Theorem ioossicc 12811

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 12730	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 12733	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 12530	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 12530	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 12740	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3881  (class class class)co 7135   < clt 10664   ≤ cle 10665  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12730  df-icc 12733

This theorem is referenced by:  ioodisj  12860  iccntr  23426  ivth2  24059  ivthle  24060  ivthle2  24061  ovolioo  24172  uniiccvol  24184  itgioo  24419  rollelem  24592  rolle  24593  cmvth  24594  dvlip  24596  dvlipcn  24597  dvlip2  24598  c1liplem1  24599  dvle  24610  dvivthlem1  24611  dvne0  24614  lhop1lem  24616  dvcnvrelem1  24620  dvfsumle  24624  dvfsumge  24625  dvfsumabs  24626  dvfsumlem2  24630  ftc1a  24640  ftc1lem4  24642  ftc1lem5  24643  ftc1lem6  24644  ftc1  24645  ftc2  24647  itgparts  24650  itgsubstlem  24651  itgsubst  24652  itgpowd  24653  reeff1olem  25041  efcvx  25044  cos0pilt1  25124  tanord1  25129  logccv  25254  loglesqrt  25347  chordthm  25423  amgmlem  25575  lgamgulmlem2  25615  eliccioo  30633  xrge0mulc1cn  31294  omssubadd  31668  ftc2re  31979  fdvposlt  31980  fdvneggt  31981  fdvposle  31982  fdvnegge  31983  circlemeth  32021  logdivsqrle  32031  ivthALT  33796  iccioo01  34741  itg2gt0cn  35112  ftc1cnnclem  35128  ftc1cnnc  35129  ftc2nc  35139  areacirc  35150  lcmineqlem10  39326  lcmineqlem12  39328  lhe4.4ex1a  41033  chordthmALT  41639  iccnct  42178  limciccioolb  42263  limcicciooub  42279  icccncfext  42529  cncfiooicclem1  42535  cncfioobdlem  42538  cncfioobd  42539  itgsin0pilem1  42592  iblioosinexp  42595  itgsinexplem1  42596  itgsinexp  42597  ditgeqiooicc  42602  itgcoscmulx  42611  ibliooicc  42613  itgsincmulx  42616  itgsubsticclem  42617  itgioocnicc  42619  iblcncfioo  42620  itgsbtaddcnst  42624  dirkeritg  42744  fourierdlem20  42769  fourierdlem38  42787  fourierdlem39  42788  fourierdlem46  42794  fourierdlem62  42810  fourierdlem68  42816  fourierdlem69  42817  fourierdlem70  42818  fourierdlem72  42820  fourierdlem73  42821  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem76  42824  fourierdlem80  42828  fourierdlem81  42829  fourierdlem82  42830  fourierdlem83  42831  fourierdlem84  42832  fourierdlem85  42833  fourierdlem88  42836  fourierdlem92  42840  fourierdlem93  42841  fourierdlem100  42848  fourierdlem101  42849  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem107  42855  fourierdlem111  42859  fourierdlem112  42860  sqwvfoura  42870  sqwvfourb  42871  etransclem18  42894  etransclem46  42922  hoicvrrex  43195