Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzsplit3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsplit3 32583
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13541 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
21zred 12704 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 elfzelz 13541 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
43zred 12704 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5 1red 11253 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℝ)
64, 5resubcld 11680 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7 lelttric 11359 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
82, 6, 7syl2anr 595 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
9 elfzuz 13537 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
10 1zzd 12631 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
113, 10zsubcld 12709 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
12 elfz5 13533 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
139, 11, 12syl2anr 595 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
14 elfzuz3 13538 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
1514adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
16 elfzuzb 13535 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
1716rbaib 537 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)))
19 eluz 12874 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑥))
203, 1, 19syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑥))
21 zlem1lt 12652 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
223, 1, 21syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
2318, 20, 223bitrd 304 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
2413, 23orbi12d 916 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥)))
258, 24mpbird 256 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
26 elfzuz 13537 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
2726adantl 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
28 elfzuz3 13538 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2928adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
30 elfzuz3 13538 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑥))
3130adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑥))
32 peano2uz 12923 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑥) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥))
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥))
344recnd 11280 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
355recnd 11280 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
3634, 35npcand 11613 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3736eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)))
3837adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)))
3933, 38mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑥))
40 uztrn 12878 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
4129, 39, 40syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
42 elfzuzb 13535 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
4327, 41, 42sylanbrc 581 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
44 elfzuz 13537 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
45 elfzuz 13537 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
46 uztrn 12878 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
4744, 45, 46syl2anr 595 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
48 elfzuz3 13538 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
4948adantl 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
5047, 49, 42sylanbrc 581 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
5143, 50jaodan 955 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
5225, 51impbida 799 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))))
53 elun 4149 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
5452, 53bitr4di 288 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁))))
5554eqrdv 2726 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3947   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  cz 12596  cuz 12860  ...cfz 13524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  34181
  Copyright terms: Public domain W3C validator