Theorem lelttric 11397

Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lelttric	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 895	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)
2		lenlt 11368	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	2	orbi1d 915	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
4	1, 3	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-xr 11328  df-le 11330

This theorem is referenced by:  ltlecasei  11398  fzsplit2  13609  uzsplit  13656  fzospliti  13748  fzouzsplit  13751  discr1  14288  faclbnd  14339  faclbnd4lem1  14342  faclbnd4lem4  14345  dvdslelem  16357  dvdsprmpweqle  16933  icccmplem2  24864  icccmp  24866  bcmono  27339  bpos1lem  27344  bposlem3  27348  bpos  27355  fzsplit3  32799  submateq  33755  lzunuz  42724  jm2.24  42920  fzuntgd  43420  iccpartnel  47312  bgoldbtbnd  47683  tgoldbach  47691  reorelicc  48444