Theorem tgoldbach 47822

Description: The ternary Goldbach conjecture is valid. Main theorem in [Helfgott] p. 2. This follows from tgoldbachlt 47821 and ax-tgoldbachgt 47816. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbach	⊢ ∀𝑛 ∈ Odd (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem tgoldbach

Dummy variables 𝑚 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 47636	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℤ)
2	1	zred 12645	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℝ)
3		10re 12675	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4		2nn0 12466	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		7nn 12285	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12676	. . . . . 6 ⊢ ;27 ∈ ℕ
7	6	nnnn0i 12457	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
8		reexpcl 14050	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
9	3, 7, 8	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
10		lelttric 11288	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛))
11	2, 9, 10	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛))
12		tgoldbachlt 47821	. . . . 5 ⊢ ∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))
13		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (7 < 𝑜 ↔ 7 < 𝑛))
14		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑜 < 𝑚 ↔ 𝑛 < 𝑚))
15	13, 14	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) ↔ (7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚)))
16		eleq1w 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑜 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
17	15, 16	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
18	17	rspcv 3587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
19	9	recni 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℂ
20	19	mullidi 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 · (;10↑;27)) = (;10↑;27)
21		1re 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		8re 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 8 ∈ ℝ
23	21, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ))
25		0le1 11708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ 1
26		1lt8 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 < 8
27	25, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8))
29		3nn 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℕ
30	29	decnncl2 12680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;30 ∈ ℕ
31	30	nnnn0i 12457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ;30 ∈ ℕ0
32		reexpcl 14050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;30 ∈ ℕ0) → (;10↑;30) ∈ ℝ)
33	3, 31, 32	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (;10↑;30) ∈ ℝ
34	9, 33	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ)
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ))
36		10nn0 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
37	36, 7	nn0expcli 14060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
38	37	nn0ge0i 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
39	6	nnzi 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;27 ∈ ℤ
40	30	nnzi 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;30 ∈ ℤ
41	3, 39, 40	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℤ ∧ ;30 ∈ ℤ)
42		1lt10 12795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < ;10
43		3nn0 12467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℕ0
44		7nn0 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 7 ∈ ℕ0
45		0nn0 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 ∈ ℕ0
46		7lt10 12789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 7 < ;10
47		2lt3 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 < 3
48	4, 43, 44, 45, 46, 47	decltc 12685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;27 < ;30
49	42, 48	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;27 < ;30)
50		ltexp2a 14138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℤ ∧ ;30 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;27 < ;30)) → (;10↑;27) < (;10↑;30))
51	41, 49, 50	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (;10↑;27) < (;10↑;30)
52	38, 51	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30))
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30)))
54		ltmul12a 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) ∧ (((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (;10↑;30) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < (;10↑;30)))) → (1 · (;10↑;27)) < (8 · (;10↑;30)))
55	24, 28, 35, 53, 54	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 · (;10↑;27)) < (8 · (;10↑;30)))
56	20, 55	eqbrtrrid 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)))
57	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
58	22, 33	remulcli 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ)
60		nnre 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
62		lttr 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ (8 · (;10↑;30)) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚))
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((;10↑;27) < (8 · (;10↑;30)) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚))
64	56, 63	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (;10↑;27) < 𝑚))
65	64	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (;10↑;27) < 𝑚)
66	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
67	66, 57, 61	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
69		lelttr 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑚) → 𝑛 < 𝑚))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑚) → 𝑛 < 𝑚))
71	65, 70	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → 𝑛 < 𝑚))
72	71	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → 𝑛 < 𝑚)
73	72	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (𝑛 < 𝑚 ∧ 7 < 𝑛))
74	73	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚))
75		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) ∧ 7 < 𝑛) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
77	76	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
78	77	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (8 · (;10↑;30)) < 𝑚) ∧ 𝑛 ≤ (;10↑;27)) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
79	78	exp41 434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑚 ∈ ℕ → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
80	79	com25 99	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑚 ∈ ℕ → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
81	18, 80	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑚 ∈ ℕ → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
82	81	com15 101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
83	82	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 → (∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))))
84	83	imp32 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
85	84	rexlimiva 3127	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (;10↑;30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑜 ∈ Odd ((7 < 𝑜 ∧ 𝑜 < 𝑚) → 𝑜 ∈ GoldbachOdd )) → (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
86	12, 85	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑛 ≤ (;10↑;27) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
87		tgoldbachgtALTV 47817	. . . . 5 ⊢ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))
88		breq2 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → (𝑚 < 𝑜 ↔ 𝑚 < 𝑛))
89	88, 16	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑛 → ((𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
90	89	rspcv 3587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
91		lelttr 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → 𝑚 < 𝑛))
92	61, 57, 66, 91	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → 𝑚 < 𝑛))
93	92	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛)))
94	93	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (𝑚 ∈ ℕ → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛))))
95	94	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ (;10↑;27) → 𝑚 < 𝑛))))
96	95	imp43 427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → 𝑚 < 𝑛)
97		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 < 𝑛 → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
99	98	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27))) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
100	99	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
101	100	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ Odd ∧ (;10↑;27) < 𝑛) → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
102	101	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
103	102	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → ((𝑚 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
104	90, 103	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
105	104	com14 96	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ (;10↑;27)) → (∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))))
106	105	impr 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd ))) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
107	106	rexlimiva 3127	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (;10↑;27) ∧ ∀𝑜 ∈ Odd (𝑚 < 𝑜 → 𝑜 ∈ GoldbachOdd )) → ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
108	87, 107	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((;10↑;27) < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
109	86, 108	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑛 ≤ (;10↑;27) ∨ (;10↑;27) < 𝑛) → (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
110	11, 109	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
111	110	rgen 3047	1 ⊢ ∀𝑛 ∈ Odd (7 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  7c7 12253  8c8 12254  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ;cdc 12656  ↑cexp 14033   Odd codd 47630   GoldbachOdd cgbo 47752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-bgbltosilva 47815  ax-tgoldbachgt 47816  ax-hgprmladder 47819

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-prm 16649  df-iccp 47419  df-even 47631  df-odd 47632  df-gbe 47753  df-gbo 47755

This theorem is referenced by: (None)