MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icossicc 13354
Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
icossicc (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 13271 . 2 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑥𝑥 < 𝑏)})
2 df-icc 13272 . 2 [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑥𝑥𝑏)})
3 idd 24 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑤𝐴𝑤))
4 xrltle 13069 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
51, 2, 3, 4ixxssixx 13279 1 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  wcel 2107  wss 3911   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191  [,)cico 13267  [,]cicc 13268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-ico 13271  df-icc 13272
This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  24310  itg2mulclem  25114  itg2mulc  25115  itg2monolem1  25118  itg2monolem2  25119  itg2monolem3  25120  itg2mono  25121  itg2i1fseq3  25125  itg2addlem  25126  itg2gt0  25128  itg2cnlem2  25130  psercnlem2  25786  eliccelico  31683  xrge0slmod  32143  xrge0iifcnv  32517  lmlimxrge0  32532  lmdvglim  32538  esumfsupre  32673  esumpfinvallem  32676  esumpfinval  32677  esumpfinvalf  32678  esumpcvgval  32680  esumpmono  32681  esummulc1  32683  sitmcl  32954  itg2addnc  36135  itg2gt0cn  36136  ftc1anclem6  36159  ftc1anclem8  36161  icoiccdif  43769  limciccioolb  43869  ltmod  43886  fourierdlem63  44417  fge0icoicc  44613  sge0tsms  44628  sge0iunmptlemre  44663  sge0isum  44675  sge0xaddlem1  44681  sge0xaddlem2  44682  sge0pnffsumgt  44690  sge0gtfsumgt  44691  sge0seq  44694  ovnsupge0  44805  ovnlecvr  44806  ovnsubaddlem1  44818  sge0hsphoire  44837  hoidmv1lelem3  44841  hoidmv1le  44842  hoidmvlelem1  44843  hoidmvlelem2  44844  hoidmvlelem3  44845  hoidmvlelem4  44846  hoidmvlelem5  44847  hoidmvle  44848  ovnhoilem1  44849  ovnlecvr2  44858  hspmbllem2  44875  sepfsepc  46967
  Copyright terms: Public domain W3C validator