Theorem icossicc 13464

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13379	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13380	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13175	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13387	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  [,)cico 13375  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13379  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  25084  itg2mulclem  25886  itg2mulc  25887  itg2monolem1  25890  itg2monolem2  25891  itg2monolem3  25892  itg2mono  25893  itg2i1fseq3  25897  itg2addlem  25898  itg2gt0  25900  itg2cnlem2  25902  psercnlem2  26568  eliccelico  33103  xrge0slmod  33649  xrge0iifcnv  34304  lmlimxrge0  34319  lmdvglim  34325  esumfsupre  34442  esumpfinvallem  34445  esumpfinval  34446  esumpfinvalf  34447  esumpcvgval  34449  esumpmono  34450  esummulc1  34452  sitmcl  34722  itg2addnc  38306  itg2gt0cn  38307  ftc1anclem6  38330  ftc1anclem8  38332  icoiccdif  46223  limciccioolb  46320  ltmod  46335  fourierdlem63  46866  fge0icoicc  47062  sge0tsms  47077  sge0iunmptlemre  47112  sge0isum  47124  sge0xaddlem1  47130  sge0xaddlem2  47131  sge0pnffsumgt  47139  sge0gtfsumgt  47140  sge0seq  47143  ovnsupge0  47254  ovnlecvr  47255  ovnsubaddlem1  47267  sge0hsphoire  47286  hoidmv1lelem3  47290  hoidmv1le  47291  hoidmvlelem1  47292  hoidmvlelem2  47293  hoidmvlelem3  47294  hoidmvlelem4  47295  hoidmvlelem5  47296  hoidmvle  47297  ovnhoilem1  47298  ovnlecvr2  47307  hspmbllem2  47324  sepfsepc  49689