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Theorem icccmplem2 22846
Description: Lemma for icccmp 22848. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
icccmp.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccmp.8 (𝜑𝑈𝐽)
icccmp.9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
icccmp.10 (𝜑𝑉𝑈)
icccmp.11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
icccmp.12 (𝜑 → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
icccmp.13 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
icccmp.14 𝑅 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)
Assertion
Ref Expression
icccmplem2 (𝜑𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑅(𝑥,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem icccmplem2
Dummy variables 𝑡 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.13 . . . . . . 7 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
2 icccmp.4 . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
3 ssrab2 3836 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
42, 3eqsstri 3784 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5 icccmp.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 icccmp.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 iccssre 12460 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
94, 8syl5ss 3763 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
10 icccmp.1 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (topGen‘ran (,))
11 icccmp.2 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
12 icccmp.3 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
13 icccmp.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
14 icccmp.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐽)
15 icccmp.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
1610, 11, 12, 2, 5, 6, 13, 14, 15icccmplem1 22845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
1716simpld 482 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
18 ne0i 4069 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
2016simprd 483 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
21 breq2 4790 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐵 → (𝑦𝑛𝑦𝐵))
2221ralbidv 3135 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑛 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
2322rspcev 3460 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛)
246, 20, 23syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛)
25 suprcl 11185 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
269, 19, 24, 25syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
271, 26syl5eqel 2854 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
28 icccmp.11 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2928rphalfcld 12087 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
3027, 29ltaddrpd 12108 . . . . 5 (𝜑𝐺 < (𝐺 + (𝐶 / 2)))
3129rpred 12075 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
3227, 31readdcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
3327, 32ltnled 10386 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 < (𝐺 + (𝐶 / 2)) ↔ ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
3430, 33mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺)
35 icccmp.14 . . . . . . . . . 10 𝑅 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)
3632, 6ifcld 4270 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ∈ ℝ)
3735, 36syl5eqel 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
38 suprub 11186 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
399, 19, 24, 17, 38syl31anc 1479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
4039, 1syl6breqr 4828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐺)
4127, 32, 30ltled 10387 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
425, 27, 32, 40, 41letrd 10396 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
43 breq2 4790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ↔ 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)))
44 breq2 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)))
4543, 44ifboth 4263 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵))
4642, 13, 45syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵))
4746, 35syl6breqr 4828 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑅)
48 min2 12226 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ 𝐵)
4932, 6, 48syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ 𝐵)
5035, 49syl5eqbr 4821 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐵)
51 elicc2 12443 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑅𝑅𝐵)))
525, 6, 51syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑅𝑅𝐵)))
5337, 47, 50, 52mpbir3and 1427 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5427, 28ltsubrpd 12107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐶) < 𝐺)
5554, 1syl6breq 4827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ))
5628rpred 12075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5727, 56resubcld 10660 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℝ)
58 suprlub 11189 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛) ∧ (𝐺𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣))
599, 19, 24, 57, 58syl31anc 1479 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣))
6055, 59mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣)
61 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝑣))
6261sseq1d 3781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧))
6362rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧))
6463, 2elrab2 3518 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝑆 ↔ (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧))
65 unieq 4582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 𝑧 = 𝑤)
6665sseq2d 3782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤))
6766cbvrexv 3321 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤)
68 simpr1 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
69 elin 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑈𝑤 ∈ Fin))
7068, 69sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∈ 𝒫 𝑈𝑤 ∈ Fin))
7170simpld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
7271elpwid 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤𝑈)
73 simpll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝜑)
74 icccmp.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑉𝑈)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑉𝑈)
7675snssd 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → {𝑉} ⊆ 𝑈)
7772, 76unssd 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ⊆ 𝑈)
78 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤 ∈ V
79 snex 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑉} ∈ V
8078, 79unex 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ V
8180elpw 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑤 ∪ {𝑉}) ⊆ 𝑈)
8277, 81sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ 𝒫 𝑈)
8370simprd 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ Fin)
84 snfi 8194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑉} ∈ Fin
85 unfi 8383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ Fin ∧ {𝑉} ∈ Fin) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ Fin)
8683, 84, 85sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ Fin)
8782, 86elind 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
88 simplr2 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤)
89 ssun1 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑤 ⊆ ( 𝑤𝑉)
9088, 89syl6ss 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → (𝐴[,]𝑣) ⊆ ( 𝑤𝑉))
9173, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9273, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑅 ∈ ℝ)
93 elicc2 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑅)))
9491, 92, 93syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑅)))
9594biimpa 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑅))
9695simp1d 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
9796adantrr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡 ∈ ℝ)
9895simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝐴𝑡)
9998adantrr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝐴𝑡)
100 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡𝑣)
10173, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
102 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵))
103101, 102sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
104 elicc2 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑣)))
10591, 103, 104syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑣)))
106105adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝑣)))
10797, 99, 100, 106mpbir3and 1427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣))
10890, 107sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡𝑣)) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
109108expr 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡𝑣𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉)))
11073adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝜑)
111 icccmp.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
11396adantrr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℝ)
114110, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺𝐶) ∈ ℝ)
115103adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑣 ∈ ℝ)
116 simplr3 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺𝐶) < 𝑣)
117 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑣 < 𝑡)
118114, 115, 113, 116, 117lttrd 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺𝐶) < 𝑡)
119110, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑅 ∈ ℝ)
12027, 56readdcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ)
121110, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ)
12295simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡𝑅)
123122adantrr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡𝑅)
124 min1 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
12532, 6, 124syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
12635, 125syl5eqbr 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑅 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
127 rphalflt 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 / 2) < 𝐶)
12828, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝐶 / 2) < 𝐶)
12931, 56, 27, 128ltadd2dd 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) < (𝐺 + 𝐶))
13037, 32, 120, 126, 129lelttrd 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑅 < (𝐺 + 𝐶))
131110, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑅 < (𝐺 + 𝐶))
132113, 119, 121, 123, 131lelttrd 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))
133 rexr 10287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺𝐶) ∈ ℝ → (𝐺𝐶) ∈ ℝ*)
134 rexr 10287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ*)
135 elioo2 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐶) < 𝑡𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
136133, 134, 135syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐺𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐶) < 𝑡𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
137114, 121, 136syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐶) < 𝑡𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
138113, 118, 132, 137mpbir3and 1427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
139110, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐺 ∈ ℝ)
140110, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
141140rpred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐶 ∈ ℝ)
14212bl2ioo 22815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) = ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
143139, 141, 142syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) = ((𝐺𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
144138, 143eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐺(ball‘𝐷)𝐶))
145112, 144sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡𝑉)
146 elun2 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡𝑉𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
148147expr 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑣 < 𝑡𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉)))
149103adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑣 ∈ ℝ)
150 lelttric 10346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑡𝑣𝑣 < 𝑡))
15196, 149, 150syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡𝑣𝑣 < 𝑡))
152109, 148, 151mpjaod 849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉))
153152ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) → 𝑡 ∈ ( 𝑤𝑉)))
154153ssrdv 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝑅) ⊆ ( 𝑤𝑉))
155 uniun 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∪ {𝑉}) = ( 𝑤 {𝑉})
156 unisng 4590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉𝑈 {𝑉} = 𝑉)
15775, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → {𝑉} = 𝑉)
158157uneq2d 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → ( 𝑤 {𝑉}) = ( 𝑤𝑉))
159155, 158syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) = ( 𝑤𝑉))
160154, 159sseqtr4d 3791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝑅) ⊆ (𝑤 ∪ {𝑉}))
161 unieq 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}) → 𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}))
162161sseq2d 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}) → ((𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) ⊆ (𝑤 ∪ {𝑉})))
163162rspcev 3460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑅) ⊆ (𝑤 ∪ {𝑉})) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)
16487, 160, 163syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 ∧ (𝐺𝐶) < 𝑣)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)
1651643exp2 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))))
166165rexlimdv 3178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑤 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
16767, 166syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
168167expimpd 441 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧) → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
16964, 168syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑣𝑆 → ((𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)))
170169rexlimdv 3178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑣𝑆 (𝐺𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
17160, 170mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦)
172 oveq2 6801 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑅 → (𝐴[,]𝑣) = (𝐴[,]𝑅))
173172sseq1d 3781 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑅 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
174173rexbidv 3200 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
175 unieq 4582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 𝑧 = 𝑦)
176175sseq2d 3782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦))
177176cbvrexv 3321 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦)
17863, 177syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦))
179178cbvrabv 3349 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦}
1802, 179eqtri 2793 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ 𝑦}
181174, 180elrab2 3518 . . . . . . . 8 (𝑅𝑆 ↔ (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ 𝑦))
18253, 171, 181sylanbrc 572 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑆)
183 suprub 11186 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑛) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
1849, 19, 24, 182, 183syl31anc 1479 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
185184, 1syl6breqr 4828 . . . . 5 (𝜑𝑅𝐺)
186 iftrue 4231 . . . . . . 7 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) = (𝐺 + (𝐶 / 2)))
18735, 186syl5eq 2817 . . . . . 6 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵𝑅 = (𝐺 + (𝐶 / 2)))
188187breq1d 4796 . . . . 5 ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → (𝑅𝐺 ↔ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
189185, 188syl5ibcom 235 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
19034, 189mtod 189 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵)
191 iffalse 4234 . . . 4 (¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) = 𝐵)
19235, 191syl5eq 2817 . . 3 (¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵𝑅 = 𝐵)
193190, 192syl 17 . 2 (𝜑𝑅 = 𝐵)
194193, 182eqeltrrd 2851 1 (𝜑𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  cun 3721  cin 3722  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225  𝒫 cpw 4297  {csn 4316   cuni 4574   class class class wbr 4786   × cxp 5247  ran crn 5250  cres 5251  ccom 5253  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  supcsup 8502  cr 10137   + caddc 10141  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  2c2 11272  +crp 12035  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  abscabs 14182  t crest 16289  topGenctg 16306  ballcbl 19948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956
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