Theorem ioossicc 13349

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13265	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13268	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13063	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13063	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13275	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3901  (class class class)co 7358   < clt 11166   ≤ cle 11167  (,)cioo 13261  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ioo 13265  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  ioodisj  13398  iccntr  24766  ivth2  25412  ivthle  25413  ivthle2  25414  ovolioo  25525  uniiccvol  25537  itgioo  25773  rollelem  25949  rolle  25950  cmvth  25951  cmvthOLD  25952  dvlip  25954  dvlipcn  25955  dvlip2  25956  c1liplem1  25957  dvle  25968  dvivthlem1  25969  dvne0  25972  lhop1lem  25974  dvcnvrelem1  25978  dvfsumle  25982  dvfsumleOLD  25983  dvfsumge  25984  dvfsumabs  25985  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  ftc1a  26000  ftc1lem4  26002  ftc1lem5  26003  ftc1lem6  26004  ftc1  26005  ftc2  26007  itgparts  26010  itgsubstlem  26011  itgsubst  26012  itgpowd  26013  reeff1olem  26412  efcvx  26415  cos0pilt1  26497  tanord1  26502  logccv  26628  loglesqrt  26727  chordthm  26803  amgmlem  26956  lgamgulmlem2  26996  eliccioo  33012  xrge0mulc1cn  34098  omssubadd  34457  ftc2re  34755  fdvposlt  34756  fdvneggt  34757  fdvposle  34758  fdvnegge  34759  circlemeth  34797  logdivsqrle  34807  ivthALT  36529  iccioo01  37528  itg2gt0cn  37872  ftc1cnnclem  37888  ftc1cnnc  37889  ftc2nc  37899  areacirc  37910  lcmineqlem10  42288  lcmineqlem12  42290  lhe4.4ex1a  44566  chordthmALT  45169  iccnct  45783  limciccioolb  45863  limcicciooub  45877  icccncfext  46127  cncfiooicclem1  46133  cncfioobdlem  46136  cncfioobd  46137  itgsin0pilem1  46190  iblioosinexp  46193  itgsinexplem1  46194  itgsinexp  46195  ditgeqiooicc  46200  itgcoscmulx  46209  ibliooicc  46211  itgsincmulx  46214  itgsubsticclem  46215  itgioocnicc  46217  iblcncfioo  46218  itgsbtaddcnst  46222  dirkeritg  46342  fourierdlem20  46367  fourierdlem38  46385  fourierdlem39  46386  fourierdlem46  46392  fourierdlem62  46408  fourierdlem68  46414  fourierdlem69  46415  fourierdlem70  46416  fourierdlem72  46418  fourierdlem73  46419  fourierdlem74  46420  fourierdlem75  46421  fourierdlem76  46422  fourierdlem80  46426  fourierdlem81  46427  fourierdlem82  46428  fourierdlem83  46429  fourierdlem84  46430  fourierdlem85  46431  fourierdlem88  46434  fourierdlem92  46438  fourierdlem93  46439  fourierdlem100  46446  fourierdlem101  46447  fourierdlem103  46449  fourierdlem104  46450  fourierdlem107  46453  fourierdlem111  46457  fourierdlem112  46458  sqwvfoura  46468  sqwvfourb  46469  etransclem18  46492  etransclem46  46520  hoicvrrex  46796  iooii  49159