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Theorem icccmplem2 23407
Description: Lemma for icccmp 23409. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
icccmp.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccmp.8 (𝜑𝑈𝐽)
icccmp.9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
icccmp.10 (𝜑𝑉𝑈)
icccmp.11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
icccmp.12 (𝜑 → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
icccmp.13 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
icccmp.14 𝑅 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)
Assertion
Ref Expression
icccmplem2 (𝜑𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑅(𝑥,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem icccmplem2
Dummy variables 𝑡 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.13 . . . . . . 7 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
2 icccmp.4 . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
32ssrab3 4036 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4 icccmp.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 icccmp.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 iccssre 12798 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74, 5, 6syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
83, 7sstrid 3957 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
9 icccmp.1 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10 icccmp.2 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
11 icccmp.3 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12 icccmp.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
13 icccmp.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐽)
14 icccmp.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
159, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14icccmplem1 23406 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
1615simpld 497 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
1716ne0d 4277 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
1815simprd 498 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
19 brralrspcev 5102 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛)
205, 18, 19syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛)
218, 17, 20suprcld 11582 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
221, 21eqeltrid 2915 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
23 icccmp.11 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2423rphalfcld 12422 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
2522, 24ltaddrpd 12443 . . . . 5 (𝜑𝐺 < (𝐺 + (𝐶 / 2)))
2624rpred 12410 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
2722, 26readdcld 10648 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
2822, 27ltnled 10765 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 < (𝐺 + (𝐶 / 2)) ↔ ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
2925, 28mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺)
30 icccmp.14 . . . . . . . . . 10 𝑅 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)
3127, 5ifcld 4488 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ∈ ℝ)
3230, 31eqeltrid 2915 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
338, 17, 20, 16suprubd 11581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
3433, 1breqtrrdi 5084 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐺)
3522, 27, 25ltled 10766 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
364, 22, 27, 34, 35letrd 10775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
37 breq2 5046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ↔ 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)))
38 breq2 5046 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)))
3937, 38ifboth 4481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵))
4036, 12, 39syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵))
4140, 30breqtrrdi 5084 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑅)
42 min2 12562 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ 𝐵)
4327, 5, 42syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ 𝐵)
4430, 43eqbrtrid 5077 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐵)
45 elicc2 12781 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑅𝑅𝐵)))
464, 5, 45syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑅𝑅𝐵)))
4732, 41, 44, 46mpbir3and 1338 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4822, 23ltsubrpd 12442 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐶) < 𝐺)
4948, 1breqtrdi 5083 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ))
5023rpred 12410 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5122, 50resubcld 11046 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℝ)
52 suprlub 11583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛) ∧ (𝐺𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣))
538, 17, 20, 51, 52syl31anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣))
5449, 53mpbid 234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣)
55 oveq2 7141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝑣))
5655sseq1d 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧))
5756rexbidv 3284 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧))
5857, 2elrab2 3663 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝑆 ↔ (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧))
59 unieq 4825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 𝑧 = 𝑤)
6059sseq2d 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤))
6160cbvrexvw 3429 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤)
62 simpr1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
63 elin 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑈𝑤 ∈ Fin))
6462, 63sylib 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∈ 𝒫 𝑈𝑤 ∈ Fin))
6564simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
6665elpwid 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤𝑈)
67 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝜑)
68 icccmp.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑉𝑈)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑉𝑈)
7069snssd 4718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → {𝑉} ⊆ 𝑈)
7166, 70unssd 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ⊆ 𝑈)
72 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤 ∈ V
73 snex 5308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑉} ∈ V
7472, 73unex 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ V
7574elpw 4519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑤 ∪ {𝑉}) ⊆ 𝑈)
7671, 75sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ 𝒫 𝑈)
7764simprd 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ Fin)
78 snfi 8572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑉} ∈ Fin
79 unfi 8763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ Fin ∧ {𝑉} ∈ Fin) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ Fin)
8077, 78, 79sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ Fin)
8176, 80elind 4149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
82 simplr2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤)
83 ssun1 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑤 ⊆ ( 𝑤𝑉)
8482, 83sstrdi 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → (𝐴[,]𝑣) ⊆ ( 𝑤𝑉))
8567, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8667, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑅 ∈ ℝ)
87 elicc2 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑅)))
8885, 86, 87syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑅)))
8988biimpa 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑅))
9089simp1d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
9190adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡 ∈ ℝ)
9289simp2d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝐴𝑡)
9392adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝐴𝑡)
94 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡𝑣)
9567, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
96 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9795, 96sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
98 elicc2 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑣)))
9985, 97, 98syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑣)))
10099adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑣)))
10191, 93, 94, 100mpbir3and 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣))
10284, 101sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
103102expr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡𝑣𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉)))
10467adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝜑)
105 icccmp.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
10790adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℝ)
108104, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺𝐶) ∈ ℝ)
10997adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑣 ∈ ℝ)
110 simplr3 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺𝐶) < 𝑣)
111 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑣 < 𝑡)
112108, 109, 107, 110, 111lttrd 10779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺𝐶) < 𝑡)
113104, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑅 ∈ ℝ)
11422, 50readdcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ)
115104, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ)
11689simp3d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡𝑅)
117116adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡𝑅)
118 min1 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
11927, 5, 118syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
12030, 119eqbrtrid 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑅 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
121 rphalflt 12397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 / 2) < 𝐶)
12223, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝐶 / 2) < 𝐶)
12326, 50, 22, 122ltadd2dd 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) < (𝐺 + 𝐶))
12432, 27, 114, 120, 123lelttrd 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑅 < (𝐺 + 𝐶))
125104, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑅 < (𝐺 + 𝐶))
126107, 113, 115, 117, 125lelttrd 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))
127 rexr 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺𝐶) ∈ ℝ → (𝐺𝐶) ∈ ℝ*)
128 rexr 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ*)
129 elioo2 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐶) < 𝑡𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
130127, 128, 129syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐺𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐶) < 𝑡𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
131108, 115, 130syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐶) < 𝑡𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
132107, 112, 126, 131mpbir3and 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
133104, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐺 ∈ ℝ)
134104, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
135134rpred 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐶 ∈ ℝ)
13611bl2ioo 23376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) = ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
137133, 135, 136syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) = ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
138132, 137eleqtrrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐺(ball‘𝐷)𝐶))
139106, 138sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡𝑉)
140 elun2 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡𝑉𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
142141expr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑣 < 𝑡𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉)))
14397adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑣 ∈ ℝ)
144 lelttric 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑡𝑣𝑣 < 𝑡))
14590, 143, 144syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡𝑣𝑣 < 𝑡))
146103, 142, 145mpjaod 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
147146ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉)))
148147ssrdv 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝑅) ⊆ ( 𝑤𝑉))
149 uniun 4837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∪ {𝑉}) = ( 𝑤 {𝑉})
150 unisng 4833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉𝑈 {𝑉} = 𝑉)
15169, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → {𝑉} = 𝑉)
152151uneq2d 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → ( 𝑤 {𝑉}) = ( 𝑤𝑉))
153149, 152syl5eq 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) = ( 𝑤𝑉))
154148, 153sseqtrrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝑅) ⊆ (𝑤 ∪ {𝑉}))
155 unieq 4825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}) → 𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}))
156155sseq2d 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}) → ((𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) ⊆ (𝑤 ∪ {𝑉})))
157156rspcev 3602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑅) ⊆ (𝑤 ∪ {𝑉})) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)
15881, 154, 157syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)
1591583exp2 1350 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))))
160159rexlimdv 3270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
16161, 160syl5bi 244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
162161expimpd 456 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧) → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
16358, 162syl5bi 244 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑣𝑆 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
164163rexlimdv 3270 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
16554, 164mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)
166 oveq2 7141 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑅 → (𝐴[,]𝑣) = (𝐴[,]𝑅))
167166sseq1d 3977 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑅 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
168167rexbidv 3284 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
169 unieq 4825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 𝑧 = 𝑦)
170169sseq2d 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦))
171170cbvrexvw 3429 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦)
17257, 171syl6bb 289 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦))
173172cbvrabv 3470 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦}
1742, 173eqtri 2843 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦}
175168, 174elrab2 3663 . . . . . . . 8 (𝑅𝑆 ↔ (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
17647, 165, 175sylanbrc 585 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑆)
1778, 17, 20, 176suprubd 11581 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
178177, 1breqtrrdi 5084 . . . . 5 (𝜑𝑅𝐺)
179 iftrue 4449 . . . . . . 7 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) = (𝐺 + (𝐶 / 2)))
18030, 179syl5eq 2867 . . . . . 6 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵𝑅 = (𝐺 + (𝐶 / 2)))
181180breq1d 5052 . . . . 5 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → (𝑅𝐺 ↔ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
182178, 181syl5ibcom 247 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
18329, 182mtod 200 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵)
184 iffalse 4452 . . . 4 (¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) = 𝐵)
18530, 184syl5eq 2867 . . 3 (¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵𝑅 = 𝐵)
186183, 185syl 17 . 2 (𝜑𝑅 = 𝐵)
187186, 176eqeltrrd 2912 1 (𝜑𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  wrex 3126  {crab 3129  cun 3911  cin 3912  wss 3913  c0 4269  ifcif 4443  𝒫 cpw 4515  {csn 4543   cuni 4814   class class class wbr 5042   × cxp 5529  ran crn 5532  cres 5533  ccom 5535  cfv 6331  (class class class)co 7133  Fincfn 8487  supcsup 8882  cr 10514   + caddc 10518  *cxr 10652   < clt 10653  cle 10654  cmin 10848   / cdiv 11275  2c2 11671  +crp 12368  (,)cioo 12717  [,]cicc 12720  abscabs 14573  t crest 16673  topGenctg 16690  ballcbl 20508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-xadd 12487  df-ioo 12721  df-icc 12724  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516
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