Theorem lelttric 11347

Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lelttric	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 896	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)
2		lenlt 11318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	2	orbi1d 916	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
4	1, 3	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ℝcr 11133   < clt 11274   ≤ cle 11275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-xr 11278  df-le 11280

This theorem is referenced by:  ltlecasei  11348  fzsplit2  13571  uzsplit  13618  fzospliti  13713  fzouzsplit  13716  discr1  14262  faclbnd  14313  faclbnd4lem1  14316  faclbnd4lem4  14319  dvdslelem  16333  dvdsprmpweqle  16911  icccmplem2  24768  icccmp  24770  bcmono  27245  bpos1lem  27250  bposlem3  27254  bpos  27261  fzsplit3  32775  submateq  33845  lzunuz  42758  jm2.24  42954  fzuntgd  43449  iccpartnel  47419  bgoldbtbnd  47790  tgoldbach  47798  reorelicc  48657