Theorem ioossicc 13414

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13332	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13335	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13132	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13342	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3947  (class class class)co 7411   < clt 11252   ≤ cle 11253  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332  df-icc 13335

This theorem is referenced by:  ioodisj  13463  iccntr  24557  ivth2  25204  ivthle  25205  ivthle2  25206  ovolioo  25317  uniiccvol  25329  itgioo  25565  rollelem  25741  rolle  25742  cmvth  25743  dvlip  25745  dvlipcn  25746  dvlip2  25747  c1liplem1  25748  dvle  25759  dvivthlem1  25760  dvne0  25763  lhop1lem  25765  dvcnvrelem1  25769  dvfsumle  25773  dvfsumge  25774  dvfsumabs  25775  dvfsumlem2  25779  ftc1a  25789  ftc1lem4  25791  ftc1lem5  25792  ftc1lem6  25793  ftc1  25794  ftc2  25796  itgparts  25799  itgsubstlem  25800  itgsubst  25801  itgpowd  25802  reeff1olem  26194  efcvx  26197  cos0pilt1  26277  tanord1  26282  logccv  26407  loglesqrt  26502  chordthm  26578  amgmlem  26730  lgamgulmlem2  26770  eliccioo  32364  xrge0mulc1cn  33219  omssubadd  33597  ftc2re  33908  fdvposlt  33909  fdvneggt  33910  fdvposle  33911  fdvnegge  33912  circlemeth  33950  logdivsqrle  33960  gg-cmvth  35466  gg-dvfsumle  35468  gg-dvfsumlem2  35469  ivthALT  35523  iccioo01  36511  itg2gt0cn  36846  ftc1cnnclem  36862  ftc1cnnc  36863  ftc2nc  36873  areacirc  36884  lcmineqlem10  41209  lcmineqlem12  41211  lhe4.4ex1a  43390  chordthmALT  43996  iccnct  44552  limciccioolb  44635  limcicciooub  44651  icccncfext  44901  cncfiooicclem1  44907  cncfioobdlem  44910  cncfioobd  44911  itgsin0pilem1  44964  iblioosinexp  44967  itgsinexplem1  44968  itgsinexp  44969  ditgeqiooicc  44974  itgcoscmulx  44983  ibliooicc  44985  itgsincmulx  44988  itgsubsticclem  44989  itgioocnicc  44991  iblcncfioo  44992  itgsbtaddcnst  44996  dirkeritg  45116  fourierdlem20  45141  fourierdlem38  45159  fourierdlem39  45160  fourierdlem46  45166  fourierdlem62  45182  fourierdlem68  45188  fourierdlem69  45189  fourierdlem70  45190  fourierdlem72  45192  fourierdlem73  45193  fourierdlem74  45194  fourierdlem75  45195  fourierdlem76  45196  fourierdlem80  45200  fourierdlem81  45201  fourierdlem82  45202  fourierdlem83  45203  fourierdlem84  45204  fourierdlem85  45205  fourierdlem88  45208  fourierdlem92  45212  fourierdlem93  45213  fourierdlem100  45220  fourierdlem101  45221  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  fourierdlem107  45227  fourierdlem111  45231  fourierdlem112  45232  sqwvfoura  45242  sqwvfourb  45243  etransclem18  45266  etransclem46  45294  hoicvrrex  45570  iooii  47637