Theorem ldil1o 40114

Description: A lattice dilation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldil1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ldil1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldil1o.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ldil1o	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem ldil1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ldil1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ldil1o.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ldillaut 40113	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6		ldil1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7	6, 3	laut1o 40087	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
8	1, 5, 7	syl2anc 584	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  LHypclh 39986  LAutclaut 39987  LDilcldil 40102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-laut 39991  df-ldil 40106

This theorem is referenced by:  ldilcnv  40117  ldilco  40118