Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzsplit3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsplit3 31697
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13441 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
21zred 12607 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 elfzelz 13441 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
43zred 12607 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5 1red 11156 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℝ)
64, 5resubcld 11583 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7 lelttric 11262 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
82, 6, 7syl2anr 597 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
9 elfzuz 13437 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
10 1zzd 12534 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
113, 10zsubcld 12612 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
12 elfz5 13433 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
139, 11, 12syl2anr 597 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
14 elfzuz3 13438 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
1514adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
16 elfzuzb 13435 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
1716rbaib 539 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)))
19 eluz 12777 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑥))
203, 1, 19syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑥))
21 zlem1lt 12555 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
223, 1, 21syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
2318, 20, 223bitrd 304 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
2413, 23orbi12d 917 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥)))
258, 24mpbird 256 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
26 elfzuz 13437 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
2726adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
28 elfzuz3 13438 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
30 elfzuz3 13438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑥))
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑥))
32 peano2uz 12826 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑥) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥))
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥))
344recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
355recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
3634, 35npcand 11516 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3736eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)))
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)))
3933, 38mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑥))
40 uztrn 12781 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
4129, 39, 40syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
42 elfzuzb 13435 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
4327, 41, 42sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
44 elfzuz 13437 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
45 elfzuz 13437 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
46 uztrn 12781 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
4744, 45, 46syl2anr 597 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
48 elfzuz3 13438 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
4948adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
5047, 49, 42sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
5143, 50jaodan 956 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
5225, 51impbida 799 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))))
53 elun 4108 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
5452, 53bitr4di 288 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁))))
5554eqrdv 2734 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3908   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  33128
  Copyright terms: Public domain W3C validator