Theorem icossicc 13364

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13279	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13280	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13075	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13287	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  [,)cico 13275  [,]cicc 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-ico 13279  df-icc 13280

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  24910  itg2mulclem  25715  itg2mulc  25716  itg2monolem1  25719  itg2monolem2  25720  itg2monolem3  25721  itg2mono  25722  itg2i1fseq3  25726  itg2addlem  25727  itg2gt0  25729  itg2cnlem2  25731  psercnlem2  26402  eliccelico  32867  xrge0slmod  33440  xrge0iifcnv  34110  lmlimxrge0  34125  lmdvglim  34131  esumfsupre  34248  esumpfinvallem  34251  esumpfinval  34252  esumpfinvalf  34253  esumpcvgval  34255  esumpmono  34256  esummulc1  34258  sitmcl  34528  itg2addnc  37922  itg2gt0cn  37923  ftc1anclem6  37946  ftc1anclem8  37948  icoiccdif  45881  limciccioolb  45978  ltmod  45993  fourierdlem63  46524  fge0icoicc  46720  sge0tsms  46735  sge0iunmptlemre  46770  sge0isum  46782  sge0xaddlem1  46788  sge0xaddlem2  46789  sge0pnffsumgt  46797  sge0gtfsumgt  46798  sge0seq  46801  ovnsupge0  46912  ovnlecvr  46913  ovnsubaddlem1  46925  sge0hsphoire  46944  hoidmv1lelem3  46948  hoidmv1le  46949  hoidmvlelem1  46950  hoidmvlelem2  46951  hoidmvlelem3  46952  hoidmvlelem4  46953  hoidmvlelem5  46954  hoidmvle  46955  ovnhoilem1  46956  ovnlecvr2  46965  hspmbllem2  46982  sepfsepc  49284