Theorem tgoldbach 43356

Description: The ternary Goldbach conjecture is valid. Main theorem in [Helfgott] p. 2. This follows from tgoldbachlt 43355 and ax-tgoldbachgt 43350. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbach	⊢ ∀𝑛 ∈ Odd (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem tgoldbach

Dummy variables 𝑚 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 43170	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℤ)
2	1	zred 11900	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℝ)
3		10re 11930	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4		2nn0 11726	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		7nn 11536	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 11932	. . . . . 6 ⊢ ;27 ∈ ℕ
7	6	nnnn0i 11716	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
8		reexpcl 13261	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
9	3, 7, 8	mp2an 679	. . . 4 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
10		lelttric 10547	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛))
11	2, 9, 10	sylancl 577	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛))
12		tgoldbachlt 43355	. . . . 5 ⊢ ∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))
13		breq2 4933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (7 < 𝑜 ↔ 7 < 𝑛))
14		breq1 4932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑜 < 𝑚 ↔ 𝑛 < 𝑚))
15	13, 14	anbi12d 621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) ↔ (7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚)))
16		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑜 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
17	15, 16	imbi12d 337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
18	17	rspcv 3531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
19	9	recni 10454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℂ
20	19	mulid2i 10445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 · (;10↑;27)) = (;10↑;27)
21		1re 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		8re 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 8 ∈ ℝ
23	21, 22	pm3.2i 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ))
25		0le1 10964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ 1
26		1lt8 11645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 < 8
27	25, 26	pm3.2i 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8))
29		3nn 11519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℕ
30	29	decnncl2 11936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;30 ∈ ℕ
31	30	nnnn0i 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ;30 ∈ ℕ0
32		reexpcl 13261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;30 ∈ ℕ0) → (;10↑;30) ∈ ℝ)
33	3, 31, 32	mp2an 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (;10↑;30) ∈ ℝ
34	9, 33	pm3.2i 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ)
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ))
36		10nn0 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
37	36, 7	nn0expcli 13270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
38	37	nn0ge0i 11736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
39	6	nnzi 11819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;27 ∈ ℤ
40	30	nnzi 11819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;30 ∈ ℤ
41	3, 39, 40	3pm3.2i 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℤ ∧ ;30 ∈ ℤ)
42		1lt10 12052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < ;10
43		3nn0 11727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℕ0
44		7nn0 11731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 7 ∈ ℕ0
45		0nn0 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 ∈ ℕ0
46		7lt10 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 7 < ;10
47		2lt3 11619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 < 3
48	4, 43, 44, 45, 46, 47	decltc 11941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;27 < ;30
49	42, 48	pm3.2i 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;27 < ;30)
50		ltexp2a 13345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℤ ∧ ;30 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;27 < ;30)) → (;10↑;27) < (;10↑;30))
51	41, 49, 50	mp2an 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (;10↑;27) < (;10↑;30)
52	38, 51	pm3.2i 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30))
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30)))
54		ltmul12a 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) ∧ (((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30)))) → (1 · (;10↑;27)) < (8 · (;10↑;30)))
55	24, 28, 35, 53, 54	syl22anc 826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 · (;10↑;27)) < (8 · (;10↑;30)))
56	20, 55	syl5eqbrr 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)))
57	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
58	22, 33	remulcli 10456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ)
60		nnre 11447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
61	60	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
62		lttr 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚))
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚))
64	56, 63	mpand 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (;10↑;27) < 𝑚))
65	64	imp 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚)
66	2	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
67	66, 57, 61	3jca 1108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
68	67	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
69		lelttr 10531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑚) → 𝑛 < 𝑚))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑚) → 𝑛 < 𝑚))
71	65, 70	mpan2d 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → 𝑛 < 𝑚))
72	71	imp 398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → 𝑛 < 𝑚)
73	72	anim1i 605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (𝑛 < 𝑚 ∧ 7 < 𝑛))
74	73	ancomd 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚))
75		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
77	76	ex 405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
78	77	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
79	78	exp41 427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑚 ∈ ℕ → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
80	79	com25 99	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑚 ∈ ℕ → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
81	18, 80	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑚 ∈ ℕ → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
82	81	com15 101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
83	82	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
84	83	imp32 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
85	84	rexlimiva 3226	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd )) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
86	12, 85	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
87		tgoldbachgtALTV 43351	. . . . 5 ⊢ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))
88		breq2 4933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑚 < 𝑜 ↔ 𝑚 < 𝑛))
89	88, 16	imbi12d 337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → ((𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
90	89	rspcv 3531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
91		lelttr 10531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → 𝑚 < 𝑛))
92	61, 57, 66, 91	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → 𝑚 < 𝑛))
93	92	expcomd 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛)))
94	93	ex 405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑚 ∈ ℕ → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛))))
95	94	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛))))
96	95	imp43 420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → 𝑚 < 𝑛)
97		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 < 𝑛 → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
99	98	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
100	99	ex 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
101	100	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
102	101	ex 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
103	102	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
104	90, 103	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
105	104	com14 96	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
106	105	impr 447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
107	106	rexlimiva 3226	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd )) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
108	87, 107	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
109	86, 108	jaoi 843	. . 3 ⊢ ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
110	11, 109	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
111	110	rgen 3098	1 ⊢ ∀𝑛 ∈ Odd (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3088  ∃wrex 3089   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   · cmul 10340   < clt 10474   ≤ cle 10475  ℕcn 11439  2c2 11495  3c3 11496  7c7 11500  8c8 11501  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ;cdc 11911  ↑cexp 13244   Odd codd 43164   GoldbachOdd cgbo 43286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-bgbltosilva 43349  ax-tgoldbachgt 43350  ax-hgprmladder 43353

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-rp 12205  df-ico 12560  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468  df-prm 15872  df-iccp 42952  df-even 43165  df-odd 43166  df-gbe 43287  df-gbo 43289

This theorem is referenced by: (None)