Theorem icossicc 13571

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13486	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13487	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13282	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13494	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348  [,)cico 13482  [,]cicc 13483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-ico 13486  df-icc 13487

This theorem is used by:  iccpnfcnv  25271  itg2mulclem  26073  itg2mulc  26074  itg2monolem1  26077  itg2monolem2  26078  itg2monolem3  26079  itg2mono  26080  itg2i1fseq3  26084  itg2addlem  26085  itg2gt0  26087  itg2cnlem2  26089  psercnlem2  26757  eliccelico  33416  xrge0slmod  33956  xrge0iifcnv  34612  lmlimxrge0  34627  lmdvglim  34633  esumfsupre  34750  esumpfinvallem  34753  esumpfinval  34754  esumpfinvalf  34755  esumpcvgval  34757  esumpmono  34758  esummulc1  34760  sitmcl  35030  itg2addnc  38686  itg2gt0cn  38687  ftc1anclem6  38710  ftc1anclem8  38712  icoiccdif  46630  limciccioolb  46727  ltmod  46742  fourierdlem63  47273  fge0icoicc  47469  sge0tsms  47484  sge0iunmptlemre  47519  sge0isum  47531  sge0xaddlem1  47537  sge0xaddlem2  47538  sge0pnffsumgt  47546  sge0gtfsumgt  47547  sge0seq  47550  ovnsupge0  47661  ovnlecvr  47662  ovnsubaddlem1  47674  sge0hsphoire  47693  hoidmv1lelem3  47697  hoidmv1le  47698  hoidmvlelem1  47699  hoidmvlelem2  47700  hoidmvlelem3  47701  hoidmvlelem4  47702  hoidmvlelem5  47703  hoidmvle  47704  ovnhoilem1  47705  ovnlecvr2  47714  hspmbllem2  47731  sepfsepc  50136