Theorem icossicc 13467

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13384	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13385	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13182	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13392	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℝ^*cxr 11297   < clt 11298   ≤ cle 11299  [,)cico 13380  [,]cicc 13381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-ico 13384  df-icc 13385

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  24960  itg2mulclem  25767  itg2mulc  25768  itg2monolem1  25771  itg2monolem2  25772  itg2monolem3  25773  itg2mono  25774  itg2i1fseq3  25778  itg2addlem  25779  itg2gt0  25781  itg2cnlem2  25783  psercnlem2  26454  eliccelico  32679  xrge0slmod  33223  xrge0iifcnv  33748  lmlimxrge0  33763  lmdvglim  33769  esumfsupre  33904  esumpfinvallem  33907  esumpfinval  33908  esumpfinvalf  33909  esumpcvgval  33911  esumpmono  33912  esummulc1  33914  sitmcl  34185  itg2addnc  37375  itg2gt0cn  37376  ftc1anclem6  37399  ftc1anclem8  37401  icoiccdif  45142  limciccioolb  45242  ltmod  45259  fourierdlem63  45790  fge0icoicc  45986  sge0tsms  46001  sge0iunmptlemre  46036  sge0isum  46048  sge0xaddlem1  46054  sge0xaddlem2  46055  sge0pnffsumgt  46063  sge0gtfsumgt  46064  sge0seq  46067  ovnsupge0  46178  ovnlecvr  46179  ovnsubaddlem1  46191  sge0hsphoire  46210  hoidmv1lelem3  46214  hoidmv1le  46215  hoidmvlelem1  46216  hoidmvlelem2  46217  hoidmvlelem3  46218  hoidmvlelem4  46219  hoidmvlelem5  46220  hoidmvle  46221  ovnhoilem1  46222  ovnlecvr2  46231  hspmbllem2  46248  sepfsepc  48261