| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | elfzelz 13565 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ) | 
| 2 | 1 | zred 12724 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 3 |  | elfzelz 13565 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ) | 
| 4 | 3 | zred 12724 | . . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ) | 
| 5 |  | 1red 11263 | . . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℝ) | 
| 6 | 4, 5 | resubcld 11692 | . . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ) | 
| 7 |  | lelttric 11369 | . . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
→ (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥)) | 
| 8 | 2, 6, 7 | syl2anr 597 | . . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥)) | 
| 9 |  | elfzuz 13561 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) | 
| 10 |  | 1zzd 12650 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℤ) | 
| 11 | 3, 10 | zsubcld 12729 | . . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ) | 
| 12 |  | elfz5 13557 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1))) | 
| 13 | 9, 11, 12 | syl2anr 597 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1))) | 
| 14 |  | elfzuz3 13562 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) | 
| 15 | 14 | adantl 481 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) | 
| 16 |  | elfzuzb 13559 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))) | 
| 17 | 16 | rbaib 538 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))) | 
| 18 | 15, 17 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))) | 
| 19 |  | eluz 12893 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈
(ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑥)) | 
| 20 | 3, 1, 19 | syl2an 596 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑥)) | 
| 21 |  | zlem1lt 12671 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥)) | 
| 22 | 3, 1, 21 | syl2an 596 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥)) | 
| 23 | 18, 20, 22 | 3bitrd 305 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥)) | 
| 24 | 13, 23 | orbi12d 918 | . . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))) | 
| 25 | 8, 24 | mpbird 257 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) | 
| 26 |  | elfzuz 13561 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) | 
| 27 | 26 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) | 
| 28 |  | elfzuz3 13562 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) | 
| 29 | 28 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) | 
| 30 |  | elfzuz3 13562 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥)) | 
| 31 | 30 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥)) | 
| 32 |  | peano2uz 12944 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥)) | 
| 33 | 31, 32 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥)) | 
| 34 | 4 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ) | 
| 35 | 5 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℂ) | 
| 36 | 34, 35 | npcand 11625 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾) | 
| 37 | 36 | eleq1d 2825 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥))) | 
| 38 | 37 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥))) | 
| 39 | 33, 38 | mpbid 232 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) | 
| 40 |  | uztrn 12897 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) | 
| 41 | 29, 39, 40 | syl2anc 584 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) | 
| 42 |  | elfzuzb 13559 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))) | 
| 43 | 27, 41, 42 | sylanbrc 583 | . . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) | 
| 44 |  | elfzuz 13561 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) | 
| 45 |  | elfzuz 13561 | . . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) | 
| 46 |  | uztrn 12897 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈
(ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) | 
| 47 | 44, 45, 46 | syl2anr 597 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) | 
| 48 |  | elfzuz3 13562 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) | 
| 49 | 48 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) | 
| 50 | 47, 49, 42 | sylanbrc 583 | . . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) | 
| 51 | 43, 50 | jaodan 959 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) | 
| 52 | 25, 51 | impbida 800 | . . 3
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))) | 
| 53 |  | elun 4152 | . . 3
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) | 
| 54 | 52, 53 | bitr4di 289 | . 2
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))) | 
| 55 | 54 | eqrdv 2734 | 1
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁))) |