Theorem ldil1o 40130

Description: A lattice dilation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldil1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ldil1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldil1o.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ldil1o	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem ldil1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ldil1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ldil1o.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ldillaut 40129	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6		ldil1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7	6, 3	laut1o 40103	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
8	1, 5, 7	syl2anc 584	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  –1-1-onto→wf1o 6476  ‘cfv 6477  Basecbs 17112  LHypclh 40002  LAutclaut 40003  LDilcldil 40118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-map 8747  df-laut 40007  df-ldil 40122

This theorem is referenced by:  ldilcnv  40133  ldilco  40134