Theorem ioossicc 13567

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13483	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13486	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 13281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13281	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13493	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3895  (class class class)co 7420   < clt 11346   ≤ cle 11347  (,)cioo 13479  [,]cicc 13482

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-ioo 13483  df-icc 13486

This theorem is used by:  ioodisj  13616  iccntr  25146  ivth2  25781  ivthle  25782  ivthle2  25783  ovolioo  25894  uniiccvol  25906  itgioo  26141  rollelem  26314  rolle  26315  cmvth  26316  dvlip  26318  dvlipcn  26319  dvlip2  26320  c1liplem1  26321  dvle  26332  dvivthlem1  26333  dvne0  26336  lhop1lem  26338  dvcnvrelem1  26342  dvfsumle  26346  dvfsumge  26347  dvfsumabs  26348  dvfsumlem2  26352  ftc1a  26362  ftc1lem4  26364  ftc1lem5  26365  ftc1lem6  26366  ftc1  26367  ftc2  26369  itgparts  26372  itgsubstlem  26373  itgsubst  26374  itgpowd  26375  reeff1olem  26778  efcvx  26781  cos0pilt1  26865  tanord1  26870  logccv  26996  loglesqrt  27094  chordthm  27170  amgmlem  27322  lgamgulmlem2  27362  eliccioo  33543  xrge0mulc1cn  34619  omssubadd  34978  ftc2re  35273  fdvposlt  35274  fdvneggt  35275  fdvposle  35276  fdvnegge  35277  circlemeth  35315  logdivsqrle  35325  ivthALT  37215  iccioo01  38343  itg2gt0cn  38686  ftc1cnnclem  38702  ftc1cnnc  38703  ftc2nc  38713  areacirc  38724  lcmineqlem10  43181  lcmineqlem12  43183  lhe4.4ex1a  45406  chordthmALT  46008  iccnct  46646  limciccioolb  46726  limcicciooub  46740  icccncfext  46990  cncfiooicclem1  46996  cncfioobdlem  46999  cncfioobd  47000  itgsin0pilem1  47053  iblioosinexp  47056  itgsinexplem1  47057  itgsinexp  47058  ditgeqiooicc  47063  itgcoscmulx  47072  ibliooicc  47074  itgsincmulx  47077  itgsubsticclem  47078  itgioocnicc  47080  iblcncfioo  47081  itgsbtaddcnst  47085  dirkeritg  47205  fourierdlem20  47230  fourierdlem38  47248  fourierdlem39  47249  fourierdlem46  47255  fourierdlem62  47271  fourierdlem68  47277  fourierdlem69  47278  fourierdlem70  47279  fourierdlem72  47281  fourierdlem73  47282  fourierdlem74  47283  fourierdlem75  47284  fourierdlem76  47285  fourierdlem80  47289  fourierdlem81  47290  fourierdlem82  47291  fourierdlem83  47292  fourierdlem84  47293  fourierdlem85  47294  fourierdlem88  47297  fourierdlem92  47301  fourierdlem93  47302  fourierdlem100  47309  fourierdlem101  47310  fourierdlem103  47312  fourierdlem104  47313  fourierdlem107  47316  fourierdlem111  47320  fourierdlem112  47321  sqwvfoura  47331  sqwvfourb  47332  etransclem18  47355  etransclem46  47383  hoicvrrex  47659  iooii  50125