Theorem icossicc 13352

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13267	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13268	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13063	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13275	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  [,)cico 13263  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ico 13267  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  24898  itg2mulclem  25703  itg2mulc  25704  itg2monolem1  25707  itg2monolem2  25708  itg2monolem3  25709  itg2mono  25710  itg2i1fseq3  25714  itg2addlem  25715  itg2gt0  25717  itg2cnlem2  25719  psercnlem2  26390  eliccelico  32857  xrge0slmod  33429  xrge0iifcnv  34090  lmlimxrge0  34105  lmdvglim  34111  esumfsupre  34228  esumpfinvallem  34231  esumpfinval  34232  esumpfinvalf  34233  esumpcvgval  34235  esumpmono  34236  esummulc1  34238  sitmcl  34508  itg2addnc  37875  itg2gt0cn  37876  ftc1anclem6  37899  ftc1anclem8  37901  icoiccdif  45770  limciccioolb  45867  ltmod  45882  fourierdlem63  46413  fge0icoicc  46609  sge0tsms  46624  sge0iunmptlemre  46659  sge0isum  46671  sge0xaddlem1  46677  sge0xaddlem2  46678  sge0pnffsumgt  46686  sge0gtfsumgt  46687  sge0seq  46690  ovnsupge0  46801  ovnlecvr  46802  ovnsubaddlem1  46814  sge0hsphoire  46833  hoidmv1lelem3  46837  hoidmv1le  46838  hoidmvlelem1  46839  hoidmvlelem2  46840  hoidmvlelem3  46841  hoidmvlelem4  46842  hoidmvlelem5  46843  hoidmvle  46844  ovnhoilem1  46845  ovnlecvr2  46854  hspmbllem2  46871  sepfsepc  49173