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Theorem icccmplem2 24757
Description: Lemma for icccmp 24759. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
icccmp.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccmp.8 (𝜑𝑈𝐽)
icccmp.9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
icccmp.10 (𝜑𝑉𝑈)
icccmp.11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
icccmp.12 (𝜑 → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
icccmp.13 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
icccmp.14 𝑅 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)
Assertion
Ref Expression
icccmplem2 (𝜑𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑅(𝑥,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem icccmplem2
Dummy variables 𝑡 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.13 . . . . . . 7 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
2 icccmp.4 . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
32ssrab3 4078 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4 icccmp.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 icccmp.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 iccssre 13444 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74, 5, 6syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
83, 7sstrid 3991 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
9 icccmp.1 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10 icccmp.2 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
11 icccmp.3 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12 icccmp.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
13 icccmp.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐽)
14 icccmp.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
159, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14icccmplem1 24756 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
1615simpld 493 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
1716ne0d 4337 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
1815simprd 494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
19 brralrspcev 5210 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛)
205, 18, 19syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛)
218, 17, 20suprcld 12213 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
221, 21eqeltrid 2832 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
23 icccmp.11 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2423rphalfcld 13066 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
2522, 24ltaddrpd 13087 . . . . 5 (𝜑𝐺 < (𝐺 + (𝐶 / 2)))
2624rpred 13054 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
2722, 26readdcld 11279 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
2822, 27ltnled 11397 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 < (𝐺 + (𝐶 / 2)) ↔ ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
2925, 28mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺)
30 icccmp.14 . . . . . . . . . 10 𝑅 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)
3127, 5ifcld 4576 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ∈ ℝ)
3230, 31eqeltrid 2832 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
338, 17, 20, 16suprubd 12212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
3433, 1breqtrrdi 5192 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐺)
3522, 27, 25ltled 11398 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
364, 22, 27, 34, 35letrd 11407 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
37 breq2 5154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ↔ 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)))
38 breq2 5154 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)))
3937, 38ifboth 4569 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵))
4036, 12, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵))
4140, 30breqtrrdi 5192 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑅)
42 min2 13207 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ 𝐵)
4327, 5, 42syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ 𝐵)
4430, 43eqbrtrid 5185 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐵)
45 elicc2 13427 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑅𝑅𝐵)))
464, 5, 45syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑅𝑅𝐵)))
4732, 41, 44, 46mpbir3and 1339 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4822, 23ltsubrpd 13086 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐶) < 𝐺)
4948, 1breqtrdi 5191 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ))
5023rpred 13054 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5122, 50resubcld 11678 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℝ)
52 suprlub 12214 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛) ∧ (𝐺𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣))
538, 17, 20, 51, 52syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣))
5449, 53mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣)
55 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝑣))
5655sseq1d 4011 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧))
5756rexbidv 3174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧))
5857, 2elrab2 3685 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝑆 ↔ (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧))
59 unieq 4921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 𝑧 = 𝑤)
6059sseq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤))
6160cbvrexvw 3231 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤)
62 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
63 elin 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑈𝑤 ∈ Fin))
6462, 63sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∈ 𝒫 𝑈𝑤 ∈ Fin))
6564simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
6665elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤𝑈)
67 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝜑)
68 icccmp.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑉𝑈)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑉𝑈)
7069snssd 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → {𝑉} ⊆ 𝑈)
7166, 70unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ⊆ 𝑈)
72 vex 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤 ∈ V
73 snex 5435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑉} ∈ V
7472, 73unex 7752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ V
7574elpw 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑤 ∪ {𝑉}) ⊆ 𝑈)
7671, 75sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ 𝒫 𝑈)
7764simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ Fin)
78 snfi 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑉} ∈ Fin
79 unfi 9201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ Fin ∧ {𝑉} ∈ Fin) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ Fin)
8077, 78, 79sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ Fin)
8176, 80elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
82 simplr2 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤)
83 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑤 ⊆ ( 𝑤𝑉)
8482, 83sstrdi 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → (𝐴[,]𝑣) ⊆ ( 𝑤𝑉))
8567, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8667, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑅 ∈ ℝ)
87 elicc2 13427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑅)))
8885, 86, 87syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑅)))
8988biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑅))
9089simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
9190adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡 ∈ ℝ)
9289simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝐴𝑡)
9392adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝐴𝑡)
94 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡𝑣)
9567, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
96 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9795, 96sseldd 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
98 elicc2 13427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑣)))
9985, 97, 98syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑣)))
10099adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑣)))
10191, 93, 94, 100mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣))
10284, 101sseldd 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
103102expr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡𝑣𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉)))
10467adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝜑)
105 icccmp.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
10790adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℝ)
108104, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺𝐶) ∈ ℝ)
10997adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑣 ∈ ℝ)
110 simplr3 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺𝐶) < 𝑣)
111 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑣 < 𝑡)
112108, 109, 107, 110, 111lttrd 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺𝐶) < 𝑡)
113104, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑅 ∈ ℝ)
11422, 50readdcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ)
115104, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ)
11689simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡𝑅)
117116adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡𝑅)
118 min1 13206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
11927, 5, 118syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
12030, 119eqbrtrid 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑅 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
121 rphalflt 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 / 2) < 𝐶)
12223, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝐶 / 2) < 𝐶)
12326, 50, 22, 122ltadd2dd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) < (𝐺 + 𝐶))
12432, 27, 114, 120, 123lelttrd 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑅 < (𝐺 + 𝐶))
125104, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑅 < (𝐺 + 𝐶))
126107, 113, 115, 117, 125lelttrd 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))
127 rexr 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺𝐶) ∈ ℝ → (𝐺𝐶) ∈ ℝ*)
128 rexr 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ*)
129 elioo2 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐶) < 𝑡𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
130127, 128, 129syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐺𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐶) < 𝑡𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
131108, 115, 130syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐶) < 𝑡𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
132107, 112, 126, 131mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
133104, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐺 ∈ ℝ)
134104, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
135134rpred 13054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐶 ∈ ℝ)
13611bl2ioo 24726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) = ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
137133, 135, 136syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) = ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
138132, 137eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐺(ball‘𝐷)𝐶))
139106, 138sseldd 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡𝑉)
140 elun2 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡𝑉𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
142141expr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑣 < 𝑡𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉)))
14397adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑣 ∈ ℝ)
144 lelttric 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑡𝑣𝑣 < 𝑡))
14590, 143, 144syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡𝑣𝑣 < 𝑡))
146103, 142, 145mpjaod 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
147146ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉)))
148147ssrdv 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝑅) ⊆ ( 𝑤𝑉))
149 uniun 4935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∪ {𝑉}) = ( 𝑤 {𝑉})
150 unisng 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉𝑈 {𝑉} = 𝑉)
15169, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → {𝑉} = 𝑉)
152151uneq2d 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → ( 𝑤 {𝑉}) = ( 𝑤𝑉))
153149, 152eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) = ( 𝑤𝑉))
154148, 153sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝑅) ⊆ (𝑤 ∪ {𝑉}))
155 unieq 4921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}) → 𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}))
156155sseq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}) → ((𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) ⊆ (𝑤 ∪ {𝑉})))
157156rspcev 3609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑅) ⊆ (𝑤 ∪ {𝑉})) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)
15881, 154, 157syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)
1591583exp2 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))))
160159rexlimdv 3149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
16161, 160biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
162161expimpd 452 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧) → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
16358, 162biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑣𝑆 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
164163rexlimdv 3149 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
16554, 164mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)
166 oveq2 7432 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑅 → (𝐴[,]𝑣) = (𝐴[,]𝑅))
167166sseq1d 4011 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑅 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
168167rexbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
169 unieq 4921 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 𝑧 = 𝑦)
170169sseq2d 4012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦))
171170cbvrexvw 3231 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦)
17257, 171bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦))
173172cbvrabv 3439 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦}
1742, 173eqtri 2755 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦}
175168, 174elrab2 3685 . . . . . . . 8 (𝑅𝑆 ↔ (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
17647, 165, 175sylanbrc 581 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑆)
1778, 17, 20, 176suprubd 12212 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
178177, 1breqtrrdi 5192 . . . . 5 (𝜑𝑅𝐺)
179 iftrue 4536 . . . . . . 7 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) = (𝐺 + (𝐶 / 2)))
18030, 179eqtrid 2779 . . . . . 6 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵𝑅 = (𝐺 + (𝐶 / 2)))
181180breq1d 5160 . . . . 5 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → (𝑅𝐺 ↔ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
182178, 181syl5ibcom 244 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
18329, 182mtod 197 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵)
184 iffalse 4539 . . . 4 (¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) = 𝐵)
18530, 184eqtrid 2779 . . 3 (¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵𝑅 = 𝐵)
186183, 185syl 17 . 2 (𝜑𝑅 = 𝐵)
187186, 176eqeltrrd 2829 1 (𝜑𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  {crab 3428  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4324  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4910   class class class wbr 5150   × cxp 5678  ran crn 5681  cres 5682  ccom 5684  cfv 6551  (class class class)co 7424  Fincfn 8968  supcsup 9469  cr 11143   + caddc 11147  *cxr 11283   < clt 11284  cle 11285  cmin 11480   / cdiv 11907  2c2 12303  +crp 13012  (,)cioo 13362  [,]cicc 13365  abscabs 15219  t crest 17407  topGenctg 17424  ballcbl 21271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-xadd 13131  df-ioo 13366  df-icc 13369  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279
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