Theorem icossicc 13473

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13390	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13391	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13188	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13398	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  [,)cico 13386  [,]cicc 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ico 13390  df-icc 13391

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  24989  itg2mulclem  25796  itg2mulc  25797  itg2monolem1  25800  itg2monolem2  25801  itg2monolem3  25802  itg2mono  25803  itg2i1fseq3  25807  itg2addlem  25808  itg2gt0  25810  itg2cnlem2  25812  psercnlem2  26483  eliccelico  32786  xrge0slmod  33356  xrge0iifcnv  33894  lmlimxrge0  33909  lmdvglim  33915  esumfsupre  34052  esumpfinvallem  34055  esumpfinval  34056  esumpfinvalf  34057  esumpcvgval  34059  esumpmono  34060  esummulc1  34062  sitmcl  34333  itg2addnc  37661  itg2gt0cn  37662  ftc1anclem6  37685  ftc1anclem8  37687  icoiccdif  45477  limciccioolb  45577  ltmod  45594  fourierdlem63  46125  fge0icoicc  46321  sge0tsms  46336  sge0iunmptlemre  46371  sge0isum  46383  sge0xaddlem1  46389  sge0xaddlem2  46390  sge0pnffsumgt  46398  sge0gtfsumgt  46399  sge0seq  46402  ovnsupge0  46513  ovnlecvr  46514  ovnsubaddlem1  46526  sge0hsphoire  46545  hoidmv1lelem3  46549  hoidmv1le  46550  hoidmvlelem1  46551  hoidmvlelem2  46552  hoidmvlelem3  46553  hoidmvlelem4  46554  hoidmvlelem5  46555  hoidmvle  46556  ovnhoilem1  46557  ovnlecvr2  46566  hspmbllem2  46583  sepfsepc  48724