Theorem lelttric 11257

Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lelttric	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 896	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)
2		lenlt 11228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	2	orbi1d 916	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
4	1, 3	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝcr 11043   < clt 11184   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-xr 11188  df-le 11190

This theorem is referenced by:  ltlecasei  11258  fzsplit2  13486  uzsplit  13533  fzospliti  13628  fzouzsplit  13631  discr1  14180  faclbnd  14231  faclbnd4lem1  14234  faclbnd4lem4  14237  dvdslelem  16255  dvdsprmpweqle  16833  icccmplem2  24745  icccmp  24747  bcmono  27221  bpos1lem  27226  bposlem3  27230  bpos  27237  fzsplit3  32766  submateq  33792  lzunuz  42749  jm2.24  42945  fzuntgd  43440  iccpartnel  47432  bgoldbtbnd  47803  tgoldbach  47811  reorelicc  48692