Theorem icossicc 12825

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 12745	. 2 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		df-icc 12746	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		idd 24	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 12543	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 12753	1 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676  [,)cico 12741  [,]cicc 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-ico 12745  df-icc 12746

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  23548  itg2mulclem  24347  itg2mulc  24348  itg2monolem1  24351  itg2monolem2  24352  itg2monolem3  24353  itg2mono  24354  itg2i1fseq3  24358  itg2addlem  24359  itg2gt0  24361  itg2cnlem2  24363  psercnlem2  25012  eliccelico  30500  xrge0slmod  30917  xrge0iifcnv  31176  lmlimxrge0  31191  lmdvglim  31197  esumfsupre  31330  esumpfinvallem  31333  esumpfinval  31334  esumpfinvalf  31335  esumpcvgval  31337  esumpmono  31338  esummulc1  31340  sitmcl  31609  itg2addnc  34961  itg2gt0cn  34962  ftc1anclem6  34987  ftc1anclem8  34989  icoiccdif  41820  limciccioolb  41922  ltmod  41939  fourierdlem63  42474  fge0icoicc  42667  sge0tsms  42682  sge0iunmptlemre  42717  sge0isum  42729  sge0xaddlem1  42735  sge0xaddlem2  42736  sge0pnffsumgt  42744  sge0gtfsumgt  42745  sge0seq  42748  ovnsupge0  42859  ovnlecvr  42860  ovnsubaddlem1  42872  sge0hsphoire  42891  hoidmv1lelem3  42895  hoidmv1le  42896  hoidmvlelem1  42897  hoidmvlelem2  42898  hoidmvlelem3  42899  hoidmvlelem4  42900  hoidmvlelem5  42901  hoidmvle  42902  ovnhoilem1  42903  ovnlecvr2  42912  hspmbllem2  42929