Theorem ldillaut 41275

Description: A lattice dilation is an automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldillaut.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldillaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
ldillaut.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ldillaut	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ldillaut

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ldillaut.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ldillaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
5		ldillaut.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	isldil 41274	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹‘𝑥) = 𝑥))))
7	6	simprbda 504	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  lecple 17442  LHypclh 41148  LAutclaut 41149  LDilcldil 41264

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ldil 41268

This theorem is used by:  ldil1o  41276  ldilcnv  41279  ldilco  41280  ltrnlaut  41287