MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttric Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lelttric 10747
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
lelttric ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lelttric
StepHypRef Expression
1 pm2.1 894 . 2 𝐵 < 𝐴𝐵 < 𝐴)
2 lenlt 10719 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
32orbi1d 914 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴𝐵 < 𝐴)))
41, 3mpbiri 261 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844  wcel 2115   class class class wbr 5053  cr 10536   < clt 10675  cle 10676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-v 3482  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-br 5054  df-opab 5116  df-xp 5549  df-cnv 5551  df-xr 10679  df-le 10681
This theorem is referenced by:  ltlecasei  10748  fzsplit2  12938  uzsplit  12985  fzospliti  13075  fzouzsplit  13078  discr1  13607  faclbnd  13657  faclbnd4lem1  13660  faclbnd4lem4  13663  dvdslelem  15661  dvdsprmpweqle  16222  icccmplem2  23437  icccmp  23439  bcmono  25870  bpos1lem  25875  bposlem3  25879  bpos  25886  fzsplit3  30538  submateq  31142  lzunuz  39653  jm2.24  39848  iccpartnel  43908  bgoldbtbnd  44280  tgoldbach  44288  reorelicc  45077
  Copyright terms: Public domain W3C validator