Theorem icossicc 13336

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13251	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13252	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13048	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13259	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  [,)cico 13247  [,]cicc 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-ico 13251  df-icc 13252

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  24870  itg2mulclem  25675  itg2mulc  25676  itg2monolem1  25679  itg2monolem2  25680  itg2monolem3  25681  itg2mono  25682  itg2i1fseq3  25686  itg2addlem  25687  itg2gt0  25689  itg2cnlem2  25691  psercnlem2  26362  eliccelico  32758  xrge0slmod  33311  xrge0iifcnv  33944  lmlimxrge0  33959  lmdvglim  33965  esumfsupre  34082  esumpfinvallem  34085  esumpfinval  34086  esumpfinvalf  34087  esumpcvgval  34089  esumpmono  34090  esummulc1  34092  sitmcl  34362  itg2addnc  37720  itg2gt0cn  37721  ftc1anclem6  37744  ftc1anclem8  37746  icoiccdif  45570  limciccioolb  45667  ltmod  45682  fourierdlem63  46213  fge0icoicc  46409  sge0tsms  46424  sge0iunmptlemre  46459  sge0isum  46471  sge0xaddlem1  46477  sge0xaddlem2  46478  sge0pnffsumgt  46486  sge0gtfsumgt  46487  sge0seq  46490  ovnsupge0  46601  ovnlecvr  46602  ovnsubaddlem1  46614  sge0hsphoire  46633  hoidmv1lelem3  46637  hoidmv1le  46638  hoidmvlelem1  46639  hoidmvlelem2  46640  hoidmvlelem3  46641  hoidmvlelem4  46642  hoidmvlelem5  46643  hoidmvle  46644  ovnhoilem1  46645  ovnlecvr2  46654  hspmbllem2  46671  sepfsepc  48965