Theorem ltrnlaut 40295

Description: A lattice translation is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnlaut.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnlaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
ltrnlaut.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnlaut	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ltrnlaut

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnlaut.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3		ltrnlaut.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	ltrnldil 40294	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
5		ltrnlaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
6	1, 5, 2	ldillaut 40283	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
7	4, 6	syldan 591	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  LHypclh 40156  LAutclaut 40157  LDilcldil 40272  LTrncltrn 40273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-ldil 40276  df-ltrn 40277

This theorem is referenced by:  ltrn1o  40296  ltrncl  40297  ltrn11  40298  ltrnle  40301  ltrncnvleN  40302  ltrnm  40303  ltrnj  40304  ltrncvr  40305  ltrnid  40307  ltrneq2  40320