Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldilcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldilcnv 37131
Description: The converse of a lattice dilation is a lattice dilation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldilcnv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldilcnv.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ldilcnv (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹𝐷)

Proof of Theorem ldilcnv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐾 ∈ HL)
2 ldilcnv.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2818 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ldilcnv.d . . . 4 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ldillaut 37127 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
63lautcnv 37106 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
71, 5, 6syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
8 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
108, 9, 2, 4ldilval 37129 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
11103expa 1110 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
12113impb 1107 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
1312fveq2d 6667 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
148, 2, 4ldil1o 37128 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15143ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16 simp2 1129 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
17 f1ocnvfv1 7024 . . . . . 6 ((𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
1913, 18eqtr3d 2855 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
20193exp 1111 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
2120ralrimiv 3178 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥))
228, 9, 2, 3, 4isldil 37126 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
2322adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
247, 21, 23mpbir2and 709 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135   class class class wbr 5057  ccnv 5547  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LAutclaut 37001  LDilcldil 37116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-laut 37005  df-ldil 37120
This theorem is referenced by:  ltrncnv  37162
  Copyright terms: Public domain W3C validator