MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttric Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lelttric 11321
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
lelttric ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lelttric
StepHypRef Expression
1 pm2.1 896 . 2 𝐵 < 𝐴𝐵 < 𝐴)
2 lenlt 11292 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
32orbi1d 916 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴𝐵 < 𝐴)))
41, 3mpbiri 258 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846  wcel 2107   class class class wbr 5149  cr 11109   < clt 11248  cle 11249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-xr 11252  df-le 11254
This theorem is referenced by:  ltlecasei  11322  fzsplit2  13526  uzsplit  13573  fzospliti  13664  fzouzsplit  13667  discr1  14202  faclbnd  14250  faclbnd4lem1  14253  faclbnd4lem4  14256  dvdslelem  16252  dvdsprmpweqle  16819  icccmplem2  24339  icccmp  24341  bcmono  26780  bpos1lem  26785  bposlem3  26789  bpos  26796  fzsplit3  32005  submateq  32789  lzunuz  41506  jm2.24  41702  fzuntgd  42209  iccpartnel  46106  bgoldbtbnd  46477  tgoldbach  46485  reorelicc  47396
  Copyright terms: Public domain W3C validator