Theorem ioossicc 13473

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13391	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13394	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13191	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13401	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3951  (class class class)co 7431   < clt 11295   ≤ cle 11296  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391  df-icc 13394

This theorem is referenced by:  ioodisj  13522  iccntr  24843  ivth2  25490  ivthle  25491  ivthle2  25492  ovolioo  25603  uniiccvol  25615  itgioo  25851  rollelem  26027  rolle  26028  cmvth  26029  cmvthOLD  26030  dvlip  26032  dvlipcn  26033  dvlip2  26034  c1liplem1  26035  dvle  26046  dvivthlem1  26047  dvne0  26050  lhop1lem  26052  dvcnvrelem1  26056  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumge  26062  dvfsumabs  26063  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  ftc1a  26078  ftc1lem4  26080  ftc1lem5  26081  ftc1lem6  26082  ftc1  26083  ftc2  26085  itgparts  26088  itgsubstlem  26089  itgsubst  26090  itgpowd  26091  reeff1olem  26490  efcvx  26493  cos0pilt1  26574  tanord1  26579  logccv  26705  loglesqrt  26804  chordthm  26880  amgmlem  27033  lgamgulmlem2  27073  eliccioo  32913  xrge0mulc1cn  33940  omssubadd  34302  ftc2re  34613  fdvposlt  34614  fdvneggt  34615  fdvposle  34616  fdvnegge  34617  circlemeth  34655  logdivsqrle  34665  ivthALT  36336  iccioo01  37328  itg2gt0cn  37682  ftc1cnnclem  37698  ftc1cnnc  37699  ftc2nc  37709  areacirc  37720  lcmineqlem10  42039  lcmineqlem12  42041  lhe4.4ex1a  44348  chordthmALT  44953  iccnct  45554  limciccioolb  45636  limcicciooub  45652  icccncfext  45902  cncfiooicclem1  45908  cncfioobdlem  45911  cncfioobd  45912  itgsin0pilem1  45965  iblioosinexp  45968  itgsinexplem1  45969  itgsinexp  45970  ditgeqiooicc  45975  itgcoscmulx  45984  ibliooicc  45986  itgsincmulx  45989  itgsubsticclem  45990  itgioocnicc  45992  iblcncfioo  45993  itgsbtaddcnst  45997  dirkeritg  46117  fourierdlem20  46142  fourierdlem38  46160  fourierdlem39  46161  fourierdlem46  46167  fourierdlem62  46183  fourierdlem68  46189  fourierdlem69  46190  fourierdlem70  46191  fourierdlem72  46193  fourierdlem73  46194  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem76  46197  fourierdlem80  46201  fourierdlem81  46202  fourierdlem82  46203  fourierdlem83  46204  fourierdlem84  46205  fourierdlem85  46206  fourierdlem88  46209  fourierdlem92  46213  fourierdlem93  46214  fourierdlem100  46221  fourierdlem101  46222  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem107  46228  fourierdlem111  46232  fourierdlem112  46233  sqwvfoura  46243  sqwvfourb  46244  etransclem18  46267  etransclem46  46295  hoicvrrex  46571  iooii  48815