Theorem icossicc 13404

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13319	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13320	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13116	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13327	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  [,)cico 13315  [,]cicc 13316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ico 13319  df-icc 13320

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  24849  itg2mulclem  25654  itg2mulc  25655  itg2monolem1  25658  itg2monolem2  25659  itg2monolem3  25660  itg2mono  25661  itg2i1fseq3  25665  itg2addlem  25666  itg2gt0  25668  itg2cnlem2  25670  psercnlem2  26341  eliccelico  32707  xrge0slmod  33326  xrge0iifcnv  33930  lmlimxrge0  33945  lmdvglim  33951  esumfsupre  34068  esumpfinvallem  34071  esumpfinval  34072  esumpfinvalf  34073  esumpcvgval  34075  esumpmono  34076  esummulc1  34078  sitmcl  34349  itg2addnc  37675  itg2gt0cn  37676  ftc1anclem6  37699  ftc1anclem8  37701  icoiccdif  45529  limciccioolb  45626  ltmod  45643  fourierdlem63  46174  fge0icoicc  46370  sge0tsms  46385  sge0iunmptlemre  46420  sge0isum  46432  sge0xaddlem1  46438  sge0xaddlem2  46439  sge0pnffsumgt  46447  sge0gtfsumgt  46448  sge0seq  46451  ovnsupge0  46562  ovnlecvr  46563  ovnsubaddlem1  46575  sge0hsphoire  46594  hoidmv1lelem3  46598  hoidmv1le  46599  hoidmvlelem1  46600  hoidmvlelem2  46601  hoidmvlelem3  46602  hoidmvlelem4  46603  hoidmvlelem5  46604  hoidmvle  46605  ovnhoilem1  46606  ovnlecvr2  46615  hspmbllem2  46632  sepfsepc  48920