Theorem bcmono 27122

Description: The binomial coefficient is monotone in its second argument, up to the midway point. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcmono	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))

Proof of Theorem bcmono

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1191	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		simpl1 1190	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		eluzel2 12834	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	anim1i 614	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		elnn0z 12578	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
7	5, 6	sylibr 233	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
8		simpl3 1192	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝑁 / 2))
9		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝐴 ≤ (𝑁 / 2)))
10		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝐴))
11	10	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))
12	9, 11	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
13	12	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))))
14		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
15		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝑘))
16	15	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))))
18	17	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)))))
19		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
20		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁C𝑥) = (𝑁C(𝑘 + 1)))
21	20	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
22	19, 21	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
23	22	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
24		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)))
25		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝐵))
26	25	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵)))
27	24, 26	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))))
28	27	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵)))))
29		bccl 14289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ∈ ℝ)
31	30	leidd 11787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))
32	31	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))
33	32	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
34	33	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
35		eluzelz 12839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
36	35	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
37	36	zred 12673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
38	37	lep1d 12152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
39		peano2re 11394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
41		nn0re 12488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
42	41	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 12466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
44		letr 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
45	37, 40, 43, 44	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
46	38, 45	mpand 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
47	46	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))))
48		eluznn0 12908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	41	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50		nn0re 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
51	50	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℝ)
52		nn0p1nn 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
53	52	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
55	54	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
56	53	nncnd 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
57	56	2timesd 12462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)))
58		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2))
59		2re 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
60		2pos 12322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < 2
61	59, 60	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
63		lemuldiv2 12102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
64	55, 49, 62, 63	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
65	58, 64	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁)
66	57, 65	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁)
67	51	lep1d 12152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
68	49, 51, 55, 55, 66, 67	lesub3d 11839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 − 𝑘))
69		nnre 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
70		nngt0 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
71	69, 70	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)))
72	53, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)))
73		nn0z 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
74	73	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
75		nn0z 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
76	75	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℤ)
77	74, 76	zsubcld 12678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
78	49	rehalfcld 12466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
79	49, 59	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
80		nn0ge0 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
81	80	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ 𝑁)
82		1le2 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ≤ 2
83	81, 82	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (0 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 2))
84		lemulge12 12084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 2)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
85	79, 83, 84	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
86		ledivmul 12097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
87	49, 49, 62, 86	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
88	85, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
89	55, 78, 49, 58, 88	letrd 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
90		1red 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ∈ ℝ)
91	51, 90, 49	leaddsub2d 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
92	89, 91	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ≤ (𝑁 − 𝑘))
93		elnnz1 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
94	77, 92, 93	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ)
95		nnre 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
96		nngt0 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → 0 < (𝑁 − 𝑘))
97	95, 96	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
98	94, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
99		faccl 14250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
100	99	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
101		nnm1nn0 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
102		faccl 14250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
103	94, 101, 102	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
104		faccl 14250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
105	104	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
106	103, 105	nnmulcld 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
107		nnrp 12992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
108		nnrp 12992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
109		rpdivcl 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
110	107, 108, 109	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
111	100, 106, 110	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
112	111	rpregt0d 13029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)))))
113		lediv2 12111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)) ∧ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑘)) ∧ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))))) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 − 𝑘) ↔ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1))))
114	72, 98, 112, 113	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 − 𝑘) ↔ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1))))
115	68, 114	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)))
116		facnn2 14249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝑘)) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)))
117	94, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑁 − 𝑘)) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)))
118	117	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)))
119	103	nncnd 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
120	105	nncnd 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
121	77	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ)
122	119, 120, 121	mul32d 11431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘)) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)))
123	118, 122	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘)))
124	123	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘))))
125		0zd 12577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ∈ ℤ)
126		nn0ge0 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
127	126	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ 𝑘)
128	51, 55, 49, 67, 89	letrd 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ 𝑁)
129	125, 74, 76, 127, 128	elfzd 13499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
130		bcval2 14272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))))
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))))
132	100	nncnd 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
133	106	nncnd 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
134	106	nnne0d 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ≠ 0)
135	94	nnne0d 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ≠ 0)
136	132, 133, 121, 134, 135	divdiv1d 12028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘))))
137	124, 131, 136	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)))
138		nn0cn 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
139	138	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
140		nn0cn 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
141	140	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℂ)
142		1cnd 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ∈ ℂ)
143	139, 141, 142	subsub4d 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
144	143	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − (𝑘 + 1)) = ((𝑁 − 𝑘) − 1))
145	144	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) = (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)))
146		facp1 14245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
147	146	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
148	145, 147	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
149	119, 120, 56	mulassd 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
150	148, 149	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
151	150	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1))))
152	53	nnzd 12592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
153	54	nn0ge0d 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
154	125, 74, 152, 153, 89	elfzd 13499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
155		bcval2 14272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))))
156	154, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))))
157	53	nnne0d 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
158	132, 133, 56, 134, 157	divdiv1d 12028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1))))
159	151, 156, 158	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)))
160	115, 137, 159	3brtr4d 5180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))
161	160	3exp 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
162	48, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
163	162	3impia 1116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
164	163	3coml 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
165		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
166		nn0z 12590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
167	166	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
168	165, 167, 29	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝐴) ∈ ℕ0)
169	168	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝐴) ∈ ℝ)
170		bccl 14289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
171	165, 36, 170	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
172	171	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑘) ∈ ℝ)
173	36	peano2zd 12676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
174		bccl 14289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
175	165, 173, 174	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
176	175	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
177		letr 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁C𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁C𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) ∧ (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
178	169, 172, 176, 177	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) ∧ (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
179	178	expcomd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
180	164, 179	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
181	180	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
182	47, 181	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
183	182	3expib 1121	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
184	183	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
185	13, 18, 23, 28, 34, 184	uzind4 12897	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))))
186	185	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
187	1, 2, 7, 8, 186	syl121anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
188		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
189	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
190		animorrl 978	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐴))
191		bcval4 14274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐴)) → (𝑁C𝐴) = 0)
192	188, 189, 190, 191	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐴) = 0)
193		simpl2 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
194		eluzelz 12839	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
195	193, 194	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
196		bccl 14289	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐵) ∈ ℕ0)
197	188, 195, 196	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐵) ∈ ℕ0)
198	197	nn0ge0d 12542	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ (𝑁C𝐵))
199	192, 198	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
200		0re 11223	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
201	4	zred 12673	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
202		lelttric 11328	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
203	200, 201, 202	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
204	187, 199, 203	mpjaodan 956	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451   / cdiv 11878  ℕcn 12219  2c2 12274  ℕ₀cn0 12479  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829  ℝ⁺crp 12981  ...cfz 13491  !cfa 14240  Ccbc 14269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-seq 13974  df-fac 14241  df-bc 14270

This theorem is referenced by:  bcmax  27123