Theorem iocssicc 13455

Description: A closed-above, open-below interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iocssicc	⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem iocssicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioc 13368	. 2 ⊢ (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
2		df-icc 13370	. 2 ⊢ [,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏)})
3		xrltle 13165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		idd 25	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ≤ 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 13377	1 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  (,]cioc 13364  [,]cicc 13366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ioc 13368  df-icc 13370

This theorem is referenced by:  xrge0iifcnv  34240  xrge0iifcv  34241  xrge0iifhom  34244  pnfneige0  34258  lmxrge0  34259  eliccelioc  46095  limcicciooub  46209  fourierdlem17  46696  fourierdlem35  46714  fourierdlem41  46720  fourierdlem48  46726  fourierdlem49  46727  fourierdlem51  46729  fourierdlem71  46749  fourierdlem102  46780  fourierdlem114  46792  sepfsepc  49557