Theorem ioossicc 13354

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13270	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13273	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13069	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13069	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13280	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3905  (class class class)co 7353   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,)cioo 13266  [,]cicc 13269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioo 13270  df-icc 13273

This theorem is referenced by:  ioodisj  13403  iccntr  24726  ivth2  25372  ivthle  25373  ivthle2  25374  ovolioo  25485  uniiccvol  25497  itgioo  25733  rollelem  25909  rolle  25910  cmvth  25911  cmvthOLD  25912  dvlip  25914  dvlipcn  25915  dvlip2  25916  c1liplem1  25917  dvle  25928  dvivthlem1  25929  dvne0  25932  lhop1lem  25934  dvcnvrelem1  25938  dvfsumle  25942  dvfsumleOLD  25943  dvfsumge  25944  dvfsumabs  25945  dvfsumlem2  25949  dvfsumlem2OLD  25950  ftc1a  25960  ftc1lem4  25962  ftc1lem5  25963  ftc1lem6  25964  ftc1  25965  ftc2  25967  itgparts  25970  itgsubstlem  25971  itgsubst  25972  itgpowd  25973  reeff1olem  26372  efcvx  26375  cos0pilt1  26457  tanord1  26462  logccv  26588  loglesqrt  26687  chordthm  26763  amgmlem  26916  lgamgulmlem2  26956  eliccioo  32884  xrge0mulc1cn  33907  omssubadd  34267  ftc2re  34565  fdvposlt  34566  fdvneggt  34567  fdvposle  34568  fdvnegge  34569  circlemeth  34607  logdivsqrle  34617  ivthALT  36308  iccioo01  37300  itg2gt0cn  37654  ftc1cnnclem  37670  ftc1cnnc  37671  ftc2nc  37681  areacirc  37692  lcmineqlem10  42011  lcmineqlem12  42013  lhe4.4ex1a  44302  chordthmALT  44906  iccnct  45523  limciccioolb  45603  limcicciooub  45619  icccncfext  45869  cncfiooicclem1  45875  cncfioobdlem  45878  cncfioobd  45879  itgsin0pilem1  45932  iblioosinexp  45935  itgsinexplem1  45936  itgsinexp  45937  ditgeqiooicc  45942  itgcoscmulx  45951  ibliooicc  45953  itgsincmulx  45956  itgsubsticclem  45957  itgioocnicc  45959  iblcncfioo  45960  itgsbtaddcnst  45964  dirkeritg  46084  fourierdlem20  46109  fourierdlem38  46127  fourierdlem39  46128  fourierdlem46  46134  fourierdlem62  46150  fourierdlem68  46156  fourierdlem69  46157  fourierdlem70  46158  fourierdlem72  46160  fourierdlem73  46161  fourierdlem74  46162  fourierdlem75  46163  fourierdlem76  46164  fourierdlem80  46168  fourierdlem81  46169  fourierdlem82  46170  fourierdlem83  46171  fourierdlem84  46172  fourierdlem85  46173  fourierdlem88  46176  fourierdlem92  46180  fourierdlem93  46181  fourierdlem100  46188  fourierdlem101  46189  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  fourierdlem107  46195  fourierdlem111  46199  fourierdlem112  46200  sqwvfoura  46210  sqwvfourb  46211  etransclem18  46234  etransclem46  46262  hoicvrrex  46538  iooii  48903