Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldil1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldil1o 40094
Description: A lattice dilation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldil1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ldil1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldil1o.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ldil1o (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem ldil1o
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐾𝑉)
2 ldil1o.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2734 . . 3 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ldil1o.d . . 3 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ldillaut 40093 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6 ldil1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
76, 3laut1o 40067 . 2 ((𝐾𝑉𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
81, 5, 7syl2anc 584 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  Basecbs 17244  LHypclh 39966  LAutclaut 39967  LDilcldil 40082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8866  df-laut 39971  df-ldil 40086
This theorem is referenced by:  ldilcnv  40097  ldilco  40098
  Copyright terms: Public domain W3C validator