Theorem icossicc 12638

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 12558	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 12559	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 12357	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 12566	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 387   ∈ wcel 2051   ⊆ wss 3822   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  ℝ^*cxr 10471   < clt 10472   ≤ cle 10473  [,)cico 12554  [,]cicc 12555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-ico 12558  df-icc 12559

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  23266  itg2mulclem  24065  itg2mulc  24066  itg2monolem1  24069  itg2monolem2  24070  itg2monolem3  24071  itg2mono  24072  itg2i1fseq3  24076  itg2addlem  24077  itg2gt0  24079  itg2cnlem2  24081  psercnlem2  24730  eliccelico  30276  xrge0slmod  30628  xrge0iifcnv  30852  lmlimxrge0  30867  lmdvglim  30873  esumfsupre  31006  esumpfinvallem  31009  esumpfinval  31010  esumpfinvalf  31011  esumpcvgval  31013  esumpmono  31014  esummulc1  31016  sitmcl  31286  itg2addnc  34424  itg2gt0cn  34425  ftc1anclem6  34450  ftc1anclem8  34452  icoiccdif  41265  limciccioolb  41367  ltmod  41384  fourierdlem63  41919  fge0icoicc  42112  sge0tsms  42127  sge0iunmptlemre  42162  sge0isum  42174  sge0xaddlem1  42180  sge0xaddlem2  42181  sge0pnffsumgt  42189  sge0gtfsumgt  42190  sge0seq  42193  ovnsupge0  42304  ovnlecvr  42305  ovnsubaddlem1  42317  sge0hsphoire  42336  hoidmv1lelem3  42340  hoidmv1le  42341  hoidmvlelem1  42342  hoidmvlelem2  42343  hoidmvlelem3  42344  hoidmvlelem4  42345  hoidmvlelem5  42346  hoidmvle  42347  ovnhoilem1  42348  ovnlecvr2  42357  hspmbllem2  42374