Theorem ldilcnv 40098

Description: The converse of a lattice dilation is a lattice dilation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldilcnv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldilcnv.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ldilcnv	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ◡𝐹 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem ldilcnv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ HL)
2		ldilcnv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ldilcnv.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ldillaut 40094	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6	3	lautcnv 40073	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → ◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
8		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	8, 9, 2, 4	ldilval 40096	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
11	10	3expa 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
12	11	3impb 1114	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
13	12	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (◡𝐹‘𝑥))
14	8, 2, 4	ldil1o 40095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15	14	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
17		f1ocnvfv1 7296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
19	13, 18	eqtr3d 2777	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥)
20	19	3exp 1118	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥)))
21	20	ralrimiv 3143	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥))
22	8, 9, 2, 3, 4	isldil 40093	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥))))
23	22	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (◡𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥))))
24	7, 21, 23	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ◡𝐹 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5688  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LAutclaut 39968  LDilcldil 40083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-laut 39972  df-ldil 40087

This theorem is referenced by:  ltrncnv  40129