Theorem lelttric 11342

Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lelttric	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 910	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)
2		lenlt 11313	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	2	orbi1d 930	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
4	1, 3	mpbiri 261	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ℝcr 11124   < clt 11268   ≤ cle 11269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-xr 11272  df-le 11274

This theorem is used by:  ltlecasei  11343  fzsplit2  13604  uzsplit  13651  fzospliti  13747  fzouzsplit  13750  discr1  14303  faclbnd  14354  faclbnd4lem1  14357  faclbnd4lem4  14360  dvdslelem  16401  dvdsprmpweqle  16980  icccmplem2  25049  icccmp  25051  bcmono  27509  bpos1lem  27514  bposlem3  27518  bpos  27525  fzsplit3  33249  submateq  34304  lzunuz  43598  jm2.24  43789  fzuntgd  44283  iccpartnel  48323  bgoldbtbnd  48710  tgoldbach  48718  reorelicc  49625