Theorem tgoldbach 48436

Description: The ternary Goldbach conjecture is valid. Main theorem in [Helfgott] p. 2. This follows from tgoldbachlt 48435 and ax-tgoldbachgt 48430. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbach	⊢ ∀𝑛 ∈ Odd (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem tgoldbach

Dummy variables 𝑚 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 48250	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℤ)
2	1	zred 12677	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℝ)
3		10re 12711	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4		2nn0 12498	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		7nn 12310	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12712	. . . . . 6 ⊢ ;27 ∈ ℕ
7	6	nnnn0i 12489	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
8		reexpcl 14091	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
9	3, 7, 8	mp2an 702	. . . 4 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
10		lelttric 11290	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛))
11	2, 9, 10	sylancl 595	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛))
12		tgoldbachlt 48435	. . . . 5 ⊢ ∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))
13		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (7 < 𝑜 ↔ 7 < 𝑛))
14		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑜 < 𝑚 ↔ 𝑛 < 𝑚))
15	13, 14	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) ↔ (7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚)))
16		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑜 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
17	15, 16	imbi12d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
18	17	rspcv 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
19	9	recni 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℂ
20	19	mullidi 11187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 · (;10↑;27)) = (;10↑;27)
21		1re 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		8re 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 8 ∈ ℝ
23	21, 22	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ))
25		0le1 11710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ 1
26		1lt8 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 < 8
27	25, 26	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8))
29		3nn 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℕ
30	29	decnncl2 12717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;30 ∈ ℕ
31	30	nnnn0i 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ;30 ∈ ℕ0
32		reexpcl 14091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;30 ∈ ℕ0) → (;10↑;30) ∈ ℝ)
33	3, 31, 32	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (;10↑;30) ∈ ℝ
34	9, 33	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ)
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ))
36		10nn0 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
37	36, 7	nn0expcli 14101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
38	37	nn0ge0i 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
39	6	nnzi 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;27 ∈ ℤ
40	30	nnzi 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;30 ∈ ℤ
41	3, 39, 40	3pm3.2i 1353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℤ ∧ ;30 ∈ ℤ)
42		1lt10 12833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < ;10
43		3nn0 12499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℕ0
44		7nn0 12503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 7 ∈ ℕ0
45		0nn0 12496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 ∈ ℕ0
46		7lt10 12827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 7 < ;10
47		2lt3 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 < 3
48	4, 43, 44, 45, 46, 47	decltc 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;27 < ;30
49	42, 48	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;27 < ;30)
50		ltexp2a 14179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℤ ∧ ;30 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;27 < ;30)) → (;10↑;27) < (;10↑;30))
51	41, 49, 50	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (;10↑;27) < (;10↑;30)
52	38, 51	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30))
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30)))
54		ltmul12a 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) ∧ (((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30)))) → (1 · (;10↑;27)) < (8 · (;10↑;30)))
55	24, 28, 35, 53, 54	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 · (;10↑;27)) < (8 · (;10↑;30)))
56	20, 55	eqbrtrrid 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)))
57	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
58	22, 33	remulcli 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ)
60		nnre 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
61	60	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
62		lttr 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚))
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚))
64	56, 63	mpand 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (;10↑;27) < 𝑚))
65	64	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚)
66	2	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
67	66, 57, 61	3jca 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
68	67	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
69		lelttr 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑚) → 𝑛 < 𝑚))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑚) → 𝑛 < 𝑚))
71	65, 70	mpan2d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → 𝑛 < 𝑚))
72	71	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → 𝑛 < 𝑚)
73	72	anim1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (𝑛 < 𝑚 ∧ 7 < 𝑛))
74	73	ancomd 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚))
75		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
77	76	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
78	77	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
79	78	exp41 438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑚 ∈ ℕ → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
80	79	com25 99	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑚 ∈ ℕ → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
81	18, 80	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑚 ∈ ℕ → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
82	81	com15 101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
83	82	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
84	83	imp32 422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
85	84	rexlimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd )) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
86	12, 85	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
87		tgoldbachgtALTV 48431	. . . . 5 ⊢ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))
88		breq2 5104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑚 < 𝑜 ↔ 𝑚 < 𝑛))
89	88, 16	imbi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → ((𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
90	89	rspcv 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
91		lelttr 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → 𝑚 < 𝑛))
92	61, 57, 66, 91	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → 𝑚 < 𝑛))
93	92	expcomd 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛)))
94	93	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑚 ∈ ℕ → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛))))
95	94	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛))))
96	95	imp43 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → 𝑚 < 𝑛)
97		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 < 𝑛 → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
99	98	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
100	99	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
101	100	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
102	101	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
103	102	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
104	90, 103	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
105	104	com14 96	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
106	105	impr 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
107	106	rexlimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd )) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
108	87, 107	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
109	86, 108	jaoi 868	. . 3 ⊢ ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
110	11, 109	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
111	110	rgen 3078	1 ⊢ ∀𝑛 ∈ Odd (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℕcn 12210  2c2 12272  3c3 12273  7c7 12277  8c8 12278  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ;cdc 12688  ↑cexp 14074   Odd codd 48244   GoldbachOdd cgbo 48366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-bgbltosilva 48429  ax-tgoldbachgt 48430  ax-hgprmladder 48433

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-ico 13355  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-prm 16706  df-iccp 48017  df-even 48245  df-odd 48246  df-gbe 48367  df-gbo 48369

This theorem is referenced by: (None)