Theorem lanrcl4 50962

Description: The first component of a left Kan extension is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lanrcl2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lanrcl4	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))

Proof of Theorem lanrcl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lanrcl2.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴)
2		df-br 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐸) = (𝐶 FuncCat 𝐸)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)
7	4, 5, 6	islan 50953	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
8	3, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
9		df-br 5107	. . . 4 ⊢ (𝐿((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
11	10	up1st2nd 50446	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿(⟨(1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)), (2nd ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))⟩((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
12	4	fucbas 18153	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
13	11, 12	uprcl4 50452	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  1^st c1st 8009  2^nd c2nd 8010   Func cfunc 18044   FuncCat cfuc 18135   UP cup 50434   −∘_F cprcof 50653   Lan clan 50933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-hom 17467  df-cco 17468  df-func 18048  df-fuc 18137  df-up 50435  df-lan 50935

This theorem is used by:  lanrcl5  50963