Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbach Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbach 46564
Description: The ternary Goldbach conjecture is valid. Main theorem in [Helfgott] p. 2. This follows from tgoldbachlt 46563 and ax-tgoldbachgt 46558. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
tgoldbach โˆ€๐‘› โˆˆ Odd (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )

Proof of Theorem tgoldbach
Dummy variables ๐‘š ๐‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 46378 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
21zred 12668 . . . 4 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
3 10re 12698 . . . . 5 10 โˆˆ โ„
4 2nn0 12491 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•0
5 7nn 12306 . . . . . . 7 7 โˆˆ โ„•
64, 5decnncl 12699 . . . . . 6 27 โˆˆ โ„•
76nnnn0i 12482 . . . . 5 27 โˆˆ โ„•0
8 reexpcl 14046 . . . . 5 ((10 โˆˆ โ„ โˆง 27 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘27) โˆˆ โ„)
93, 7, 8mp2an 690 . . . 4 (10โ†‘27) โˆˆ โ„
10 lelttric 11323 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘27) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โˆจ (10โ†‘27) < ๐‘›))
112, 9, 10sylancl 586 . . 3 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โˆจ (10โ†‘27) < ๐‘›))
12 tgoldbachlt 46563 . . . . 5 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ))
13 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ (7 < ๐‘œ โ†” 7 < ๐‘›))
14 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ (๐‘œ < ๐‘š โ†” ๐‘› < ๐‘š))
1513, 14anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†” (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š)))
16 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ (๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd โ†” ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
1715, 16imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ (((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
1817rspcv 3608 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
199recni 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (10โ†‘27) โˆˆ โ„‚
2019mullidi 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ยท (10โ†‘27)) = (10โ†‘27)
21 1re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 โˆˆ โ„
22 8re 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8 โˆˆ โ„
2321, 22pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 โˆˆ โ„ โˆง 8 โˆˆ โ„)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 8 โˆˆ โ„))
25 0le1 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 โ‰ค 1
26 1lt8 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 < 8
2725, 26pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 8)
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 8))
29 3nn 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 โˆˆ โ„•
3029decnncl2 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 30 โˆˆ โ„•
3130nnnn0i 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 30 โˆˆ โ„•0
32 reexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((10 โˆˆ โ„ โˆง 30 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘30) โˆˆ โ„)
333, 31, 32mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (10โ†‘30) โˆˆ โ„
349, 33pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘30) โˆˆ โ„)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘30) โˆˆ โ„))
36 10nn0 12697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 10 โˆˆ โ„•0
3736, 7nn0expcli 14056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (10โ†‘27) โˆˆ โ„•0
3837nn0ge0i 12501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 โ‰ค (10โ†‘27)
396nnzi 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 โˆˆ โ„ค
4030nnzi 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 30 โˆˆ โ„ค
413, 39, 403pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (10 โˆˆ โ„ โˆง 27 โˆˆ โ„ค โˆง 30 โˆˆ โ„ค)
42 1lt10 12818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 < 10
43 3nn0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 โˆˆ โ„•0
44 7nn0 12496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7 โˆˆ โ„•0
45 0nn0 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 โˆˆ โ„•0
46 7lt10 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7 < 10
47 2lt3 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 < 3
484, 43, 44, 45, 46, 47decltc 12708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 < 30
4942, 48pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 < 10 โˆง 27 < 30)
50 ltexp2a 14133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((10 โˆˆ โ„ โˆง 27 โˆˆ โ„ค โˆง 30 โˆˆ โ„ค) โˆง (1 < 10 โˆง 27 < 30)) โ†’ (10โ†‘27) < (10โ†‘30))
5141, 49, 50mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (10โ†‘27) < (10โ†‘30)
5238, 51pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < (10โ†‘30))
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < (10โ†‘30)))
54 ltmul12a 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((1 โˆˆ โ„ โˆง 8 โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 8)) โˆง (((10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘30) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < (10โ†‘30)))) โ†’ (1 ยท (10โ†‘27)) < (8 ยท (10โ†‘30)))
5524, 28, 35, 53, 54syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท (10โ†‘27)) < (8 ยท (10โ†‘30)))
5620, 55eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (10โ†‘27) < (8 ยท (10โ†‘30)))
579a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (10โ†‘27) โˆˆ โ„)
5822, 33remulcli 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„)
60 nnre 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
6160adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
62 lttr 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„) โ†’ (((10โ†‘27) < (8 ยท (10โ†‘30)) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ (10โ†‘27) < ๐‘š))
6357, 59, 61, 62syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((10โ†‘27) < (8 ยท (10โ†‘30)) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ (10โ†‘27) < ๐‘š))
6456, 63mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (10โ†‘27) < ๐‘š))
6564imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ (10โ†‘27) < ๐‘š)
662adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
6766, 57, 613jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„))
69 lelttr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < ๐‘š) โ†’ ๐‘› < ๐‘š))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ ((๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < ๐‘š) โ†’ ๐‘› < ๐‘š))
7165, 70mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ ๐‘› < ๐‘š))
7271imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ ๐‘› < ๐‘š)
7372anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โˆง 7 < ๐‘›) โ†’ (๐‘› < ๐‘š โˆง 7 < ๐‘›))
7473ancomd 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โˆง 7 < ๐‘›) โ†’ (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š))
75 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โˆง 7 < ๐‘›) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
7776ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š) โˆง ๐‘› โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7978exp41 435 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))))
8079com25 99 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))))
8118, 80syld 47 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))))
8281com15 101 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))))
8382com23 86 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))))
8483imp32 419 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ))) โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
8584rexlimiva 3147 . . . . 5 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd ((7 < ๐‘œ โˆง ๐‘œ < ๐‘š) โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd )) โ†’ (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
8612, 85ax-mp 5 . . . 4 (๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
87 tgoldbachgtALTV 46559 . . . . 5 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ))
88 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ (๐‘š < ๐‘œ โ†” ๐‘š < ๐‘›))
8988, 16imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (๐‘œ = ๐‘› โ†’ ((๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” (๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
9089rspcv 3608 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
91 lelttr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง (10โ†‘27) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โ†’ ๐‘š < ๐‘›))
9261, 57, 66, 91syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โ†’ ๐‘š < ๐‘›))
9392expcomd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ ๐‘š < ๐‘›)))
9493ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ ๐‘š < ๐‘›))))
9594com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โ†’ ๐‘š < ๐‘›))))
9695imp43 428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27))) โ†’ ๐‘š < ๐‘›)
97 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š < ๐‘› โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27))) โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
9998a1dd 50 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› โˆˆ Odd โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27))) โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
10099ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
101100com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง (10โ†‘27) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
102101ex 413 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))))
103102com23 86 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ ((๐‘š < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))))
10490, 103syld 47 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))))
105104com14 96 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค (10โ†‘27)) โ†’ (โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))))
106105impr 455 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd ))) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
107106rexlimiva 3147 . . . . 5 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š โ‰ค (10โ†‘27) โˆง โˆ€๐‘œ โˆˆ Odd (๐‘š < ๐‘œ โ†’ ๐‘œ โˆˆ GoldbachOdd )) โ†’ ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
10887, 107ax-mp 5 . . . 4 ((10โ†‘27) < ๐‘› โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
10986, 108jaoi 855 . . 3 ((๐‘› โ‰ค (10โ†‘27) โˆจ (10โ†‘27) < ๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
11011, 109mpcom 38 . 2 (๐‘› โˆˆ Odd โ†’ (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
111110rgen 3063 1 โˆ€๐‘› โˆˆ Odd (7 < ๐‘› โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251  โ„•cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  7c7 12274  8c8 12275  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  cdc 12679  โ†‘cexp 14029   Odd codd 46372   GoldbachOdd cgbo 46494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-bgbltosilva 46557  ax-tgoldbachgt 46558  ax-hgprmladder 46561
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-prm 16611  df-iccp 46161  df-even 46373  df-odd 46374  df-gbe 46495  df-gbo 46497
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator