Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldilco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldilco 35925
Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldilco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldilco.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ldilco (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝐺) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem ldilco
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1239 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐾𝑉)
2 ldilco.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2771 . . . . 5 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ldilco.d . . . . 5 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ldillaut 35920 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
653adant3 1126 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
72, 3, 4ldillaut 35920 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝐷) → 𝐺 ∈ (LAut‘𝐾))
873adant2 1125 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺 ∈ (LAut‘𝐾))
93lautco 35906 . . 3 ((𝐾𝑉𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (LAut‘𝐾)) → (𝐹𝐺) ∈ (LAut‘𝐾))
101, 6, 8, 9syl3anc 1476 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝐺) ∈ (LAut‘𝐾))
11 simp11 1245 . . . . . . . 8 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾𝑉𝑊𝐻))
12 simp13 1247 . . . . . . . 8 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐺𝐷)
13 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 2, 4ldil1o 35921 . . . . . . . 8 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝐷) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
1511, 12, 14syl2anc 573 . . . . . . 7 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16 f1of 6279 . . . . . . 7 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
18 simp2 1131 . . . . . 6 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
19 fvco3 6419 . . . . . 6 ((𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
2017, 18, 19syl2anc 573 . . . . 5 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
21 simp3 1132 . . . . . . 7 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
22 eqid 2771 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2313, 22, 2, 4ldilval 35922 . . . . . . 7 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝐷 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐺𝑥) = 𝑥)
2411, 12, 18, 21, 23syl112anc 1480 . . . . . 6 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐺𝑥) = 𝑥)
2524fveq2d 6337 . . . . 5 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
26 simp12 1246 . . . . . 6 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹𝐷)
2713, 22, 2, 4ldilval 35922 . . . . . 6 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
2811, 26, 18, 21, 27syl112anc 1480 . . . . 5 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
2920, 25, 283eqtrd 2809 . . . 4 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = 𝑥)
30293exp 1112 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = 𝑥)))
3130ralrimiv 3114 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = 𝑥))
3213, 22, 2, 3, 4isldil 35919 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → ((𝐹𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝐺) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = 𝑥))))
33323ad2ant1 1127 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝐺) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = 𝑥))))
3410, 31, 33mpbir2and 692 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061   class class class wbr 4787  ccom 5254  wf 6026  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  Basecbs 16064  lecple 16156  LHypclh 35793  LAutclaut 35794  LDilcldil 35909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-laut 35798  df-ldil 35913
This theorem is referenced by:  ltrnco  36529
  Copyright terms: Public domain W3C validator