Theorem icossicc 13384

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13299	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13300	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13095	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13307	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  ℝ^*cxr 11174   < clt 11175   ≤ cle 11176  [,)cico 13295  [,]cicc 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-ico 13299  df-icc 13300

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  24932  itg2mulclem  25734  itg2mulc  25735  itg2monolem1  25738  itg2monolem2  25739  itg2monolem3  25740  itg2mono  25741  itg2i1fseq3  25745  itg2addlem  25746  itg2gt0  25748  itg2cnlem2  25750  psercnlem2  26410  eliccelico  32871  xrge0slmod  33433  xrge0iifcnv  34127  lmlimxrge0  34142  lmdvglim  34148  esumfsupre  34265  esumpfinvallem  34268  esumpfinval  34269  esumpfinvalf  34270  esumpcvgval  34272  esumpmono  34273  esummulc1  34275  sitmcl  34545  itg2addnc  38054  itg2gt0cn  38055  ftc1anclem6  38078  ftc1anclem8  38080  icoiccdif  45981  limciccioolb  46078  ltmod  46093  fourierdlem63  46624  fge0icoicc  46820  sge0tsms  46835  sge0iunmptlemre  46870  sge0isum  46882  sge0xaddlem1  46888  sge0xaddlem2  46889  sge0pnffsumgt  46897  sge0gtfsumgt  46898  sge0seq  46901  ovnsupge0  47012  ovnlecvr  47013  ovnsubaddlem1  47025  sge0hsphoire  47044  hoidmv1lelem3  47048  hoidmv1le  47049  hoidmvlelem1  47050  hoidmvlelem2  47051  hoidmvlelem3  47052  hoidmvlelem4  47053  hoidmvlelem5  47054  hoidmvle  47055  ovnhoilem1  47056  ovnlecvr2  47065  hspmbllem2  47082  sepfsepc  49430