Theorem icossicc 12989

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 12906	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 12907	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 12704	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 12914	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  ℝ^*cxr 10831   < clt 10832   ≤ cle 10833  [,)cico 12902  [,]cicc 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-ico 12906  df-icc 12907

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  23795  itg2mulclem  24598  itg2mulc  24599  itg2monolem1  24602  itg2monolem2  24603  itg2monolem3  24604  itg2mono  24605  itg2i1fseq3  24609  itg2addlem  24610  itg2gt0  24612  itg2cnlem2  24614  psercnlem2  25270  eliccelico  30772  xrge0slmod  31216  xrge0iifcnv  31551  lmlimxrge0  31566  lmdvglim  31572  esumfsupre  31705  esumpfinvallem  31708  esumpfinval  31709  esumpfinvalf  31710  esumpcvgval  31712  esumpmono  31713  esummulc1  31715  sitmcl  31984  itg2addnc  35517  itg2gt0cn  35518  ftc1anclem6  35541  ftc1anclem8  35543  icoiccdif  42678  limciccioolb  42780  ltmod  42797  fourierdlem63  43328  fge0icoicc  43521  sge0tsms  43536  sge0iunmptlemre  43571  sge0isum  43583  sge0xaddlem1  43589  sge0xaddlem2  43590  sge0pnffsumgt  43598  sge0gtfsumgt  43599  sge0seq  43602  ovnsupge0  43713  ovnlecvr  43714  ovnsubaddlem1  43726  sge0hsphoire  43745  hoidmv1lelem3  43749  hoidmv1le  43750  hoidmvlelem1  43751  hoidmvlelem2  43752  hoidmvlelem3  43753  hoidmvlelem4  43754  hoidmvlelem5  43755  hoidmvle  43756  ovnhoilem1  43757  ovnlecvr2  43766  hspmbllem2  43783  sepfsepc  45837