MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixx3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elixx3g 13400
Description: Membership in a set of open intervals of extended reals. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝐴 ∈ ℝ* and 𝐵 ∈ ℝ*. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
elixx3g (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elixx3g
StepHypRef Expression
1 anass 468 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))))
2 df-3an 1089 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
32anbi1i 624 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
4 ixx.1 . . . . 5 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
54elixx1 13396 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
6 3anass 1095 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
7 ibar 528 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))))
86, 7bitrid 283 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))))
95, 8bitrd 279 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))))
104ixxf 13397 . . . . . . 7 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
1110fdmi 6747 . . . . . 6 dom 𝑂 = (ℝ* × ℝ*)
1211ndmov 7617 . . . . 5 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = ∅)
1312eleq2d 2827 . . . 4 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ∅))
14 noel 4338 . . . . . 6 ¬ 𝐶 ∈ ∅
1514pm2.21i 119 . . . . 5 (𝐶 ∈ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
16 simpl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1715, 16pm5.21ni 377 . . . 4 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ∅ ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))))
1813, 17bitrd 279 . . 3 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))))
199, 18pm2.61i 182 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))))
201, 3, 193bitr4ri 304 1 (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   × cxp 5683  (class class class)co 7431  cmpo 7433  *cxr 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-xr 11299
This theorem is referenced by:  ixxss1  13405  ixxss2  13406  ixxss12  13407  elioo3g  13416  elicore  13439  iccss2  13458  iccssico2  13461  xrtgioo  24828  ftc1anclem7  37706  ftc1anclem8  37707  ftc1anc  37708  eliocre  45522  lbioc  45526
  Copyright terms: Public domain W3C validator