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Theorem bcmono 26435
Description: The binomial coefficient is monotone in its second argument, up to the midway point. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmono ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))

Proof of Theorem bcmono
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1191 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
2 simpl1 1190 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 eluzel2 12597 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
433ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
54anim1i 615 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6 elnn0z 12342 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
75, 6sylibr 233 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
8 simpl3 1192 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝑁 / 2))
9 breq1 5076 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝐴 ≤ (𝑁 / 2)))
10 oveq2 7275 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝐴))
1110breq2d 5085 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))
129, 11imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
1312imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))))
14 breq1 5076 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
15 oveq2 7275 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝑘))
1615breq2d 5085 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)))
1714, 16imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))))
1817imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)))))
19 breq1 5076 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
20 oveq2 7275 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁C𝑥) = (𝑁C(𝑘 + 1)))
2120breq2d 5085 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
2219, 21imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
2322imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
24 breq1 5076 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)))
25 oveq2 7275 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝐵))
2625breq2d 5085 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵)))
2724, 26imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))))
2827imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵)))))
29 bccl 14046 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ∈ ℕ0)
3029nn0red 12304 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ∈ ℝ)
3130leidd 11551 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))
3231a1d 25 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))
3332expcom 414 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
3433adantrd 492 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
35 eluzelz 12602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
36353ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
3736zred 12436 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
3837lep1d 11916 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
39 peano2re 11158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
41 nn0re 12252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
42413ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
4342rehalfcld 12230 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
44 letr 11079 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
4537, 40, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
4638, 45mpand 692 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
4746imim1d 82 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))))
48 eluznn0 12667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49413ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50 nn0re 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℝ)
52 nn0p1nn 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
53523ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
5453nnnn0d 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
5554nn0red 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
5653nncnd 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
57562timesd 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)))
58 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2))
59 2re 12057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
60 2pos 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < 2
6159, 60pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
63 lemuldiv2 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
6455, 49, 62, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
6558, 64mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁)
6657, 65eqbrtrrd 5097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁)
6751lep1d 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
6849, 51, 55, 55, 66, 67lesub3d 11603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑁𝑘))
69 nnre 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
70 nngt0 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
7169, 70jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)))
7253, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)))
73 nn0z 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
74733ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
75 nn0z 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
76753ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7774, 76zsubcld 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
7849rehalfcld 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
7949, 59jctir 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
80 nn0ge0 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
81803ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ 𝑁)
82 1le2 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ≤ 2
8381, 82jctir 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (0 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 2))
84 lemulge12 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 2)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
8579, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
86 ledivmul 11861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑁𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
8749, 49, 62, 86syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑁𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
8885, 87mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
8955, 78, 49, 58, 88letrd 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
90 1red 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ∈ ℝ)
9151, 90, 49leaddsub2d 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑘)))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ≤ (𝑁𝑘))
93 elnnz1 12356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ ↔ ((𝑁𝑘) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑁𝑘)))
9477, 92, 93sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
95 nnre 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
96 nngt0 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ → 0 < (𝑁𝑘))
9795, 96jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝑘)))
9894, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝑘)))
99 faccl 14007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
100993ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
101 nnm1nn0 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
102 faccl 14007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
10394, 101, 1023syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
104 faccl 14007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
1051043ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
106103, 105nnmulcld 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
107 nnrp 12751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
108 nnrp 12751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
109 rpdivcl 12765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((!‘𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
110107, 108, 109syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
111100, 106, 110syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
112111rpregt0d 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)))))
113 lediv2 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)) ∧ ((𝑁𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝑘)) ∧ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))))) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁𝑘) ↔ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1))))
11472, 98, 112, 113syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁𝑘) ↔ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1))))
11568, 114mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)))
116 facnn2 14006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑁𝑘)) = ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (𝑁𝑘)))
11794, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑁𝑘)) = ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (𝑁𝑘)))
118117oveq1d 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘)) = (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (𝑁𝑘)) · (!‘𝑘)))
119103nncnd 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
120105nncnd 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
12177zcnd 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁𝑘) ∈ ℂ)
122119, 120, 121mul32d 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁𝑘)) = (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (𝑁𝑘)) · (!‘𝑘)))
123118, 122eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘)) = (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁𝑘)))
124123oveq2d 7283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁𝑘))))
125 0zd 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ∈ ℤ)
126 nn0ge0 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
1271263ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ 𝑘)
12851, 55, 49, 67, 89letrd 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘𝑁)
129125, 74, 76, 127, 128elfzd 13257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
130 bcval2 14029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))))
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))))
132100nncnd 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
133106nncnd 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
134106nnne0d 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ≠ 0)
13594nnne0d 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁𝑘) ≠ 0)
136132, 133, 121, 134, 135divdiv1d 11792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁𝑘)) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁𝑘))))
137124, 131, 1363eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁𝑘)))
138 nn0cn 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
1391383ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
140 nn0cn 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
1411403ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℂ)
142 1cnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ∈ ℂ)
143139, 141, 142subsub4d 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
144143eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − (𝑘 + 1)) = ((𝑁𝑘) − 1))
145144fveq2d 6770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) = (!‘((𝑁𝑘) − 1)))
146 facp1 14002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
1471463ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
148145, 147oveq12d 7285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
149119, 120, 56mulassd 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)) = ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
150148, 149eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
151150oveq2d 7283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1))))
15253nnzd 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
15354nn0ge0d 12306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
154125, 74, 152, 153, 89elfzd 13257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
155 bcval2 14029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))))
15753nnne0d 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
158132, 133, 56, 134, 157divdiv1d 11792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1))))
159151, 156, 1583eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)))
160115, 137, 1593brtr4d 5105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))
1611603exp 1118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
16248, 161syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
1631623impia 1116 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
1641633coml 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
165 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
166 nn0z 12353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
1671663ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
168165, 167, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝐴) ∈ ℕ0)
169168nn0red 12304 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝐴) ∈ ℝ)
170 bccl 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
171165, 36, 170syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
172171nn0red 12304 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑘) ∈ ℝ)
17336peano2zd 12439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
174 bccl 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
175165, 173, 174syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
176175nn0red 12304 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
177 letr 11079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁C𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁C𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) ∧ (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
178169, 172, 176, 177syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) ∧ (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
179178expcomd 417 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
180164, 179syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
181180a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
18247, 181syld 47 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
1831823expib 1121 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
184183a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
18513, 18, 23, 28, 34, 184uzind4 12656 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))))
1861853imp 1110 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
1871, 2, 7, 8, 186syl121anc 1374 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
188 simpl1 1190 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1894adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
190 animorrl 978 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐴))
191 bcval4 14031 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐴)) → (𝑁C𝐴) = 0)
192188, 189, 190, 191syl3anc 1370 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐴) = 0)
193 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
194 eluzelz 12602 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
195193, 194syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
196 bccl 14046 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐵) ∈ ℕ0)
197188, 195, 196syl2anc 584 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐵) ∈ ℕ0)
198197nn0ge0d 12306 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ (𝑁C𝐵))
199192, 198eqbrtrd 5095 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
200 0re 10987 . . 3 0 ∈ ℝ
2014zred 12436 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
202 lelttric 11092 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
203200, 201, 202sylancr 587 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
204187, 199, 203mpjaodan 956 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5073  cfv 6426  (class class class)co 7267  cc 10879  cr 10880  0cc0 10881  1c1 10882   + caddc 10884   · cmul 10886   < clt 11019  cle 11020  cmin 11215   / cdiv 11642  cn 11983  2c2 12038  0cn0 12243  cz 12329  cuz 12592  +crp 12740  ...cfz 13249  !cfa 13997  Ccbc 14026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fz 13250  df-seq 13732  df-fac 13998  df-bc 14027
This theorem is referenced by:  bcmax  26436
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