Theorem ioossicc 13478

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13394	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13397	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13192	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13192	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13404	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3908  (class class class)co 7423   < clt 11261   ≤ cle 11262  (,)cioo 13390  [,]cicc 13393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-ioo 13394  df-icc 13397

This theorem is used by:  ioodisj  13527  iccntr  25016  ivth2  25651  ivthle  25652  ivthle2  25653  ovolioo  25764  uniiccvol  25776  itgioo  26012  rollelem  26185  rolle  26186  cmvth  26187  dvlip  26189  dvlipcn  26190  dvlip2  26191  c1liplem1  26192  dvle  26203  dvivthlem1  26204  dvne0  26207  lhop1lem  26209  dvcnvrelem1  26213  dvfsumle  26217  dvfsumge  26218  dvfsumabs  26219  dvfsumlem2  26223  ftc1a  26233  ftc1lem4  26235  ftc1lem5  26236  ftc1lem6  26237  ftc1  26238  ftc2  26240  itgparts  26243  itgsubstlem  26244  itgsubst  26245  itgpowd  26246  reeff1olem  26646  efcvx  26649  cos0pilt1  26734  tanord1  26739  logccv  26865  loglesqrt  26963  chordthm  27039  amgmlem  27191  lgamgulmlem2  27231  eliccioo  33287  xrge0mulc1cn  34362  omssubadd  34722  ftc2re  35017  fdvposlt  35018  fdvneggt  35019  fdvposle  35020  fdvnegge  35021  circlemeth  35059  logdivsqrle  35069  ivthALT  36887  iccioo01  38014  itg2gt0cn  38367  ftc1cnnclem  38383  ftc1cnnc  38384  ftc2nc  38394  areacirc  38405  lcmineqlem10  42846  lcmineqlem12  42848  lhe4.4ex1a  45080  chordthmALT  45682  iccnct  46298  limciccioolb  46378  limcicciooub  46392  icccncfext  46642  cncfiooicclem1  46648  cncfioobdlem  46651  cncfioobd  46652  itgsin0pilem1  46705  iblioosinexp  46708  itgsinexplem1  46709  itgsinexp  46710  ditgeqiooicc  46715  itgcoscmulx  46724  ibliooicc  46726  itgsincmulx  46729  itgsubsticclem  46730  itgioocnicc  46732  iblcncfioo  46733  itgsbtaddcnst  46737  dirkeritg  46857  fourierdlem20  46882  fourierdlem38  46900  fourierdlem39  46901  fourierdlem46  46907  fourierdlem62  46923  fourierdlem68  46929  fourierdlem69  46930  fourierdlem70  46931  fourierdlem72  46933  fourierdlem73  46934  fourierdlem74  46935  fourierdlem75  46936  fourierdlem76  46937  fourierdlem80  46941  fourierdlem81  46942  fourierdlem82  46943  fourierdlem83  46944  fourierdlem84  46945  fourierdlem85  46946  fourierdlem88  46949  fourierdlem92  46953  fourierdlem93  46954  fourierdlem100  46961  fourierdlem101  46962  fourierdlem103  46964  fourierdlem104  46965  fourierdlem107  46968  fourierdlem111  46972  fourierdlem112  46973  sqwvfoura  46983  sqwvfourb  46984  etransclem18  47007  etransclem46  47035  hoicvrrex  47311  iooii  49737