MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocssicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocssicc 13412
Description: A closed-above, open-below interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
iocssicc (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem iocssicc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioc 13327 . 2 (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥𝑏)})
2 df-icc 13329 . 2 [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑥𝑥𝑏)})
3 xrltle 13126 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
4 idd 24 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝐵𝑤𝐵))
51, 2, 3, 4ixxssixx 13336 1 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wcel 2098  wss 3941   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  *cxr 11245   < clt 11246  cle 11247  (,]cioc 13323  [,]cicc 13325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-ioc 13327  df-icc 13329
This theorem is referenced by:  xrge0iifcnv  33405  xrge0iifcv  33406  xrge0iifhom  33409  pnfneige0  33423  lmxrge0  33424  eliccelioc  44744  limcicciooub  44863  fourierdlem17  45350  fourierdlem35  45368  fourierdlem41  45374  fourierdlem48  45380  fourierdlem49  45381  fourierdlem51  45383  fourierdlem71  45403  fourierdlem102  45434  fourierdlem114  45446  sepfsepc  47772
  Copyright terms: Public domain W3C validator