Theorem lanrcl4 50440

Description: The first component of a left Kan extension is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lanrcl2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lanrcl4	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))

Proof of Theorem lanrcl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lanrcl2.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴)
2		df-br 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐸) = (𝐶 FuncCat 𝐸)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)
7	4, 5, 6	islan 50431	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
8	3, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
9		df-br 5110	. . . 4 ⊢ (𝐿((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ ((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
11	10	up1st2nd 49991	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿(⟨(1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)), (2nd ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))⟩((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
12	4	fucbas 18024	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
13	11, 12	uprcl4 49997	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981   Func cfunc 17915   FuncCat cfuc 18006   UP cup 49979   −∘_F cprcof 50179   Lan clan 50411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-hom 17338  df-cco 17339  df-func 17919  df-fuc 18008  df-up 49980  df-lan 50413

This theorem is used by:  lanrcl5  50441