MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixx3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elixx3g 13377
Description: Membership in a set of open intervals of extended reals. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝐴 ∈ ℝ* and 𝐡 ∈ ℝ*. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
elixx3g (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elixx3g
StepHypRef Expression
1 anass 467 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡))))
2 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ 𝐢 ∈ ℝ*))
32anbi1i 622 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))
4 ixx.1 . . . . 5 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
54elixx1 13373 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))
6 3anass 1092 . . . . 5 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡) ↔ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))
7 ibar 527 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))))
86, 7bitrid 282 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))))
95, 8bitrd 278 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))))
104ixxf 13374 . . . . . . 7 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
1110fdmi 6739 . . . . . 6 dom 𝑂 = (ℝ* Γ— ℝ*)
1211ndmov 7611 . . . . 5 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴𝑂𝐡) = βˆ…)
1312eleq2d 2815 . . . 4 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ 𝐢 ∈ βˆ…))
14 noel 4334 . . . . . 6 Β¬ 𝐢 ∈ βˆ…
1514pm2.21i 119 . . . . 5 (𝐢 ∈ βˆ… β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
16 simpl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡))) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
1715, 16pm5.21ni 376 . . . 4 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ βˆ… ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))))
1813, 17bitrd 278 . . 3 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))))
199, 18pm2.61i 182 . 2 (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡))))
201, 3, 193bitr4ri 303 1 (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  βˆ…c0 4326  π’« cpw 4606   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  β„*cxr 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-xr 11290
This theorem is referenced by:  ixxss1  13382  ixxss2  13383  ixxss12  13384  elioo3g  13393  elicore  13416  iccss2  13435  iccssico2  13438  xrtgioo  24742  ftc1anclem7  37205  ftc1anclem8  37206  ftc1anc  37207  eliocre  44923  lbioc  44927
  Copyright terms: Public domain W3C validator