Theorem lanrcl4 50488

Description: The first component of a left Kan extension is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lanrcl2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lanrcl4	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))

Proof of Theorem lanrcl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lanrcl2.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴)
2		df-br 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
4		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
5		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐸) = (𝐶 FuncCat 𝐸)
6		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)
7	4, 5, 6	islan 50479	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
8	3, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
9		df-br 5112	. . . 4 ⊢ (𝐿((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
11	10	up1st2nd 50039	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿(⟨(1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)), (2nd ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))⟩((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
12	4	fucbas 18046	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
13	11, 12	uprcl4 50045	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1^st c1st 7990  2^nd c2nd 7991   Func cfunc 17937   FuncCat cfuc 18028   UP cup 50027   −∘_F cprcof 50227   Lan clan 50459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-hom 17360  df-cco 17361  df-func 17941  df-fuc 18030  df-up 50028  df-lan 50461

This theorem is used by:  lanrcl5  50489