Theorem elixx3g 13340

Description: Membership in a set of open intervals of extended reals. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝐴 ∈ ℝ^* and 𝐵 ∈ ℝ^*. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
elixx3g	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elixx3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 468	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵))))
2		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3	2	anbi1i 623	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))
4		ixx.1	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
5	4	elixx1 13336	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))
6		3anass 1092	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))
7		ibar 528	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))))
8	6, 7	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))))
9	5, 8	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))))
10	4	ixxf 13337	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
11	10	fdmi 6722	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑂 = (ℝ* × ℝ*)
12	11	ndmov 7587	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = ∅)
13	12	eleq2d 2813	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ∅))
14		noel 4325	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐶 ∈ ∅
15	14	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
16		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
17	15, 16	pm5.21ni 377	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ∅ ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))))
18	13, 17	bitrd 279	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))))
19	9, 18	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵))))
20	1, 3, 19	3bitr4ri 304	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  ∅c0 4317  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141   × cxp 5667  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  ℝ^*cxr 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-xr 11253

This theorem is referenced by:  ixxss1  13345  ixxss2  13346  ixxss12  13347  elioo3g  13356  elicore  13379  iccss2  13398  iccssico2  13401  xrtgioo  24672  ftc1anclem7  37079  ftc1anclem8  37080  ftc1anc  37081  eliocre  44776  lbioc  44780