Theorem icossicc 13474

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13389	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13390	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13185	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13397	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  [,)cico 13385  [,]cicc 13386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-ico 13389  df-icc 13390

This theorem is used by:  iccpnfcnv  25132  itg2mulclem  25934  itg2mulc  25935  itg2monolem1  25938  itg2monolem2  25939  itg2monolem3  25940  itg2mono  25941  itg2i1fseq3  25945  itg2addlem  25946  itg2gt0  25948  itg2cnlem2  25950  psercnlem2  26616  eliccelico  33151  xrge0slmod  33691  xrge0iifcnv  34346  lmlimxrge0  34361  lmdvglim  34367  esumfsupre  34484  esumpfinvallem  34487  esumpfinval  34488  esumpfinvalf  34489  esumpcvgval  34491  esumpmono  34492  esummulc1  34494  sitmcl  34765  itg2addnc  38358  itg2gt0cn  38359  ftc1anclem6  38382  ftc1anclem8  38384  icoiccdif  46273  limciccioolb  46370  ltmod  46385  fourierdlem63  46916  fge0icoicc  47112  sge0tsms  47127  sge0iunmptlemre  47162  sge0isum  47174  sge0xaddlem1  47180  sge0xaddlem2  47181  sge0pnffsumgt  47189  sge0gtfsumgt  47190  sge0seq  47193  ovnsupge0  47304  ovnlecvr  47305  ovnsubaddlem1  47317  sge0hsphoire  47336  hoidmv1lelem3  47340  hoidmv1le  47341  hoidmvlelem1  47342  hoidmvlelem2  47343  hoidmvlelem3  47344  hoidmvlelem4  47345  hoidmvlelem5  47346  hoidmvle  47347  ovnhoilem1  47348  ovnlecvr2  47357  hspmbllem2  47374  sepfsepc  49739