Theorem ioossicc 13451

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13367	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13370	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13165	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13377	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3907  (class class class)co 7400   < clt 11231   ≤ cle 11232  (,)cioo 13363  [,]cicc 13366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ioo 13367  df-icc 13370

This theorem is referenced by:  ioodisj  13500  iccntr  24940  ivth2  25575  ivthle  25576  ivthle2  25577  ovolioo  25688  uniiccvol  25700  itgioo  25936  rollelem  26109  rolle  26110  cmvth  26111  dvlip  26113  dvlipcn  26114  dvlip2  26115  c1liplem1  26116  dvle  26127  dvivthlem1  26128  dvne0  26131  lhop1lem  26133  dvcnvrelem1  26137  dvfsumle  26141  dvfsumge  26142  dvfsumabs  26143  dvfsumlem2  26147  ftc1a  26157  ftc1lem4  26159  ftc1lem5  26160  ftc1lem6  26161  ftc1  26162  ftc2  26164  itgparts  26167  itgsubstlem  26168  itgsubst  26169  itgpowd  26170  reeff1olem  26567  efcvx  26570  cos0pilt1  26655  tanord1  26660  logccv  26786  loglesqrt  26884  chordthm  26960  amgmlem  27112  lgamgulmlem2  27152  eliccioo  33163  xrge0mulc1cn  34248  omssubadd  34607  ftc2re  34902  fdvposlt  34903  fdvneggt  34904  fdvposle  34905  fdvnegge  34906  circlemeth  34944  logdivsqrle  34954  ivthALT  36708  iccioo01  37833  itg2gt0cn  38186  ftc1cnnclem  38202  ftc1cnnc  38203  ftc2nc  38213  areacirc  38224  lcmineqlem10  42667  lcmineqlem12  42669  lhe4.4ex1a  44903  chordthmALT  45506  iccnct  46115  limciccioolb  46195  limcicciooub  46209  icccncfext  46459  cncfiooicclem1  46465  cncfioobdlem  46468  cncfioobd  46469  itgsin0pilem1  46522  iblioosinexp  46525  itgsinexplem1  46526  itgsinexp  46527  ditgeqiooicc  46532  itgcoscmulx  46541  ibliooicc  46543  itgsincmulx  46546  itgsubsticclem  46547  itgioocnicc  46549  iblcncfioo  46550  itgsbtaddcnst  46554  dirkeritg  46674  fourierdlem20  46699  fourierdlem38  46717  fourierdlem39  46718  fourierdlem46  46724  fourierdlem62  46740  fourierdlem68  46746  fourierdlem69  46747  fourierdlem70  46748  fourierdlem72  46750  fourierdlem73  46751  fourierdlem74  46752  fourierdlem75  46753  fourierdlem76  46754  fourierdlem80  46758  fourierdlem81  46759  fourierdlem82  46760  fourierdlem83  46761  fourierdlem84  46762  fourierdlem85  46763  fourierdlem88  46766  fourierdlem92  46770  fourierdlem93  46771  fourierdlem100  46778  fourierdlem101  46779  fourierdlem103  46781  fourierdlem104  46782  fourierdlem107  46785  fourierdlem111  46789  fourierdlem112  46790  sqwvfoura  46800  sqwvfourb  46801  etransclem18  46824  etransclem46  46852  hoicvrrex  47128  iooii  49547