Theorem icossicc 13560

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13475	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13476	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13271	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13483	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  [,)cico 13471  [,]cicc 13472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-ico 13475  df-icc 13476

This theorem is used by:  iccpnfcnv  25258  itg2mulclem  26060  itg2mulc  26061  itg2monolem1  26064  itg2monolem2  26065  itg2monolem3  26066  itg2mono  26067  itg2i1fseq3  26071  itg2addlem  26072  itg2gt0  26074  itg2cnlem2  26076  psercnlem2  26744  eliccelico  33362  xrge0slmod  33902  xrge0iifcnv  34558  lmlimxrge0  34573  lmdvglim  34579  esumfsupre  34696  esumpfinvallem  34699  esumpfinval  34700  esumpfinvalf  34701  esumpcvgval  34703  esumpmono  34704  esummulc1  34706  sitmcl  34976  itg2addnc  38572  itg2gt0cn  38573  ftc1anclem6  38596  ftc1anclem8  38598  icoiccdif  46505  limciccioolb  46602  ltmod  46617  fourierdlem63  47148  fge0icoicc  47344  sge0tsms  47359  sge0iunmptlemre  47394  sge0isum  47406  sge0xaddlem1  47412  sge0xaddlem2  47413  sge0pnffsumgt  47421  sge0gtfsumgt  47422  sge0seq  47425  ovnsupge0  47536  ovnlecvr  47537  ovnsubaddlem1  47549  sge0hsphoire  47568  hoidmv1lelem3  47572  hoidmv1le  47573  hoidmvlelem1  47574  hoidmvlelem2  47575  hoidmvlelem3  47576  hoidmvlelem4  47577  hoidmvlelem5  47578  hoidmvle  47579  ovnhoilem1  47580  ovnlecvr2  47589  hspmbllem2  47606  sepfsepc  50005