Theorem ioossicc 13401

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13317	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13320	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13116	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13327	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3917  (class class class)co 7390   < clt 11215   ≤ cle 11216  (,)cioo 13313  [,]cicc 13316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ioo 13317  df-icc 13320

This theorem is referenced by:  ioodisj  13450  iccntr  24717  ivth2  25363  ivthle  25364  ivthle2  25365  ovolioo  25476  uniiccvol  25488  itgioo  25724  rollelem  25900  rolle  25901  cmvth  25902  cmvthOLD  25903  dvlip  25905  dvlipcn  25906  dvlip2  25907  c1liplem1  25908  dvle  25919  dvivthlem1  25920  dvne0  25923  lhop1lem  25925  dvcnvrelem1  25929  dvfsumle  25933  dvfsumleOLD  25934  dvfsumge  25935  dvfsumabs  25936  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  ftc1a  25951  ftc1lem4  25953  ftc1lem5  25954  ftc1lem6  25955  ftc1  25956  ftc2  25958  itgparts  25961  itgsubstlem  25962  itgsubst  25963  itgpowd  25964  reeff1olem  26363  efcvx  26366  cos0pilt1  26448  tanord1  26453  logccv  26579  loglesqrt  26678  chordthm  26754  amgmlem  26907  lgamgulmlem2  26947  eliccioo  32858  xrge0mulc1cn  33938  omssubadd  34298  ftc2re  34596  fdvposlt  34597  fdvneggt  34598  fdvposle  34599  fdvnegge  34600  circlemeth  34638  logdivsqrle  34648  ivthALT  36330  iccioo01  37322  itg2gt0cn  37676  ftc1cnnclem  37692  ftc1cnnc  37693  ftc2nc  37703  areacirc  37714  lcmineqlem10  42033  lcmineqlem12  42035  lhe4.4ex1a  44325  chordthmALT  44929  iccnct  45546  limciccioolb  45626  limcicciooub  45642  icccncfext  45892  cncfiooicclem1  45898  cncfioobdlem  45901  cncfioobd  45902  itgsin0pilem1  45955  iblioosinexp  45958  itgsinexplem1  45959  itgsinexp  45960  ditgeqiooicc  45965  itgcoscmulx  45974  ibliooicc  45976  itgsincmulx  45979  itgsubsticclem  45980  itgioocnicc  45982  iblcncfioo  45983  itgsbtaddcnst  45987  dirkeritg  46107  fourierdlem20  46132  fourierdlem38  46150  fourierdlem39  46151  fourierdlem46  46157  fourierdlem62  46173  fourierdlem68  46179  fourierdlem69  46180  fourierdlem70  46181  fourierdlem72  46183  fourierdlem73  46184  fourierdlem74  46185  fourierdlem75  46186  fourierdlem76  46187  fourierdlem80  46191  fourierdlem81  46192  fourierdlem82  46193  fourierdlem83  46194  fourierdlem84  46195  fourierdlem85  46196  fourierdlem88  46199  fourierdlem92  46203  fourierdlem93  46204  fourierdlem100  46211  fourierdlem101  46212  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem107  46218  fourierdlem111  46222  fourierdlem112  46223  sqwvfoura  46233  sqwvfourb  46234  etransclem18  46257  etransclem46  46285  hoicvrrex  46561  iooii  48910