Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnlaut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnlaut 39507
Description: A lattice translation is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnlaut.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrnlaut.i 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
ltrnlaut.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrnlaut (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ltrnlaut
StepHypRef Expression
1 ltrnlaut.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 eqid 2726 . . 3 ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 ltrnlaut.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3ltrnldil 39506 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5 ltrnlaut.i . . 3 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
61, 5, 2ldillaut 39495 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
74, 6syldan 590 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  LHypclh 39368  LAutclaut 39369  LDilcldil 39484  LTrncltrn 39485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-ldil 39488  df-ltrn 39489
This theorem is referenced by:  ltrn1o  39508  ltrncl  39509  ltrn11  39510  ltrnle  39513  ltrncnvleN  39514  ltrnm  39515  ltrnj  39516  ltrncvr  39517  ltrnid  39519  ltrneq2  39532
  Copyright terms: Public domain W3C validator