Theorem lanrcl3 49368

Description: Reverse closure for left Kan extensions. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lanrcl2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lanrcl3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))

Proof of Theorem lanrcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lanrcl2.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋)𝐴)
2		df-br 5118	. . . 4 ⊢ (𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋))
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋))
4		lanrcl 49357	. . 3 ⊢ (⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸)))
6	5	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4605   class class class wbr 5117  (class class class)co 7400   Func cfunc 17854  Lanclan 49343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-id 5546  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-lan 49345

This theorem is referenced by: (None)