Theorem icossicc 13489

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13404	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13405	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13200	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13412	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  [,)cico 13400  [,]cicc 13401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ico 13404  df-icc 13405

This theorem is used by:  iccpnfcnv  25172  itg2mulclem  25974  itg2mulc  25975  itg2monolem1  25978  itg2monolem2  25979  itg2monolem3  25980  itg2mono  25981  itg2i1fseq3  25985  itg2addlem  25986  itg2gt0  25988  itg2cnlem2  25990  psercnlem2  26660  eliccelico  33248  xrge0slmod  33788  xrge0iifcnv  34443  lmlimxrge0  34458  lmdvglim  34464  esumfsupre  34581  esumpfinvallem  34584  esumpfinval  34585  esumpfinvalf  34586  esumpcvgval  34588  esumpmono  34589  esummulc1  34591  sitmcl  34862  itg2addnc  38423  itg2gt0cn  38424  ftc1anclem6  38447  ftc1anclem8  38449  icoiccdif  46354  limciccioolb  46451  ltmod  46466  fourierdlem63  46997  fge0icoicc  47193  sge0tsms  47208  sge0iunmptlemre  47243  sge0isum  47255  sge0xaddlem1  47261  sge0xaddlem2  47262  sge0pnffsumgt  47270  sge0gtfsumgt  47271  sge0seq  47274  ovnsupge0  47385  ovnlecvr  47386  ovnsubaddlem1  47398  sge0hsphoire  47417  hoidmv1lelem3  47421  hoidmv1le  47422  hoidmvlelem1  47423  hoidmvlelem2  47424  hoidmvlelem3  47425  hoidmvlelem4  47426  hoidmvlelem5  47427  hoidmvle  47428  ovnhoilem1  47429  ovnlecvr2  47438  hspmbllem2  47455  sepfsepc  49854