Theorem ldillaut 40603

Description: A lattice dilation is an automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldillaut.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldillaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
ldillaut.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ldillaut	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ldillaut

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ldillaut.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ldillaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
5		ldillaut.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	isldil 40602	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹‘𝑥) = 𝑥))))
7	6	simprbda 499	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  lecple 17218  LHypclh 40476  LAutclaut 40477  LDilcldil 40592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ldil 40596

This theorem is referenced by:  ldil1o  40604  ldilcnv  40607  ldilco  40608  ltrnlaut  40615