Theorem lelttric 11238

Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lelttric	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 896	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)
2		lenlt 11209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	2	orbi1d 916	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
4	1, 3	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ℝcr 11023   < clt 11164   ≤ cle 11165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-cnv 5630  df-xr 11168  df-le 11170

This theorem is referenced by:  ltlecasei  11239  fzsplit2  13463  uzsplit  13510  fzospliti  13605  fzouzsplit  13608  discr1  14160  faclbnd  14211  faclbnd4lem1  14214  faclbnd4lem4  14217  dvdslelem  16234  dvdsprmpweqle  16812  icccmplem2  24766  icccmp  24768  bcmono  27242  bpos1lem  27247  bposlem3  27251  bpos  27258  fzsplit3  32822  submateq  33915  lzunuz  42952  jm2.24  43147  fzuntgd  43641  iccpartnel  47626  bgoldbtbnd  47997  tgoldbach  48005  reorelicc  48898