Theorem lanrcl4 50452

Description: The first component of a left Kan extension is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lanrcl2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lanrcl4	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))

Proof of Theorem lanrcl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lanrcl2.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴)
2		df-br 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
4		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
5		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐸) = (𝐶 FuncCat 𝐸)
6		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)
7	4, 5, 6	islan 50443	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
8	3, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
9		df-br 5115	. . . 4 ⊢ (𝐿((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
11	10	up1st2nd 50003	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿(⟨(1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)), (2nd ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))⟩((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
12	4	fucbas 18045	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
13	11, 12	uprcl4 50009	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1^st c1st 7993  2^nd c2nd 7994   Func cfunc 17936   FuncCat cfuc 18027   UP cup 49991   −∘_F cprcof 50191   Lan clan 50423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-hom 17359  df-cco 17360  df-func 17940  df-fuc 18029  df-up 49992  df-lan 50425

This theorem is used by:  lanrcl5  50453