Theorem ltrnlaut 40499

Description: A lattice translation is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnlaut.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnlaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
ltrnlaut.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnlaut	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ltrnlaut

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnlaut.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3		ltrnlaut.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	ltrnldil 40498	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
5		ltrnlaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
6	1, 5, 2	ldillaut 40487	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
7	4, 6	syldan 592	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  LHypclh 40360  LAutclaut 40361  LDilcldil 40476  LTrncltrn 40477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-ldil 40480  df-ltrn 40481

This theorem is referenced by:  ltrn1o  40500  ltrncl  40501  ltrn11  40502  ltrnle  40505  ltrncnvleN  40506  ltrnm  40507  ltrnj  40508  ltrncvr  40509  ltrnid  40511  ltrneq2  40524