MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmplem2 24209
Description: Lemma for icccmp 24211. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
icccmp.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
icccmp.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
icccmp.8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
icccmp.9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
icccmp.10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ π‘ˆ)
icccmp.11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
icccmp.12 (πœ‘ β†’ (𝐺(ballβ€˜π·)𝐢) βŠ† 𝑉)
icccmp.13 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
icccmp.14 𝑅 = if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡)
Assertion
Ref Expression
icccmplem2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   π‘₯,π‘ˆ,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐢(π‘₯,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑅(π‘₯,𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧)   𝐺(π‘₯,𝑧)   𝐽(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑧)

Proof of Theorem icccmplem2
Dummy variables 𝑑 𝑛 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.13 . . . . . . 7 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
2 icccmp.4 . . . . . . . . . 10 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
32ssrab3 4044 . . . . . . . . 9 𝑆 βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4 icccmp.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 icccmp.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6 iccssre 13355 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
74, 5, 6syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
83, 7sstrid 3959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ℝ)
9 icccmp.1 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
10 icccmp.2 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
11 icccmp.3 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
12 icccmp.7 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
13 icccmp.8 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
14 icccmp.9 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
159, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14icccmplem1 24208 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
1615simpld 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
1716ne0d 4299 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
1815simprd 497 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡)
19 brralrspcev 5169 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑛)
205, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑛)
218, 17, 20suprcld 12126 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
221, 21eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ℝ)
23 icccmp.11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
2423rphalfcld 12977 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ+)
2522, 24ltaddrpd 12998 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 < (𝐺 + (𝐢 / 2)))
2624rpred 12965 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ)
2722, 26readdcld 11192 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 + (𝐢 / 2)) ∈ ℝ)
2822, 27ltnled 11310 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 < (𝐺 + (𝐢 / 2)) ↔ Β¬ (𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐺))
2925, 28mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐺)
30 icccmp.14 . . . . . . . . . 10 𝑅 = if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡)
3127, 5ifcld 4536 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡) ∈ ℝ)
3230, 31eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
338, 17, 20, 16suprubd 12125 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ))
3433, 1breqtrrdi 5151 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐺)
3522, 27, 25ltled 11311 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ≀ (𝐺 + (𝐢 / 2)))
364, 22, 27, 34, 35letrd 11320 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ (𝐺 + (𝐢 / 2)))
37 breq2 5113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 + (𝐢 / 2)) = if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡) β†’ (𝐴 ≀ (𝐺 + (𝐢 / 2)) ↔ 𝐴 ≀ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡)))
38 breq2 5113 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 = if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ↔ 𝐴 ≀ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡)))
3937, 38ifboth 4529 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≀ (𝐺 + (𝐢 / 2)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ≀ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡))
4036, 12, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡))
4140, 30breqtrrdi 5151 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑅)
42 min2 13118 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 + (𝐢 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡) ≀ 𝐡)
4327, 5, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡) ≀ 𝐡)
4430, 43eqbrtrid 5144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 𝐡)
45 elicc2 13338 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ 𝐡)))
464, 5, 45syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ 𝐡)))
4732, 41, 44, 46mpbir3and 1343 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4822, 23ltsubrpd 12997 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝐺)
4948, 1breqtrdi 5150 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < sup(𝑆, ℝ, < ))
5023rpred 12965 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5122, 50resubcld 11591 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
52 suprlub 12127 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 βŠ† ℝ ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑛) ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ) β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐢) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣))
538, 17, 20, 51, 52syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐢) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣))
5449, 53mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)
55 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (𝐴[,]π‘₯) = (𝐴[,]𝑣))
5655sseq1d 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑧))
5756rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑧))
5857, 2elrab2 3652 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ 𝑆 ↔ (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑧))
59 unieq 4880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑀 β†’ βˆͺ 𝑧 = βˆͺ 𝑀)
6059sseq2d 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀))
6160cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀)
62 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin))
63 elin 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ↔ (𝑀 ∈ 𝒫 π‘ˆ ∧ 𝑀 ∈ Fin))
6462, 63sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝑀 ∈ 𝒫 π‘ˆ ∧ 𝑀 ∈ Fin))
6564simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ 𝒫 π‘ˆ)
6665elpwid 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ 𝑀 βŠ† π‘ˆ)
67 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ πœ‘)
68 icccmp.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ π‘ˆ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ 𝑉 ∈ π‘ˆ)
7069snssd 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ {𝑉} βŠ† π‘ˆ)
7166, 70unssd 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑉}) βŠ† π‘ˆ)
72 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑀 ∈ V
73 snex 5392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑉} ∈ V
7472, 73unex 7684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 βˆͺ {𝑉}) ∈ V
7574elpw 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 βˆͺ {𝑉}) ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ (𝑀 βˆͺ {𝑉}) βŠ† π‘ˆ)
7671, 75sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑉}) ∈ 𝒫 π‘ˆ)
7764simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
78 snfi 8994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑉} ∈ Fin
79 unfi 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ Fin ∧ {𝑉} ∈ Fin) β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑉}) ∈ Fin)
8077, 78, 79sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑉}) ∈ Fin)
8176, 80elind 4158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑉}) ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin))
82 simplr2 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)) β†’ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀)
83 ssun1 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 βˆͺ 𝑀 βŠ† (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉)
8482, 83sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)) β†’ (𝐴[,]𝑣) βŠ† (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉))
8567, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8667, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
87 elicc2 13338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅)))
8885, 86, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅)))
8988biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅)) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅))
9089simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
9190adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
9289simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑑)
9392adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑑)
94 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)) β†’ 𝑑 ≀ 𝑣)
9567, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
96 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))
9795, 96sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
98 elicc2 13338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)))
9985, 97, 98syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)))
10099adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)))
10191, 93, 94, 100mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑣))
10284, 101sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑑 ≀ 𝑣)) β†’ 𝑑 ∈ (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉))
103102expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅)) β†’ (𝑑 ≀ 𝑣 β†’ 𝑑 ∈ (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉)))
10467adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ πœ‘)
105 icccmp.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝐺(ballβ€˜π·)𝐢) βŠ† 𝑉)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ (𝐺(ballβ€˜π·)𝐢) βŠ† 𝑉)
10790adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
108104, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
10997adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
110 simplr3 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)
111 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑣 < 𝑑)
112108, 109, 107, 110, 111lttrd 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑑)
113104, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
11422, 50readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (𝐺 + 𝐢) ∈ ℝ)
115104, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ (𝐺 + 𝐢) ∈ ℝ)
11689simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅)) β†’ 𝑑 ≀ 𝑅)
117116adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑑 ≀ 𝑅)
118 min1 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐺 + (𝐢 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡) ≀ (𝐺 + (𝐢 / 2)))
11927, 5, 118syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡) ≀ (𝐺 + (𝐢 / 2)))
12030, 119eqbrtrid 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ (𝐺 + (𝐢 / 2)))
121 rphalflt 12952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ (𝐢 / 2) < 𝐢)
12223, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 2) < 𝐢)
12326, 50, 22, 122ltadd2dd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (𝐺 + (𝐢 / 2)) < (𝐺 + 𝐢))
12432, 27, 114, 120, 123lelttrd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝑅 < (𝐺 + 𝐢))
125104, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑅 < (𝐺 + 𝐢))
126107, 113, 115, 117, 125lelttrd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑑 < (𝐺 + 𝐢))
127 rexr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ*)
128 rexr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 + 𝐢) ∈ ℝ β†’ (𝐺 + 𝐢) ∈ ℝ*)
129 elioo2 13314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 + 𝐢) ∈ ℝ*) β†’ (𝑑 ∈ ((𝐺 βˆ’ 𝐢)(,)(𝐺 + 𝐢)) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑑 ∧ 𝑑 < (𝐺 + 𝐢))))
130127, 128, 129syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐺 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ ∧ (𝐺 + 𝐢) ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ ((𝐺 βˆ’ 𝐢)(,)(𝐺 + 𝐢)) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑑 ∧ 𝑑 < (𝐺 + 𝐢))))
131108, 115, 130syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ (𝑑 ∈ ((𝐺 βˆ’ 𝐢)(,)(𝐺 + 𝐢)) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑑 ∧ 𝑑 < (𝐺 + 𝐢))))
132107, 112, 126, 131mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑑 ∈ ((𝐺 βˆ’ 𝐢)(,)(𝐺 + 𝐢)))
133104, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝐺 ∈ ℝ)
134104, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
135134rpred 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
13611bl2ioo 24178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ (𝐺(ballβ€˜π·)𝐢) = ((𝐺 βˆ’ 𝐢)(,)(𝐺 + 𝐢)))
137133, 135, 136syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ (𝐺(ballβ€˜π·)𝐢) = ((𝐺 βˆ’ 𝐢)(,)(𝐺 + 𝐢)))
138132, 137eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐺(ballβ€˜π·)𝐢))
139106, 138sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑉)
140 elun2 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ 𝑑 ∈ (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑑)) β†’ 𝑑 ∈ (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉))
142141expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅)) β†’ (𝑣 < 𝑑 β†’ 𝑑 ∈ (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉)))
14397adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
144 lelttric 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ≀ 𝑣 ∨ 𝑣 < 𝑑))
14590, 143, 144syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅)) β†’ (𝑑 ≀ 𝑣 ∨ 𝑣 < 𝑑))
146103, 142, 145mpjaod 859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅)) β†’ 𝑑 ∈ (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉))
147146ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝑅) β†’ 𝑑 ∈ (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉)))
148147ssrdv 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝐴[,]𝑅) βŠ† (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉))
149 uniun 4895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ (𝑀 βˆͺ {𝑉}) = (βˆͺ 𝑀 βˆͺ βˆͺ {𝑉})
150 unisng 4890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉 ∈ π‘ˆ β†’ βˆͺ {𝑉} = 𝑉)
15169, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ βˆͺ {𝑉} = 𝑉)
152151uneq2d 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (βˆͺ 𝑀 βˆͺ βˆͺ {𝑉}) = (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉))
153149, 152eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ βˆͺ (𝑀 βˆͺ {𝑉}) = (βˆͺ 𝑀 βˆͺ 𝑉))
154148, 153sseqtrrd 3989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ (𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ (𝑀 βˆͺ {𝑉}))
155 unieq 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑀 βˆͺ {𝑉}) β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ (𝑀 βˆͺ {𝑉}))
156155sseq2d 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑀 βˆͺ {𝑉}) β†’ ((𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ (𝑀 βˆͺ {𝑉})))
157156rspcev 3583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 βˆͺ {𝑉}) ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ (𝑀 βˆͺ {𝑉})) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦)
15881, 154, 157syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 ∧ (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦)
1591583exp2 1355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) β†’ ((𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦))))
160159rexlimdv 3147 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑀 β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦)))
16161, 160biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑧 β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦)))
162161expimpd 455 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑧) β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦)))
16358, 162biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦)))
164163rexlimdv 3147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐺 βˆ’ 𝐢) < 𝑣 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦))
16554, 164mpd 15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦)
166 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑅 β†’ (𝐴[,]𝑣) = (𝐴[,]𝑅))
167166sseq1d 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑅 β†’ ((𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦))
168167rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦))
169 unieq 4880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 β†’ βˆͺ 𝑧 = βˆͺ 𝑦)
170169sseq2d 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑦))
171170cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑦)
17257, 171bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑦))
173172cbvrabv 3416 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧} = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑦}
1742, 173eqtri 2761 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) βŠ† βˆͺ 𝑦}
175168, 174elrab2 3652 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝑆 ↔ (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑦))
17647, 165, 175sylanbrc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
1778, 17, 20, 176suprubd 12125 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ))
178177, 1breqtrrdi 5151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 𝐺)
179 iftrue 4496 . . . . . . 7 ((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡 β†’ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡) = (𝐺 + (𝐢 / 2)))
18030, 179eqtrid 2785 . . . . . 6 ((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡 β†’ 𝑅 = (𝐺 + (𝐢 / 2)))
181180breq1d 5119 . . . . 5 ((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡 β†’ (𝑅 ≀ 𝐺 ↔ (𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐺))
182178, 181syl5ibcom 244 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡 β†’ (𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐺))
18329, 182mtod 197 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡)
184 iffalse 4499 . . . 4 (Β¬ (𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡 β†’ if((𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡, (𝐺 + (𝐢 / 2)), 𝐡) = 𝐡)
18530, 184eqtrid 2785 . . 3 (Β¬ (𝐺 + (𝐢 / 2)) ≀ 𝐡 β†’ 𝑅 = 𝐡)
186183, 185syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = 𝐡)
187186, 176eqeltrrd 2835 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„cr 11058   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  abscabs 15128   β†Ύt crest 17310  topGenctg 17327  ballcbl 20806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814
This theorem is referenced by:  icccmplem3  24210
  Copyright terms: Public domain W3C validator