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Theorem icccmplem2 24338

Description: Lemma for icccmp 24340. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
icccmp.10	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
icccmp.11	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
icccmp.12	⊢ (𝜑 → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
icccmp.13	⊢ 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
icccmp.14	⊢ 𝑅 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
icccmplem2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑧,𝐵 𝑥,𝐴,𝑧 𝑥,𝐷 𝑥,𝑇,𝑧 𝑧,𝐽 𝑥,𝑈,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑧) 𝐶(𝑥,𝑧) 𝐷(𝑧) 𝑅(𝑥,𝑧) 𝑆(𝑥,𝑧) 𝐺(𝑥,𝑧) 𝐽(𝑥) 𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem icccmplem2 Dummy variables 𝑡 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.13	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = sup(𝑆, ℝ, < )
2		icccmp.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
3	2	ssrab3 4080	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4		icccmp.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		icccmp.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		iccssre 13405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	3, 7	sstrid 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
9		icccmp.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10		icccmp.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾_t (𝐴[,]𝐵))
11		icccmp.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12		icccmp.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		icccmp.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
14		icccmp.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
15	9, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14	icccmplem1 24337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
16	15	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
17	16	ne0d 4335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
18	15	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
19		brralrspcev 5208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑛)
20	5, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑛)
21	8, 17, 20	suprcld 12176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	1, 21	eqeltrid 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
23		icccmp.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
24	23	rphalfcld 13027	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ⁺)
25	22, 24	ltaddrpd 13048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 < (𝐺 + (𝐶 / 2)))
26	24	rpred 13015	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
27	22, 26	readdcld 11242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
28	22, 27	ltnled 11360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 < (𝐺 + (𝐶 / 2)) ↔ ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
29	25, 28	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺)
30		icccmp.14	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)
31	27, 5	ifcld 4574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ∈ ℝ)
32	30, 31	eqeltrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
33	8, 17, 20, 16	suprubd 12175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
34	33, 1	breqtrrdi 5190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐺)
35	22, 27, 25	ltled 11361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
36	4, 22, 27, 34, 35	letrd 11370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
37		breq2 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 + (𝐶 / 2)) = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ↔ 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)))
38		breq2 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵)))
39	37, 38	ifboth 4567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵))
40	36, 12, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵))
41	40, 30	breqtrrdi 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑅)
42		min2 13168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ 𝐵)
43	27, 5, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ 𝐵)
44	30, 43	eqbrtrid 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
45		elicc2 13388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ 𝐵)))
46	4, 5, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ 𝐵)))
47	32, 41, 44, 46	mpbir3and 1342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵))
48	22, 23	ltsubrpd 13047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐶) < 𝐺)
49	48, 1	breqtrdi 5189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ))
50	23	rpred 13015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
51	22, 50	resubcld 11641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ)
52		suprlub 12177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑛) ∧ (𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐺 − 𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝐺 − 𝐶) < 𝑣))
53	8, 17, 20, 51, 52	syl31anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐶) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝐺 − 𝐶) < 𝑣))
54	49, 53	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)
55		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝑣))
56	55	sseq1d 4013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧))
57	56	rexbidv 3178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧))
58	57, 2	elrab2 3686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑆 ↔ (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧))
59		unieq 4919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ∪ 𝑧 = ∪ 𝑤)
60	59	sseq2d 4014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤))
61	60	cbvrexvw 3235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤)
62		simpr1 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
63		elin 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ 𝑤 ∈ Fin))
64	62, 63	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ 𝑤 ∈ Fin))
65	64	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
66	65	elpwid 4611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
67		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝜑)
68		icccmp.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑉 ∈ 𝑈)
70	69	snssd 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → {𝑉} ⊆ 𝑈)
71	66, 70	unssd 4186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ⊆ 𝑈)
72		vex 3478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑤 ∈ V
73		snex 5431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑉} ∈ V
74	72, 73	unex 7732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ V
75	74	elpw 4606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑤 ∪ {𝑉}) ⊆ 𝑈)
76	71, 75	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ 𝒫 𝑈)
77	64	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ Fin)
78		snfi 9043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑉} ∈ Fin
79		unfi 9171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ {𝑉} ∈ Fin) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ Fin)
80	77, 78, 79	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ Fin)
81	76, 80	elind 4194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
82		simplr2 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤)
83		ssun1 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∪ 𝑤 ⊆ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉)
84	82, 83	sstrdi 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → (𝐴[,]𝑣) ⊆ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
85	67, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
86	67, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑅 ∈ ℝ)
87		elicc2 13388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
88	85, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
89	88	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅))
90	89	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
91	90	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → 𝑡 ∈ ℝ)
92	89	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝐴 ≤ 𝑡)
93	92	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → 𝐴 ≤ 𝑡)
94		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → 𝑡 ≤ 𝑣)
95	67, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
96		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵))
97	95, 96	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
98		elicc2 13388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)))
99	85, 97, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)))
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)))
101	91, 93, 94, 100	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑣))
102	84, 101	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≤ 𝑣)) → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
103	102	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡 ≤ 𝑣 → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉)))
104	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝜑)
105		icccmp.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) ⊆ 𝑉)
107	90	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℝ)
108	104, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ)
109	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑣 ∈ ℝ)
110		simplr3 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)
111		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑣 < 𝑡)
112	108, 109, 107, 110, 111	lttrd 11374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 − 𝐶) < 𝑡)
113	104, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑅 ∈ ℝ)
114	22, 50	readdcld 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ)
115	104, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ)
116	89	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ≤ 𝑅)
117	116	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ≤ 𝑅)
118		min1 13167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐺 + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
119	27, 5, 118	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
120	30, 119	eqbrtrid 5183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (𝐺 + (𝐶 / 2)))
121		rphalflt 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ⁺ → (𝐶 / 2) < 𝐶)
122	23, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) < 𝐶)
123	26, 50, 22, 122	ltadd2dd 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) < (𝐺 + 𝐶))
124	32, 27, 114, 120, 123	lelttrd 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝐺 + 𝐶))
125	104, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑅 < (𝐺 + 𝐶))
126	107, 113, 115, 117, 125	lelttrd 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))
127		rexr 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ → (𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ^*)
128		rexr 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ → (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
129		elioo2 13364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ^* ∧ (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ^*) → (𝑡 ∈ ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
130	127, 128, 129	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐺 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐺 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
131	108, 115, 130	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝑡 ∈ ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝐺 + 𝐶))))
132	107, 112, 126, 131	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
133	104, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐺 ∈ ℝ)
134	104, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
135	134	rpred 13015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝐶 ∈ ℝ)
136	11	bl2ioo 24307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) = ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
137	133, 135, 136	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → (𝐺(ball‘𝐷)𝐶) = ((𝐺 − 𝐶)(,)(𝐺 + 𝐶)))
138	132, 137	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐺(ball‘𝐷)𝐶))
139	106, 138	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝑉)
140		elun2 4177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) ∧ 𝑣 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
142	141	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑣 < 𝑡 → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉)))
143	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑣 ∈ ℝ)
144		lelttric 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑡 ≤ 𝑣 ∨ 𝑣 < 𝑡))
145	90, 143, 144	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → (𝑡 ≤ 𝑣 ∨ 𝑣 < 𝑡))
146	103, 142, 145	mpjaod 858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
147	146	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝑅) → 𝑡 ∈ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉)))
148	147	ssrdv 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝑅) ⊆ (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
149		uniun 4934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ (𝑤 ∪ {𝑉}) = (∪ 𝑤 ∪ ∪ {𝑉})
150		unisng 4929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑈 → ∪ {𝑉} = 𝑉)
151	69, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → ∪ {𝑉} = 𝑉)
152	151	uneq2d 4163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (∪ 𝑤 ∪ ∪ {𝑉}) = (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
153	149, 152	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → ∪ (𝑤 ∪ {𝑉}) = (∪ 𝑤 ∪ 𝑉))
154	148, 153	sseqtrrd 4023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → (𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ (𝑤 ∪ {𝑉}))
155		unieq 4919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}) → ∪ 𝑦 = ∪ (𝑤 ∪ {𝑉}))
156	155	sseq2d 4014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ {𝑉}) → ((𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ (𝑤 ∪ {𝑉})))
157	156	rspcev 3612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∪ {𝑉}) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ (𝑤 ∪ {𝑉})) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)
158	81, 154, 157	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 ∧ (𝐺 − 𝐶) < 𝑣)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)
159	158	3exp2 1354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 → ((𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦))))
160	159	rexlimdv 3153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑤 → ((𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)))
161	61, 160	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧 → ((𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)))
162	161	expimpd 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧) → ((𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)))
163	58, 162	biimtrid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑆 → ((𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)))
164	163	rexlimdv 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝐺 − 𝐶) < 𝑣 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦))
165	54, 164	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦)
166		oveq2 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑅 → (𝐴[,]𝑣) = (𝐴[,]𝑅))
167	166	sseq1d 4013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑅 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦 ↔ (𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦))
168	167	rexbidv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦))
169		unieq 4919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ∪ 𝑧 = ∪ 𝑦)
170	169	sseq2d 4014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦))
171	170	cbvrexvw 3235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦)
172	57, 171	bitrdi 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦))
173	172	cbvrabv 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦}
174	2, 173	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = {𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑣) ⊆ ∪ 𝑦}
175	168, 174	elrab2 3686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑆 ↔ (𝑅 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑅) ⊆ ∪ 𝑦))
176	47, 165, 175	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
177	8, 17, 20, 176	suprubd 12175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
178	177, 1	breqtrrdi 5190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐺)
179		iftrue 4534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) = (𝐺 + (𝐶 / 2)))
180	30, 179	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → 𝑅 = (𝐺 + (𝐶 / 2)))
181	180	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → (𝑅 ≤ 𝐺 ↔ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
182	178, 181	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐺))
183	29, 182	mtod 197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵)
184		iffalse 4537	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → if((𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵, (𝐺 + (𝐶 / 2)), 𝐵) = 𝐵)
185	30, 184	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (¬ (𝐺 + (𝐶 / 2)) ≤ 𝐵 → 𝑅 = 𝐵)
186	183, 185	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝐵)
187	186, 176	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ∃wrex 3070 {crab 3432 ∪ cun 3946 ∩ cin 3947 ⊆ wss 3948 ∅c0 4322 ifcif 4528 𝒫 cpw 4602 {csn 4628 ∪ cuni 4908 class class class wbr 5148 × cxp 5674 ran crn 5677 ↾ cres 5678 ∘ ccom 5680 ‘cfv 6543 (class class class)co 7408 Fincfn 8938 supcsup 9434 ℝcr 11108 + caddc 11112 ℝ^*cxr 11246 < clt 11247 ≤ cle 11248 − cmin 11443 / cdiv 11870 2c2 12266 ℝ⁺crp 12973 (,)cioo 13323 [,]cicc 13326 abscabs 15180 ↾_t crest 17365 topGenctg 17382 ballcbl 20930

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-er 8702 df-map 8821 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-rp 12974 df-xadd 13092 df-ioo 13327 df-icc 13330 df-seq 13966 df-exp 14027 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-sqrt 15181 df-abs 15182 df-psmet 20935 df-xmet 20936 df-met 20937 df-bl 20938

This theorem is referenced by: icccmplem3 24339

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