	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 12545	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 12545	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 12755	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3938  (class class class)co 7158   < clt 10677   ≤ cle 10678  (,)cioo 12741  [,]cicc 12744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-ioo 12745  df-icc 12748

This theorem is referenced by:  ioodisj  12871  iccntr  23431  ivth2  24058  ivthle  24059  ivthle2  24060  ovolioo  24171  uniiccvol  24183  itgioo  24418  rollelem  24588  rolle  24589  cmvth  24590  dvlip  24592  dvlipcn  24593  dvlip2  24594  c1liplem1  24595  dvle  24606  dvivthlem1  24607  dvne0  24610  lhop1lem  24612  dvcnvrelem1  24616  dvfsumle  24620  dvfsumge  24621  dvfsumabs  24622  dvfsumlem2  24626  ftc1a  24636  ftc1lem4  24638  ftc1lem5  24639  ftc1lem6  24640  ftc1  24641  ftc2  24643  itgparts  24646  itgsubstlem  24647  itgsubst  24648  reeff1olem  25036  efcvx  25039  tanord1  25123  logccv  25248  loglesqrt  25341  chordthm  25417  amgmlem  25569  lgamgulmlem2  25609  eliccioo  30609  xrge0mulc1cn  31186  omssubadd  31560  ftc2re  31871  fdvposlt  31872  fdvneggt  31873  fdvposle  31874  fdvnegge  31875  circlemeth  31913  logdivsqrle  31923  ivthALT  33685  itg2gt0cn  34949  ftc1cnnclem  34967  ftc1cnnc  34968  ftc2nc  34978  areacirc  34989  itgpowd  39828  lhe4.4ex1a  40668  chordthmALT  41274  iccnct  41824  limciccioolb  41909  limcicciooub  41925  icccncfext  42177  cncfiooicclem1  42183  cncfioobdlem  42186  cncfioobd  42187  itgsin0pilem1  42242  iblioosinexp  42245  itgsinexplem1  42246  itgsinexp  42247  ditgeqiooicc  42252  itgcoscmulx  42261  ibliooicc  42263  itgsincmulx  42266  itgsubsticclem  42267  itgioocnicc  42269  iblcncfioo  42270  itgsbtaddcnst  42274  dirkeritg  42394  fourierdlem20  42419  fourierdlem38  42437  fourierdlem39  42438  fourierdlem46  42444  fourierdlem62  42460  fourierdlem68  42466  fourierdlem69  42467  fourierdlem70  42468  fourierdlem72  42470  fourierdlem73  42471  fourierdlem74  42472  fourierdlem75  42473  fourierdlem76  42474  fourierdlem80  42478  fourierdlem81  42479  fourierdlem82  42480  fourierdlem83  42481  fourierdlem84  42482  fourierdlem85  42483  fourierdlem88  42486  fourierdlem92  42490  fourierdlem93  42491  fourierdlem100  42498  fourierdlem101  42499  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierdlem107  42505  fourierdlem111  42509  fourierdlem112  42510  sqwvfoura  42520  sqwvfourb  42521  etransclem18  42544  etransclem46  42572  hoicvrrex  42845