Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbach Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbach 46083
Description: The ternary Goldbach conjecture is valid. Main theorem in [Helfgott] p. 2. This follows from tgoldbachlt 46082 and ax-tgoldbachgt 46077. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
tgoldbach โˆ€๐‘› โˆˆ Odd (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )

Proof of Theorem tgoldbach
Dummy variables ๐‘š ๐‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 45897 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
21zred 12614 . . . 4 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
3 10re 12644 . . . . 5 10 โˆˆ โ„
4 2nn0 12437 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•0
5 7nn 12252 . . . . . . 7 7 โˆˆ โ„•
64, 5decnncl 12645 . . . . . 6 27 โˆˆ โ„•
76nnnn0i 12428 . . . . 5 27 โˆˆ โ„•0
8 reexpcl 13991 . . . . 5 ((10 โˆˆ โ„ โˆง 27 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘27) โˆˆ โ„)
93, 7, 8mp2an 691 . . . 4 (10โ†‘27) โˆˆ โ„
10 lelttric 11269 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘27) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โˆจ (10โ†‘27) < ๐‘›))
112, 9, 10sylancl 587 . . 3 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โˆจ (10โ†‘27) < ๐‘›))
12 tgoldbachlt 46082 . . . . 5 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ))
13 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ (7 < ๐‘œ โ†” 7 < ๐‘›))
14 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ (๐‘œ < ๐‘š โ†” ๐‘› < ๐‘š))
1513, 14anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†” (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š)))
16 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ (๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd โ†” ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
1715, 16imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ (((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
1817rspcv 3580 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
199recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (10โ†‘27) โˆˆ โ„‚
2019mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ยท (10โ†‘27)) = (10โ†‘27)
21 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 โˆˆ โ„
22 8re 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8 โˆˆ โ„
2321, 22pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 โˆˆ โ„ โˆง 8 โˆˆ โ„)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 8 โˆˆ โ„))
25 0le1 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 โ‰ค 1
26 1lt8 12358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 < 8
2725, 26pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 8)
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 8))
29 3nn 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 โˆˆ โ„•
3029decnncl2 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 30 โˆˆ โ„•
3130nnnn0i 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 30 โˆˆ โ„•0
32 reexpcl 13991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((10 โˆˆ โ„ โˆง 30 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘30) โˆˆ โ„)
333, 31, 32mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (10โ†‘30) โˆˆ โ„
349, 33pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘30) โˆˆ โ„)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘30) โˆˆ โ„))
36 10nn0 12643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 10 โˆˆ โ„•0
3736, 7nn0expcli 14001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (10โ†‘27) โˆˆ โ„•0
3837nn0ge0i 12447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 โ‰ค (10โ†‘27)
396nnzi 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 โˆˆ โ„ค
4030nnzi 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 30 โˆˆ โ„ค
413, 39, 403pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (10 โˆˆ โ„ โˆง 27 โˆˆ โ„ค โˆง 30 โˆˆ โ„ค)
42 1lt10 12764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 < 10
43 3nn0 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 โˆˆ โ„•0
44 7nn0 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7 โˆˆ โ„•0
45 0nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 โˆˆ โ„•0
46 7lt10 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7 < 10
47 2lt3 12332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 < 3
484, 43, 44, 45, 46, 47decltc 12654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 < 30
4942, 48pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 < 10 โˆง 27 < 30)
50 ltexp2a 14078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((10 โˆˆ โ„ โˆง 27 โˆˆ โ„ค โˆง 30 โˆˆ โ„ค) โˆง (1 < 10 โˆง 27 < 30)) โ†’ (10โ†‘27) < (10โ†‘30))
5141, 49, 50mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (10โ†‘27) < (10โ†‘30)
5238, 51pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < (10โ†‘30))
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < (10โ†‘30)))
54 ltmul12a 12018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((1 โˆˆ โ„ โˆง 8 โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 8)) โˆง (((10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘30) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < (10โ†‘30)))) โ†’ (1 ยท (10โ†‘27)) < (8 ยท (10โ†‘30)))
5524, 28, 35, 53, 54syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท (10โ†‘27)) < (8 ยท (10โ†‘30)))
5620, 55eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (10โ†‘27) < (8 ยท (10โ†‘30)))
579a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (10โ†‘27) โˆˆ โ„)
5822, 33remulcli 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„)
60 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
6160adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
62 lttr 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„) โ†’ (((10โ†‘27) < (8 ยท (10โ†‘30)) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ (10โ†‘27) < ๐‘š))
6357, 59, 61, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((10โ†‘27) < (8 ยท (10โ†‘30)) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ (10โ†‘27) < ๐‘š))
6456, 63mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (10โ†‘27) < ๐‘š))
6564imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ (10โ†‘27) < ๐‘š)
662adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
6766, 57, 613jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„))
69 lelttr 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < ๐‘š) โ†’ ๐‘› < ๐‘š))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ ((๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < ๐‘š) โ†’ ๐‘› < ๐‘š))
7165, 70mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ ๐‘› < ๐‘š))
7271imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ ๐‘› < ๐‘š)
7372anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โˆง 7 < ๐‘›) โ†’ (๐‘› < ๐‘š โˆง 7 < ๐‘›))
7473ancomd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โˆง 7 < ๐‘›) โ†’ (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š))
75 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โˆง 7 < ๐‘›) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
7776ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7978exp41 436 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))))
8079com25 99 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))))
8118, 80syld 47 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))))
8281com15 101 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))))
8382com23 86 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))))
8483imp32 420 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ))) โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
8584rexlimiva 3145 . . . . 5 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd )) โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
8612, 85ax-mp 5 . . . 4 (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
87 tgoldbachgtALTV 46078 . . . . 5 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ))
88 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ (๐‘š < ๐‘œ โ†” ๐‘š < ๐‘›))
8988, 16imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ ((๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” (๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
9089rspcv 3580 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
91 lelttr 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โ†’ ๐‘š < ๐‘›))
9261, 57, 66, 91syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โ†’ ๐‘š < ๐‘›))
9392expcomd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ ๐‘š < ๐‘›)))
9493ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ ๐‘š < ๐‘›))))
9594com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ ๐‘š < ๐‘›))))
9695imp43 429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27))) โ†’ ๐‘š < ๐‘›)
97 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š < ๐‘› โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27))) โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
9998a1dd 50 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27))) โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
10099ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
101100com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
102101ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))))
103102com23 86 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))))
10490, 103syld 47 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))))
105104com14 96 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))))
106105impr 456 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ))) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
107106rexlimiva 3145 . . . . 5 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd )) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
10887, 107ax-mp 5 . . . 4 ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
10986, 108jaoi 856 . . 3 ((๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โˆจ (10โ†‘27) < ๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
11011, 109mpcom 38 . 2 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
111110rgen 3067 1 โˆ€๐‘› โˆˆ Odd (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  7c7 12220  8c8 12221  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  cdc 12625  โ†‘cexp 13974   Odd codd 45891   GoldbachOdd cgbo 46013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-bgbltosilva 46076  ax-tgoldbachgt 46077  ax-hgprmladder 46080
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555  df-iccp 45680  df-even 45892  df-odd 45893  df-gbe 46014  df-gbo 46016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator