Theorem ioossicc 13594

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13510	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13513	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13308	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13520	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3900  (class class class)co 7446   < clt 11373   ≤ cle 11374  (,)cioo 13506  [,]cicc 13509

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-ioo 13510  df-icc 13513

This theorem is used by:  ioodisj  13643  iccntr  25174  ivth2  25809  ivthle  25810  ivthle2  25811  ovolioo  25922  uniiccvol  25934  itgioo  26169  rollelem  26342  rolle  26343  cmvth  26344  dvlip  26346  dvlipcn  26347  dvlip2  26348  c1liplem1  26349  dvle  26360  dvivthlem1  26361  dvne0  26364  lhop1lem  26366  dvcnvrelem1  26370  dvfsumle  26374  dvfsumge  26375  dvfsumabs  26376  dvfsumlem2  26380  ftc1a  26390  ftc1lem4  26392  ftc1lem5  26393  ftc1lem6  26394  ftc1  26395  ftc2  26397  itgparts  26400  itgsubstlem  26401  itgsubst  26402  itgpowd  26403  reeff1olem  26806  efcvx  26809  cos0pilt1  26893  tanord1  26898  logccv  27024  loglesqrt  27122  chordthm  27198  amgmlem  27350  lgamgulmlem2  27390  eliccioo  33570  xrge0mulc1cn  34656  omssubadd  35015  ftc2re  35310  fdvposlt  35311  fdvneggt  35312  fdvposle  35313  fdvnegge  35314  circlemeth  35352  logdivsqrle  35362  ivthALT  37314  iccioo01  38455  itg2gt0cn  38798  ftc1cnnclem  38814  ftc1cnnc  38815  ftc2nc  38825  areacirc  38836  lcmineqlem10  43291  lcmineqlem12  43293  lhe4.4ex1a  45516  chordthmALT  46117  iccnct  46768  limciccioolb  46848  limcicciooub  46862  icccncfext  47112  cncfiooicclem1  47118  cncfioobdlem  47121  cncfioobd  47122  itgsin0pilem1  47175  iblioosinexp  47178  itgsinexplem1  47179  itgsinexp  47180  ditgeqiooicc  47185  itgcoscmulx  47194  ibliooicc  47196  itgsincmulx  47199  itgsubsticclem  47200  itgioocnicc  47202  iblcncfioo  47203  itgsbtaddcnst  47207  dirkeritg  47327  fourierdlem20  47352  fourierdlem38  47370  fourierdlem39  47371  fourierdlem46  47377  fourierdlem62  47393  fourierdlem68  47399  fourierdlem69  47400  fourierdlem70  47401  fourierdlem72  47403  fourierdlem73  47404  fourierdlem74  47405  fourierdlem75  47406  fourierdlem76  47407  fourierdlem80  47411  fourierdlem81  47412  fourierdlem82  47413  fourierdlem83  47414  fourierdlem84  47415  fourierdlem85  47416  fourierdlem88  47419  fourierdlem92  47423  fourierdlem93  47424  fourierdlem100  47431  fourierdlem101  47432  fourierdlem103  47434  fourierdlem104  47435  fourierdlem107  47438  fourierdlem111  47442  fourierdlem112  47443  sqwvfoura  47453  sqwvfourb  47454  etransclem18  47477  etransclem46  47505  hoicvrrex  47781  iooii  50247