Theorem ioossicc 13094

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13012	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13015	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 12812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 12812	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13022	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3883  (class class class)co 7255   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,)cioo 13008  [,]cicc 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ioo 13012  df-icc 13015

This theorem is referenced by:  ioodisj  13143  iccntr  23890  ivth2  24524  ivthle  24525  ivthle2  24526  ovolioo  24637  uniiccvol  24649  itgioo  24885  rollelem  25058  rolle  25059  cmvth  25060  dvlip  25062  dvlipcn  25063  dvlip2  25064  c1liplem1  25065  dvle  25076  dvivthlem1  25077  dvne0  25080  lhop1lem  25082  dvcnvrelem1  25086  dvfsumle  25090  dvfsumge  25091  dvfsumabs  25092  dvfsumlem2  25096  ftc1a  25106  ftc1lem4  25108  ftc1lem5  25109  ftc1lem6  25110  ftc1  25111  ftc2  25113  itgparts  25116  itgsubstlem  25117  itgsubst  25118  itgpowd  25119  reeff1olem  25510  efcvx  25513  cos0pilt1  25593  tanord1  25598  logccv  25723  loglesqrt  25816  chordthm  25892  amgmlem  26044  lgamgulmlem2  26084  eliccioo  31107  xrge0mulc1cn  31793  omssubadd  32167  ftc2re  32478  fdvposlt  32479  fdvneggt  32480  fdvposle  32481  fdvnegge  32482  circlemeth  32520  logdivsqrle  32530  ivthALT  34451  iccioo01  35425  itg2gt0cn  35759  ftc1cnnclem  35775  ftc1cnnc  35776  ftc2nc  35786  areacirc  35797  lcmineqlem10  39974  lcmineqlem12  39976  lhe4.4ex1a  41836  chordthmALT  42442  iccnct  42969  limciccioolb  43052  limcicciooub  43068  icccncfext  43318  cncfiooicclem1  43324  cncfioobdlem  43327  cncfioobd  43328  itgsin0pilem1  43381  iblioosinexp  43384  itgsinexplem1  43385  itgsinexp  43386  ditgeqiooicc  43391  itgcoscmulx  43400  ibliooicc  43402  itgsincmulx  43405  itgsubsticclem  43406  itgioocnicc  43408  iblcncfioo  43409  itgsbtaddcnst  43413  dirkeritg  43533  fourierdlem20  43558  fourierdlem38  43576  fourierdlem39  43577  fourierdlem46  43583  fourierdlem62  43599  fourierdlem68  43605  fourierdlem69  43606  fourierdlem70  43607  fourierdlem72  43609  fourierdlem73  43610  fourierdlem74  43611  fourierdlem75  43612  fourierdlem76  43613  fourierdlem80  43617  fourierdlem81  43618  fourierdlem82  43619  fourierdlem83  43620  fourierdlem84  43621  fourierdlem85  43622  fourierdlem88  43625  fourierdlem92  43629  fourierdlem93  43630  fourierdlem100  43637  fourierdlem101  43638  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem107  43644  fourierdlem111  43648  fourierdlem112  43649  sqwvfoura  43659  sqwvfourb  43660  etransclem18  43683  etransclem46  43711  hoicvrrex  43984  iooii  46099