Theorem ldillaut 40943

Description: A lattice dilation is an automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldillaut.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldillaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
ldillaut.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ldillaut	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ldillaut

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ldillaut.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ldillaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
5		ldillaut.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	isldil 40942	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹‘𝑥) = 𝑥))))
7	6	simprbda 504	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  lecple 17339  LHypclh 40816  LAutclaut 40817  LDilcldil 40932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ldil 40936

This theorem is used by:  ldil1o  40944  ldilcnv  40947  ldilco  40948  ltrnlaut  40955