Theorem tgoldbach 47389

Description: The ternary Goldbach conjecture is valid. Main theorem in [Helfgott] p. 2. This follows from tgoldbachlt 47388 and ax-tgoldbachgt 47383. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbach	⊢ ∀𝑛 ∈ Odd (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem tgoldbach

Dummy variables 𝑚 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 47203	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℤ)
2	1	zred 12718	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℝ)
3		10re 12748	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4		2nn0 12541	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		7nn 12356	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12749	. . . . . 6 ⊢ ;27 ∈ ℕ
7	6	nnnn0i 12532	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
8		reexpcl 14098	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
9	3, 7, 8	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
10		lelttric 11371	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛))
11	2, 9, 10	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛))
12		tgoldbachlt 47388	. . . . 5 ⊢ ∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))
13		breq2 5157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (7 < 𝑜 ↔ 7 < 𝑛))
14		breq1 5156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑜 < 𝑚 ↔ 𝑛 < 𝑚))
15	13, 14	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) ↔ (7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚)))
16		eleq1w 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑜 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
17	15, 16	imbi12d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
18	17	rspcv 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
19	9	recni 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℂ
20	19	mullidi 11269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 · (;10↑;27)) = (;10↑;27)
21		1re 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		8re 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 8 ∈ ℝ
23	21, 22	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ))
25		0le1 11787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ 1
26		1lt8 12462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 < 8
27	25, 26	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8))
29		3nn 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℕ
30	29	decnncl2 12753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;30 ∈ ℕ
31	30	nnnn0i 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ;30 ∈ ℕ0
32		reexpcl 14098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;30 ∈ ℕ0) → (;10↑;30) ∈ ℝ)
33	3, 31, 32	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (;10↑;30) ∈ ℝ
34	9, 33	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ)
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ))
36		10nn0 12747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
37	36, 7	nn0expcli 14108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
38	37	nn0ge0i 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
39	6	nnzi 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;27 ∈ ℤ
40	30	nnzi 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;30 ∈ ℤ
41	3, 39, 40	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℤ ∧ ;30 ∈ ℤ)
42		1lt10 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < ;10
43		3nn0 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℕ0
44		7nn0 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 7 ∈ ℕ0
45		0nn0 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 ∈ ℕ0
46		7lt10 12862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 7 < ;10
47		2lt3 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 < 3
48	4, 43, 44, 45, 46, 47	decltc 12758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;27 < ;30
49	42, 48	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;27 < ;30)
50		ltexp2a 14185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℤ ∧ ;30 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;27 < ;30)) → (;10↑;27) < (;10↑;30))
51	41, 49, 50	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (;10↑;27) < (;10↑;30)
52	38, 51	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30))
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30)))
54		ltmul12a 12121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) ∧ (((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30)))) → (1 · (;10↑;27)) < (8 · (;10↑;30)))
55	24, 28, 35, 53, 54	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 · (;10↑;27)) < (8 · (;10↑;30)))
56	20, 55	eqbrtrrid 5189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)))
57	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
58	22, 33	remulcli 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ)
60		nnre 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
61	60	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
62		lttr 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚))
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚))
64	56, 63	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (;10↑;27) < 𝑚))
65	64	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚)
66	2	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
67	66, 57, 61	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
68	67	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
69		lelttr 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑚) → 𝑛 < 𝑚))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑚) → 𝑛 < 𝑚))
71	65, 70	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → 𝑛 < 𝑚))
72	71	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → 𝑛 < 𝑚)
73	72	anim1i 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (𝑛 < 𝑚 ∧ 7 < 𝑛))
74	73	ancomd 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚))
75		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
77	76	ex 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
78	77	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
79	78	exp41 433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑚 ∈ ℕ → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
80	79	com25 99	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑚 ∈ ℕ → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
81	18, 80	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑚 ∈ ℕ → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
82	81	com15 101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
83	82	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
84	83	imp32 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
85	84	rexlimiva 3137	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd )) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
86	12, 85	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
87		tgoldbachgtALTV 47384	. . . . 5 ⊢ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))
88		breq2 5157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑚 < 𝑜 ↔ 𝑚 < 𝑛))
89	88, 16	imbi12d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → ((𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
90	89	rspcv 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
91		lelttr 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → 𝑚 < 𝑛))
92	61, 57, 66, 91	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → 𝑚 < 𝑛))
93	92	expcomd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛)))
94	93	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑚 ∈ ℕ → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛))))
95	94	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛))))
96	95	imp43 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → 𝑚 < 𝑛)
97		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 < 𝑛 → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
99	98	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
100	99	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
101	100	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
102	101	ex 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
103	102	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
104	90, 103	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
105	104	com14 96	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
106	105	impr 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
107	106	rexlimiva 3137	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd )) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
108	87, 107	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
109	86, 108	jaoi 855	. . 3 ⊢ ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
110	11, 109	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
111	110	rgen 3053	1 ⊢ ∀𝑛 ∈ Odd (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   < clt 11298   ≤ cle 11299  ℕcn 12264  2c2 12319  3c3 12320  7c7 12324  8c8 12325  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12610  ;cdc 12729  ↑cexp 14081   Odd codd 47197   GoldbachOdd cgbo 47319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-bgbltosilva 47382  ax-tgoldbachgt 47383  ax-hgprmladder 47386

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13384  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-prm 16673  df-iccp 46986  df-even 47198  df-odd 47199  df-gbe 47320  df-gbo 47322

This theorem is referenced by: (None)