MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icossicc 12814
Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
icossicc (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 12732 . 2 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑥𝑥 < 𝑏)})
2 df-icc 12733 . 2 [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑥𝑥𝑏)})
3 idd 24 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑤𝐴𝑤))
4 xrltle 12530 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
51, 2, 3, 4ixxssixx 12740 1 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399  wcel 2111  wss 3881   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  [,)cico 12728  [,]cicc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ico 12732  df-icc 12733
This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  23549  itg2mulclem  24350  itg2mulc  24351  itg2monolem1  24354  itg2monolem2  24355  itg2monolem3  24356  itg2mono  24357  itg2i1fseq3  24361  itg2addlem  24362  itg2gt0  24364  itg2cnlem2  24366  psercnlem2  25019  eliccelico  30526  xrge0slmod  30968  xrge0iifcnv  31286  lmlimxrge0  31301  lmdvglim  31307  esumfsupre  31440  esumpfinvallem  31443  esumpfinval  31444  esumpfinvalf  31445  esumpcvgval  31447  esumpmono  31448  esummulc1  31450  sitmcl  31719  itg2addnc  35108  itg2gt0cn  35109  ftc1anclem6  35132  ftc1anclem8  35134  icoiccdif  42156  limciccioolb  42258  ltmod  42275  fourierdlem63  42806  fge0icoicc  42999  sge0tsms  43014  sge0iunmptlemre  43049  sge0isum  43061  sge0xaddlem1  43067  sge0xaddlem2  43068  sge0pnffsumgt  43076  sge0gtfsumgt  43077  sge0seq  43080  ovnsupge0  43191  ovnlecvr  43192  ovnsubaddlem1  43204  sge0hsphoire  43223  hoidmv1lelem3  43227  hoidmv1le  43228  hoidmvlelem1  43229  hoidmvlelem2  43230  hoidmvlelem3  43231  hoidmvlelem4  43232  hoidmvlelem5  43233  hoidmvle  43234  ovnhoilem1  43235  ovnlecvr2  43244  hspmbllem2  43261
  Copyright terms: Public domain W3C validator