Theorem icossicc 13409

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13326	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 13327	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 13124	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13334	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  [,)cico 13322  [,]cicc 13323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13326  df-icc 13327

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  24451  itg2mulclem  25255  itg2mulc  25256  itg2monolem1  25259  itg2monolem2  25260  itg2monolem3  25261  itg2mono  25262  itg2i1fseq3  25266  itg2addlem  25267  itg2gt0  25269  itg2cnlem2  25271  psercnlem2  25927  eliccelico  31975  xrge0slmod  32451  xrge0iifcnv  32901  lmlimxrge0  32916  lmdvglim  32922  esumfsupre  33057  esumpfinvallem  33060  esumpfinval  33061  esumpfinvalf  33062  esumpcvgval  33064  esumpmono  33065  esummulc1  33067  sitmcl  33338  itg2addnc  36530  itg2gt0cn  36531  ftc1anclem6  36554  ftc1anclem8  36556  icoiccdif  44223  limciccioolb  44323  ltmod  44340  fourierdlem63  44871  fge0icoicc  45067  sge0tsms  45082  sge0iunmptlemre  45117  sge0isum  45129  sge0xaddlem1  45135  sge0xaddlem2  45136  sge0pnffsumgt  45144  sge0gtfsumgt  45145  sge0seq  45148  ovnsupge0  45259  ovnlecvr  45260  ovnsubaddlem1  45272  sge0hsphoire  45291  hoidmv1lelem3  45295  hoidmv1le  45296  hoidmvlelem1  45297  hoidmvlelem2  45298  hoidmvlelem3  45299  hoidmvlelem4  45300  hoidmvlelem5  45301  hoidmvle  45302  ovnhoilem1  45303  ovnlecvr2  45312  hspmbllem2  45329  sepfsepc  47513