MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixx3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elixx3g 13278
Description: Membership in a set of open intervals of extended reals. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝐴 ∈ ℝ* and 𝐡 ∈ ℝ*. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
elixx3g (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elixx3g
StepHypRef Expression
1 anass 470 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡))))
2 df-3an 1090 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ 𝐢 ∈ ℝ*))
32anbi1i 625 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))
4 ixx.1 . . . . 5 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
54elixx1 13274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))
6 3anass 1096 . . . . 5 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡) ↔ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))
7 ibar 530 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))))
86, 7bitrid 283 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))))
95, 8bitrd 279 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))))
104ixxf 13275 . . . . . . 7 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
1110fdmi 6681 . . . . . 6 dom 𝑂 = (ℝ* Γ— ℝ*)
1211ndmov 7539 . . . . 5 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴𝑂𝐡) = βˆ…)
1312eleq2d 2824 . . . 4 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ 𝐢 ∈ βˆ…))
14 noel 4291 . . . . . 6 Β¬ 𝐢 ∈ βˆ…
1514pm2.21i 119 . . . . 5 (𝐢 ∈ βˆ… β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
16 simpl 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡))) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
1715, 16pm5.21ni 379 . . . 4 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ βˆ… ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))))
1813, 17bitrd 279 . . 3 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))))
199, 18pm2.61i 182 . 2 (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡))))
201, 3, 193bitr4ri 304 1 (𝐢 ∈ (𝐴𝑂𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐢 ∧ 𝐢𝑆𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  β„*cxr 11189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-xr 11194
This theorem is referenced by:  ixxss1  13283  ixxss2  13284  ixxss12  13285  elioo3g  13294  elicore  13317  iccss2  13336  iccssico2  13339  xrtgioo  24172  ftc1anclem7  36160  ftc1anclem8  36161  ftc1anc  36162  eliocre  43754  lbioc  43758
  Copyright terms: Public domain W3C validator