Theorem bcmono 27568

Description: The binomial coefficient is monotone in its second argument, up to the midway point. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcmono	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))

Proof of Theorem bcmono

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		eluzel2 12940	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	anim1i 627	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		elnn0z 12676	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
7	5, 6	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
8		simpl3 1212	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝑁 / 2))
9		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝐴 ≤ (𝑁 / 2)))
10		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝐴))
11	10	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))
12	9, 11	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
13	12	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))))
14		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
15		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝑘))
16	15	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)))
17	14, 16	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))))
18	17	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)))))
19		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
20		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁C𝑥) = (𝑁C(𝑘 + 1)))
21	20	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
22	19, 21	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
23	22	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
24		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)))
25		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝐵))
26	25	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵)))
27	24, 26	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))))
28	27	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵)))))
29		bccl 14434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ∈ ℝ)
31	30	leidd 11852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))
32	31	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))
33	32	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
34	33	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
35		eluzelz 12945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
36	35	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
37	36	zred 12773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
38	37	lep1d 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
39		peano2re 11455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
40	37, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
41		nn0re 12585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
42	41	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 12563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
44		letr 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
45	37, 40, 43, 44	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
46	38, 45	mpand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
47	46	imim1d 83	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))))
48		eluznn0 13014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	41	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50		nn0re 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
51	50	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℝ)
52		nn0p1nn 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
53	52	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
55	54	nn0red 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
56	53	nncnd 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
57	56	2timesd 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)))
58		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2))
59		2re 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
60		2pos 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < 2
61	59, 60	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
63		lemuldiv2 12168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
64	55, 49, 62, 63	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
65	58, 64	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁)
66	57, 65	eqbrtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁)
67	51	lep1d 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
68	49, 51, 55, 55, 66, 67	lesub3d 11904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 − 𝑘))
69		nnre 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
70		nngt0 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
71	69, 70	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)))
72	53, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)))
73		nn0z 12687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
74	73	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
75		nn0z 12687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
76	75	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℤ)
77	74, 76	zsubcld 12778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
78	49	rehalfcld 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
79	49, 59	jctir 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
80		nn0ge0 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
81	80	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ 𝑁)
82		1le2 12524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ≤ 2
83	81, 82	jctir 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (0 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 2))
84		lemulge12 12150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 2)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
85	79, 83, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
86		ledivmul 12163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
87	49, 49, 62, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
88	85, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
89	55, 78, 49, 58, 88	letrd 11439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
90		1red 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ∈ ℝ)
91	51, 90, 49	leaddsub2d 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
92	89, 91	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ≤ (𝑁 − 𝑘))
93		elnnz1 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
94	77, 92, 93	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ)
95		nnre 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
96		nngt0 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → 0 < (𝑁 − 𝑘))
97	95, 96	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
98	94, 97	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
99		faccl 14395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
100	99	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
101		nnm1nn0 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
102		faccl 14395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
103	94, 101, 102	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
104		faccl 14395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
105	104	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
106	103, 105	nnmulcld 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
107		nnrp 13102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
108		nnrp 13102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
109		rpdivcl 13117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
110	107, 108, 109	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
111	100, 106, 110	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
112	111	rpregt0d 13140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)))))
113		lediv2 12177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)) ∧ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑘)) ∧ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))))) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 − 𝑘) ↔ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1))))
114	72, 98, 112, 113	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 − 𝑘) ↔ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1))))
115	68, 114	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)))
116		facnn2 14394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝑘)) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)))
117	94, 116	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑁 − 𝑘)) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)))
118	117	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)))
119	103	nncnd 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
120	105	nncnd 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
121	77	zcnd 12774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ)
122	119, 120, 121	mul32d 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘)) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)))
123	118, 122	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘)))
124	123	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘))))
125		0zd 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ∈ ℤ)
126		nn0ge0 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
127	126	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ 𝑘)
128	51, 55, 49, 67, 89	letrd 11439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ 𝑁)
129	125, 74, 76, 127, 128	elfzd 13617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
130		bcval2 14417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))))
131	129, 130	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))))
132	100	nncnd 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
133	106	nncnd 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
134	106	nnne0d 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ≠ 0)
135	94	nnne0d 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ≠ 0)
136	132, 133, 121, 134, 135	divdiv1d 12094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘))))
137	124, 131, 136	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)))
138		nn0cn 12586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
139	138	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
140		nn0cn 12586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
141	140	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℂ)
142		1cnd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ∈ ℂ)
143	139, 141, 142	subsub4d 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
144	143	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − (𝑘 + 1)) = ((𝑁 − 𝑘) − 1))
145	144	fveq2d 6877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) = (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)))
146		facp1 14390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
147	146	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
148	145, 147	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
149	119, 120, 56	mulassd 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
150	148, 149	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
151	150	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1))))
152	53	nnzd 12689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
153	54	nn0ge0d 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
154	125, 74, 152, 153, 89	elfzd 13617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
155		bcval2 14417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))))
156	154, 155	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))))
157	53	nnne0d 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
158	132, 133, 56, 134, 157	divdiv1d 12094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1))))
159	151, 156, 158	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)))
160	115, 137, 159	3brtr4d 5136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))
161	160	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
162	48, 161	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
163	162	3impia 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
164	163	3coml 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
165		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
166		nn0z 12687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
167	166	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
168	165, 167, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝐴) ∈ ℕ0)
169	168	nn0red 12638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝐴) ∈ ℝ)
170		bccl 14434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
171	165, 36, 170	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
172	171	nn0red 12638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑘) ∈ ℝ)
173	36	peano2zd 12776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
174		bccl 14434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
175	165, 173, 174	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
176	175	nn0red 12638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
177		letr 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁C𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁C𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) ∧ (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
178	169, 172, 176, 177	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) ∧ (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
179	178	expcomd 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
180	164, 179	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
181	180	a2d 30	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
182	47, 181	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
183	182	3expib 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
184	183	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
185	13, 18, 23, 28, 34, 184	uzind4 13003	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))))
186	185	3imp 1128	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
187	1, 2, 7, 8, 186	syl121anc 1402	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
188		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
189	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
190		animorrl 996	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐴))
191		bcval4 14419	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐴)) → (𝑁C𝐴) = 0)
192	188, 189, 190, 191	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐴) = 0)
193		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
194		eluzelz 12945	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
195	193, 194	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
196		bccl 14434	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐵) ∈ ℕ0)
197	188, 195, 196	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐵) ∈ ℕ0)
198	197	nn0ge0d 12640	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ (𝑁C𝐵))
199	192, 198	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
200		0re 11282	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
201	4	zred 12773	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
202		lelttric 11389	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
203	200, 201, 202	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
204	187, 199, 203	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175   · cmul 11177   < clt 11315   ≤ cle 11316   − cmin 11513   / cdiv 11943  ℕcn 12305  2c2 12367  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ℤ_≥cuz 12935  ℝ⁺crp 13090  ...cfz 13609  !cfa 14385  Ccbc 14414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-seq 14114  df-fac 14386  df-bc 14415

This theorem is used by:  bcmax  27569