Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnlaut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnlaut 40106
Description: A lattice translation is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnlaut.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnlaut.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
ltrnlaut.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnlaut (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝐼)

Proof of Theorem ltrnlaut
StepHypRef Expression
1 ltrnlaut.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2735 . . 3 ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3 ltrnlaut.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3ltrnldil 40105 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
5 ltrnlaut.i . . 3 𝐼 = (LAut‘𝐾)
61, 5, 2ldillaut 40094 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹𝐼)
74, 6syldan 591 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  LHypclh 39967  LAutclaut 39968  LDilcldil 40083  LTrncltrn 40084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-ldil 40087  df-ltrn 40088
This theorem is referenced by:  ltrn1o  40107  ltrncl  40108  ltrn11  40109  ltrnle  40112  ltrncnvleN  40113  ltrnm  40114  ltrnj  40115  ltrncvr  40116  ltrnid  40118  ltrneq2  40131
  Copyright terms: Public domain W3C validator