Theorem iocssicc 13438

Description: A closed-above, open-below interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iocssicc	⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem iocssicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioc 13351	. 2 ⊢ (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
2		df-icc 13353	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		xrltle 13148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		idd 24	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ≤ 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13360	1 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214  (,]cioc 13347  [,]cicc 13349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-ioc 13351  df-icc 13353

This theorem is referenced by:  xrge0iifcnv  34191  xrge0iifcv  34192  xrge0iifhom  34195  pnfneige0  34209  lmxrge0  34210  eliccelioc  46061  limcicciooub  46175  fourierdlem17  46662  fourierdlem35  46680  fourierdlem41  46686  fourierdlem48  46692  fourierdlem49  46693  fourierdlem51  46695  fourierdlem71  46715  fourierdlem102  46746  fourierdlem114  46758  sepfsepc  49513