Theorem ltrnlaut 38179

Description: A lattice translation is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnlaut.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnlaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
ltrnlaut.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnlaut	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ltrnlaut

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnlaut.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3		ltrnlaut.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	ltrnldil 38178	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
5		ltrnlaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
6	1, 5, 2	ldillaut 38167	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
7	4, 6	syldan 592	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6458  LHypclh 38040  LAutclaut 38041  LDilcldil 38156  LTrncltrn 38157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-ldil 38160  df-ltrn 38161

This theorem is referenced by:  ltrn1o  38180  ltrncl  38181  ltrn11  38182  ltrnle  38185  ltrncnvleN  38186  ltrnm  38187  ltrnj  38188  ltrncvr  38189  ltrnid  38191  ltrneq2  38204