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Theorem icccmplem2 24949

Description: Lemma for icccmp 24951. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
icccmp.10	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
icccmp.11	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
icccmp.12	⊢ (𝜑 → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
icccmp.13	⊢ 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
icccmp.14	⊢ 𝑅 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
icccmplem2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑧,𝐵 𝑥,𝐴,𝑧 𝑥,𝐷 𝑥,𝑇,𝑧 𝑧,𝐽 𝑥,𝑈,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑧) 𝐶(𝑥,𝑧) 𝐷(𝑧) 𝑅(𝑥,𝑧) 𝑆(𝑥,𝑧) 𝐺(𝑥,𝑧) 𝐽(𝑥) 𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem icccmplem2 Dummy variables 𝑡 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.13	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
2		icccmp.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
3	2	ssrab3 4044	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4		icccmp.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		icccmp.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		iccssre 13455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	3, 7	sstrid 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
9		icccmp.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10		icccmp.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵))
11		icccmp.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12		icccmp.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		icccmp.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
14		icccmp.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
15	9, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14	icccmplem1 24948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
16	15	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
17	16	ne0d 4303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
18	15	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
19		brralrspcev 5175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑛)
20	5, 18, 19	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑛)
21	8, 17, 20	suprcld 12177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	1, 21	eqeltrid 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
23		icccmp.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
24	23	rphalfcld 13071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ⁺)
25	22, 24	ltaddrpd 13092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 < (𝐺 + (𝐶 / 2)))
26	24	rpred 13059	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
27	22, 26	readdcld 11237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
28	22, 27	ltnled 11356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 < (𝐺 + (𝐶 / 2)) ↔ ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
29	25, 28	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺)
30		icccmp.14	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)
31	27, 5	ifcld 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ∈ ℝ)
32	30, 31	eqeltrid 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
33	8, 17, 20, 16	suprubd 12176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
34	33, 1	breqtrrdi 5157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐺)
35	22, 27, 25	ltled 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
36	4, 22, 27, 34, 35	letrd 11366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
37		breq2 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 + (𝐶 / 2)) = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ↔ 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)))
38		breq2 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)))
39	37, 38	ifboth 4532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵))
40	36, 12, 39	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵))
41	40, 30	breqtrrdi 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑅)
42		min2 13215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ 𝐵)
43	27, 5, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ 𝐵)
44	30, 43	eqbrtrid 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
45		elicc2 13437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ 𝐵)))
46	4, 5, 45	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ 𝐵)))
47	32, 41, 44, 46	mpbir3and 1359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵))
48	22, 23	ltsubrpd 13091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐶) < 𝐺)
49	48, 1	breqtrdi 5156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ))
50	23	rpred 13059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
51	22, 50	resubcld 11641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ)
52		suprlub 12178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑛) ∧ (𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐺 − 𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝐺 − 𝐶) < 𝑣))
53	8, 17, 20, 51, 52	syl31anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝐺 − 𝐶) < 𝑣))
54	49, 53	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)
55		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝑣))
56	55	sseq1d 3976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧))
57	56	rexbidv 3195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧))
58	57, 2	elrab2 3663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑆 ↔ (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧))
59		unieq 4887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ∪ 𝑧 = ∪ 𝑤)
60	59	sseq2d 3977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤))
61	60	cbvrexvw 3250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤)
62		simpr1 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
63		elin 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ 𝑤 ∈ Fin))
64	62, 63	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ 𝑤 ∈ Fin))
65	64	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
66	65	elpwid 4576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
67		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝜑)
68		icccmp.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑉 ∈ 𝑈)
70	69	snssd 4757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → {𝑉} ⊆ 𝑈)
71	66, 70	unssd 4153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ⊆ 𝑈)
72		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑤 ∈ V
73		snex 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑉} ∈ V
74	72, 73	unex 7742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ V
75	74	elpw 4571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑤 ∪ {𝑉}) ⊆ 𝑈)
76	71, 75	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ 𝒫 𝑈)
77	64	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ Fin)
78		snfi 9039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑉} ∈ Fin
79		unfi 9154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ {𝑉} ∈ Fin) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ Fin)
80	77, 78, 79	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ Fin)
81	76, 80	elind 4161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
82		simplr2 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤)
83		ssun1 4139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∪ 𝑤 ⊆ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉)
84	82, 83	sstrdi 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → (𝐴[,]𝑣) ⊆ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
85	67, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
86	67, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑅 ∈ ℝ)
87		elicc2 13437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
88	85, 86, 87	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
89	88	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅))
90	89	simp1d 1158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
91	90	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → 𝑡 ∈ ℝ)
92	89	simp2d 1159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝐴 ≤ 𝑡)
93	92	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → 𝐴 ≤ 𝑡)
94		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → 𝑡 ≤ 𝑣)
95	67, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
96		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵))
97	95, 96	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
98		elicc2 13437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)))
99	85, 97, 98	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)))
100	99	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)))
101	91, 93, 94, 100	mpbir3and 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣))
102	84, 101	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
103	102	expr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡 ≤ 𝑣 → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉)))
104	67	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝜑)
105		icccmp.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
106	104, 105	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
107	90	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℝ)
108	104, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ)
109	97	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑣 ∈ ℝ)
110		simplr3 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)
111		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑣 < 𝑡)
112	108, 109, 107, 110, 111	lttrd 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 − 𝐶) < 𝑡)
113	104, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑅 ∈ ℝ)
114	22, 50	readdcld 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ)
115	104, 114	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ)
116	89	simp3d 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ≤ 𝑅)
117	116	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ≤ 𝑅)
118		min1 13214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
119	27, 5, 118	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
120	30, 119	eqbrtrid 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
121		rphalflt 13046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ⁺ → (𝐶 / 2) < 𝐶)
122	23, 121	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) < 𝐶)
123	26, 50, 22, 122	ltadd2dd 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) < (𝐺 + 𝐶))
124	32, 27, 114, 120, 123	lelttrd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝐺 + 𝐶))
125	104, 124	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑅 < (𝐺 + 𝐶))
126	107, 113, 115, 117, 125	lelttrd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))
127		rexr 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ → (𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ^*)
128		rexr 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
129		elioo2 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ^* ∧ (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ^*) → (𝑡 ∈ ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
130	127, 128, 129	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
131	108, 115, 130	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝑡 ∈ ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
132	107, 112, 126, 131	mpbir3and 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
133	104, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐺 ∈ ℝ)
134	104, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
135	134	rpred 13059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐶 ∈ ℝ)
136	11	bl2ioo 24917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) = ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
137	133, 135, 136	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) = ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
138	132, 137	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐺(ball‘𝐷)𝐶))
139	106, 138	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝑉)
140		elun2 4144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
141	139, 140	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
142	141	expr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑣 < 𝑡 → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉)))
143	97	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑣 ∈ ℝ)
144		lelttric 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑡 ≤ 𝑣 ∨ 𝑣 < 𝑡))
145	90, 143, 144	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡 ≤ 𝑣 ∨ 𝑣 < 𝑡))
146	103, 142, 145	mpjaod 873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
147	146	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉)))
148	147	ssrdv 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝑅) ⊆ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
149		uniun 4899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ (𝑤 ∪ {𝑉}) = (∪ 𝑤 ∪ ∪ {𝑉})
150		unisng 4894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑈 → ∪ {𝑉} = 𝑉)
151	69, 150	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → ∪ {𝑉} = 𝑉)
152	151	uneq2d 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (∪ 𝑤 ∪ ∪ {𝑉}) = (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
153	149, 152	eqtrid 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → ∪ (𝑤 ∪ {𝑉}) = (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
154	148, 153	sseqtrrd 3982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ (𝑤 ∪ {𝑉}))
155		unieq 4887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}) → ∪ 𝑦 = ∪ (𝑤 ∪ {𝑉}))
156	155	sseq2d 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}) → ((𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ (𝑤 ∪ {𝑉})))
157	156	rspcev 3590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ (𝑤 ∪ {𝑉})) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)
158	81, 154, 157	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)
159	158	3exp2 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 → ((𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦))))
160	159	rexlimdv 3170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 → ((𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)))
161	61, 160	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧 → ((𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)))
162	161	expimpd 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧) → ((𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)))
163	58, 162	biimtrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑆 → ((𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)))
164	163	rexlimdv 3170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦))
165	54, 164	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)
166		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑅 → (𝐴[,]𝑣) = (𝐴[,]𝑅))
167	166	sseq1d 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑅 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦))
168	167	rexbidv 3195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦))
169		unieq 4887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ∪ 𝑧 = ∪ 𝑦)
170	169	sseq2d 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦))
171	170	cbvrexvw 3250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦)
172	57, 171	bitrdi 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦))
173	172	cbvrabv 3433	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦}
174	2, 173	eqtri 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦}
175	168, 174	elrab2 3663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑆 ↔ (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦))
176	47, 165, 175	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
177	8, 17, 20, 176	suprubd 12176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
178	177, 1	breqtrrdi 5157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐺)
179		iftrue 4498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) = (𝐺 + (𝐶 / 2)))
180	30, 179	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → 𝑅 = (𝐺 + (𝐶 / 2)))
181	180	breq1d 5123	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → (𝑅 ≤ 𝐺 ↔ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
182	178, 181	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
183	29, 182	mtod 201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵)
184		iffalse 4501	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) = 𝐵)
185	30, 184	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → 𝑅 = 𝐵)
186	183, 185	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝐵)
187	186, 176	eqeltrrd 2870	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 ∧ w3a 1101 = wceq 1567 ∈ wcel 2149 ≠ wne 2964 ∀wral 3085 ∃wrex 3095 {crab 3423 ∪ cun 3911 ∩ cin 3912 ⊆ wss 3913 ∅c0 4294 ifcif 4492 𝒫 cpw 4567 {csn 4594 ∪ cuni 4876 class class class wbr 5113 × cxp 5660 ran crn 5663 ↾ cres 5664 ∘ ccom 5666 ‘cfv 6537 (class class class)co 7411 Fincfn 8942 supcsup 9399 ℝcr 11098 + caddc 11102 ℝ^*cxr 11241 < clt 11242 ≤ cle 11243 − cmin 11440 / cdiv 11870 2c2 12294 ℝ⁺crp 13015 (,)cioo 13371 [,]cicc 13374 abscabs 15284 ↾_t crest 17472 topGenctg 17489 ballcbl 21477

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-sep 5261 ax-nul 5271 ax-pow 5337 ax-pr 5405 ax-un 7733 ax-cnex 11155 ax-resscn 11156 ax-1cn 11157 ax-icn 11158 ax-addcl 11159 ax-addrcl 11160 ax-mulcl 11161 ax-mulrcl 11162 ax-mulcom 11163 ax-addass 11164 ax-mulass 11165 ax-distr 11166 ax-i2m1 11167 ax-1ne0 11168 ax-1rid 11169 ax-rnegex 11170 ax-rrecex 11171 ax-cnre 11172 ax-pre-lttri 11173 ax-pre-lttrn 11174 ax-pre-ltadd 11175 ax-pre-mulgt0 11176 ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4877 df-iun 4962 df-br 5114 df-opab 5178 df-mpt 5197 df-tr 5223 df-id 5557 df-eprel 5562 df-po 5570 df-so 5571 df-fr 5615 df-we 5617 df-xp 5668 df-rel 5669 df-cnv 5670 df-co 5671 df-dm 5672 df-rn 5673 df-res 5674 df-ima 5675 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7368 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7862 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-frecs 8277 df-wrecs 8308 df-recs 8357 df-rdg 8396 df-1o 8452 df-er 8693 df-map 8825 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-fin 8946 df-sup 9401 df-pnf 11244 df-mnf 11245 df-xr 11246 df-ltxr 11247 df-le 11248 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11871 df-nn 12233 df-2 12302 df-3 12303 df-n0 12504 df-z 12591 df-uz 12862 df-rp 13016 df-xadd 13137 df-ioo 13375 df-icc 13378 df-seq 14037 df-exp 14097 df-cj 15149 df-re 15150 df-im 15151 df-sqrt 15285 df-abs 15286 df-psmet 21482 df-xmet 21483 df-met 21484 df-bl 21485

This theorem is referenced by: icccmplem3 24950

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