Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldil1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldil1o 39477
Description: A lattice dilation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldil1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ldil1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldil1o.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ldil1o (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem ldil1o
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐾𝑉)
2 ldil1o.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2724 . . 3 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ldil1o.d . . 3 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ldillaut 39476 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6 ldil1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
76, 3laut1o 39450 . 2 ((𝐾𝑉𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
81, 5, 7syl2anc 583 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  1-1-ontowf1o 6533  cfv 6534  Basecbs 17145  LHypclh 39349  LAutclaut 39350  LDilcldil 39465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-laut 39354  df-ldil 39469
This theorem is referenced by:  ldilcnv  39480  ldilco  39481
  Copyright terms: Public domain W3C validator