Theorem icossicc 13451

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13366	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13367	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13162	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13374	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  [,)cico 13362  [,]cicc 13363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ico 13366  df-icc 13367

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  25060  itg2mulclem  25862  itg2mulc  25863  itg2monolem1  25866  itg2monolem2  25867  itg2monolem3  25868  itg2mono  25869  itg2i1fseq3  25873  itg2addlem  25874  itg2gt0  25876  itg2cnlem2  25878  psercnlem2  26541  eliccelico  33030  xrge0slmod  33578  xrge0iifcnv  34235  lmlimxrge0  34250  lmdvglim  34256  esumfsupre  34373  esumpfinvallem  34376  esumpfinval  34377  esumpfinvalf  34378  esumpcvgval  34380  esumpmono  34381  esummulc1  34383  sitmcl  34653  itg2addnc  38180  itg2gt0cn  38181  ftc1anclem6  38204  ftc1anclem8  38206  icoiccdif  46099  limciccioolb  46196  ltmod  46211  fourierdlem63  46742  fge0icoicc  46938  sge0tsms  46953  sge0iunmptlemre  46988  sge0isum  47000  sge0xaddlem1  47006  sge0xaddlem2  47007  sge0pnffsumgt  47015  sge0gtfsumgt  47016  sge0seq  47019  ovnsupge0  47130  ovnlecvr  47131  ovnsubaddlem1  47143  sge0hsphoire  47162  hoidmv1lelem3  47166  hoidmv1le  47167  hoidmvlelem1  47168  hoidmvlelem2  47169  hoidmvlelem3  47170  hoidmvlelem4  47171  hoidmvlelem5  47172  hoidmvle  47173  ovnhoilem1  47174  ovnlecvr2  47183  hspmbllem2  47200  sepfsepc  49558