Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldilcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldilcnv 37357
Description: The converse of a lattice dilation is a lattice dilation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldilcnv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldilcnv.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ldilcnv (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹𝐷)

Proof of Theorem ldilcnv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐾 ∈ HL)
2 ldilcnv.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2824 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ldilcnv.d . . . 4 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ldillaut 37353 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
63lautcnv 37332 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
71, 5, 6syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
8 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
108, 9, 2, 4ldilval 37355 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
11103expa 1115 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
12113impb 1112 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
1312fveq2d 6666 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
148, 2, 4ldil1o 37354 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15143ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16 simp2 1134 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
17 f1ocnvfv1 7026 . . . . . 6 ((𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
1815, 16, 17syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
1913, 18eqtr3d 2861 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
20193exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
2120ralrimiv 3176 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥))
228, 9, 2, 3, 4isldil 37352 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
2322adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
247, 21, 23mpbir2and 712 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133   class class class wbr 5053  ccnv 5542  1-1-ontowf1o 6343  cfv 6344  Basecbs 16486  lecple 16575  HLchlt 36592  LHypclh 37226  LAutclaut 37227  LDilcldil 37342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8405  df-laut 37231  df-ldil 37346
This theorem is referenced by:  ltrncnv  37388
  Copyright terms: Public domain W3C validator