Theorem icossicc 13607

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13522	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13523	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13318	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13530	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  [,)cico 13518  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-ico 13522  df-icc 13523

This theorem is used by:  iccpnfcnv  25320  itg2mulclem  26122  itg2mulc  26123  itg2monolem1  26126  itg2monolem2  26127  itg2monolem3  26128  itg2mono  26129  itg2i1fseq3  26133  itg2addlem  26134  itg2gt0  26136  itg2cnlem2  26138  psercnlem2  26808  eliccelico  33465  xrge0slmod  34013  xrge0iifcnv  34676  lmlimxrge0  34691  lmdvglim  34697  esumfsupre  34814  esumpfinvallem  34817  esumpfinval  34818  esumpfinvalf  34819  esumpcvgval  34821  esumpmono  34822  esummulc1  34824  sitmcl  35094  itg2addnc  38860  itg2gt0cn  38861  ftc1anclem6  38884  ftc1anclem8  38886  icoiccdif  46809  limciccioolb  46906  ltmod  46921  fourierdlem63  47452  fge0icoicc  47648  sge0tsms  47663  sge0iunmptlemre  47698  sge0isum  47710  sge0xaddlem1  47716  sge0xaddlem2  47717  sge0pnffsumgt  47725  sge0gtfsumgt  47726  sge0seq  47729  ovnsupge0  47840  ovnlecvr  47841  ovnsubaddlem1  47853  sge0hsphoire  47872  hoidmv1lelem3  47876  hoidmv1le  47877  hoidmvlelem1  47878  hoidmvlelem2  47879  hoidmvlelem3  47880  hoidmvlelem4  47881  hoidmvlelem5  47882  hoidmvle  47883  ovnhoilem1  47884  ovnlecvr2  47893  hspmbllem2  47910  sepfsepc  50373