Theorem ioossicc 13394

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13310	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13313	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13109	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13320	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3914  (class class class)co 7387   < clt 11208   ≤ cle 11209  (,)cioo 13306  [,]cicc 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ioo 13310  df-icc 13313

This theorem is referenced by:  ioodisj  13443  iccntr  24710  ivth2  25356  ivthle  25357  ivthle2  25358  ovolioo  25469  uniiccvol  25481  itgioo  25717  rollelem  25893  rolle  25894  cmvth  25895  cmvthOLD  25896  dvlip  25898  dvlipcn  25899  dvlip2  25900  c1liplem1  25901  dvle  25912  dvivthlem1  25913  dvne0  25916  lhop1lem  25918  dvcnvrelem1  25922  dvfsumle  25926  dvfsumleOLD  25927  dvfsumge  25928  dvfsumabs  25929  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  ftc1a  25944  ftc1lem4  25946  ftc1lem5  25947  ftc1lem6  25948  ftc1  25949  ftc2  25951  itgparts  25954  itgsubstlem  25955  itgsubst  25956  itgpowd  25957  reeff1olem  26356  efcvx  26359  cos0pilt1  26441  tanord1  26446  logccv  26572  loglesqrt  26671  chordthm  26747  amgmlem  26900  lgamgulmlem2  26940  eliccioo  32851  xrge0mulc1cn  33931  omssubadd  34291  ftc2re  34589  fdvposlt  34590  fdvneggt  34591  fdvposle  34592  fdvnegge  34593  circlemeth  34631  logdivsqrle  34641  ivthALT  36323  iccioo01  37315  itg2gt0cn  37669  ftc1cnnclem  37685  ftc1cnnc  37686  ftc2nc  37696  areacirc  37707  lcmineqlem10  42026  lcmineqlem12  42028  lhe4.4ex1a  44318  chordthmALT  44922  iccnct  45539  limciccioolb  45619  limcicciooub  45635  icccncfext  45885  cncfiooicclem1  45891  cncfioobdlem  45894  cncfioobd  45895  itgsin0pilem1  45948  iblioosinexp  45951  itgsinexplem1  45952  itgsinexp  45953  ditgeqiooicc  45958  itgcoscmulx  45967  ibliooicc  45969  itgsincmulx  45972  itgsubsticclem  45973  itgioocnicc  45975  iblcncfioo  45976  itgsbtaddcnst  45980  dirkeritg  46100  fourierdlem20  46125  fourierdlem38  46143  fourierdlem39  46144  fourierdlem46  46150  fourierdlem62  46166  fourierdlem68  46172  fourierdlem69  46173  fourierdlem70  46174  fourierdlem72  46176  fourierdlem73  46177  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem76  46180  fourierdlem80  46184  fourierdlem81  46185  fourierdlem82  46186  fourierdlem83  46187  fourierdlem84  46188  fourierdlem85  46189  fourierdlem88  46192  fourierdlem92  46196  fourierdlem93  46197  fourierdlem100  46204  fourierdlem101  46205  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem107  46211  fourierdlem111  46215  fourierdlem112  46216  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227  etransclem18  46250  etransclem46  46278  hoicvrrex  46554  iooii  48906