Theorem ldilcnv 38651

Description: The converse of a lattice dilation is a lattice dilation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldilcnv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldilcnv.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ldilcnv	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ◡𝐹 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem ldilcnv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ HL)
2		ldilcnv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ldilcnv.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ldillaut 38647	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6	3	lautcnv 38626	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → ◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
8		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	8, 9, 2, 4	ldilval 38649	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
11	10	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
12	11	3impb 1115	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
13	12	fveq2d 6851	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (◡𝐹‘𝑥))
14	8, 2, 4	ldil1o 38648	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
17		f1ocnvfv1 7227	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
19	13, 18	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥)
20	19	3exp 1119	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥)))
21	20	ralrimiv 3138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥))
22	8, 9, 2, 3, 4	isldil 38646	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥))))
23	22	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (◡𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥))))
24	7, 21, 23	mpbir2and 711	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ◡𝐹 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5637  –1-1-onto→wf1o 6500  ‘cfv 6501  Basecbs 17094  lecple 17154  HLchlt 37885  LHypclh 38520  LAutclaut 38521  LDilcldil 38636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-laut 38525  df-ldil 38640

This theorem is referenced by:  ltrncnv  38682