Theorem ldillaut 41148

Description: A lattice dilation is an automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldillaut.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldillaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
ldillaut.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ldillaut	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ldillaut

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ldillaut.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ldillaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
5		ldillaut.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	isldil 41147	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹‘𝑥) = 𝑥))))
7	6	simprbda 504	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  lecple 17428  LHypclh 41021  LAutclaut 41022  LDilcldil 41137

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ldil 41141

This theorem is used by:  ldil1o  41149  ldilcnv  41152  ldilco  41153  ltrnlaut  41160