Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elfzelz 13256 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ) |
2 | 1 | zred 12426 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ) |
3 | | elfzelz 13256 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ) |
4 | 3 | zred 12426 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ) |
5 | | 1red 10976 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℝ) |
6 | 4, 5 | resubcld 11403 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ) |
7 | | lelttric 11082 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
→ (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥)) |
8 | 2, 6, 7 | syl2anr 597 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥)) |
9 | | elfzuz 13252 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
10 | | 1zzd 12351 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℤ) |
11 | 3, 10 | zsubcld 12431 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ) |
12 | | elfz5 13248 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1))) |
13 | 9, 11, 12 | syl2anr 597 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1))) |
14 | | elfzuz3 13253 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) |
15 | 14 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) |
16 | | elfzuzb 13250 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))) |
17 | 16 | rbaib 539 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))) |
18 | 15, 17 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))) |
19 | | eluz 12596 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈
(ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑥)) |
20 | 3, 1, 19 | syl2an 596 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑥)) |
21 | | zlem1lt 12372 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥)) |
22 | 3, 1, 21 | syl2an 596 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥)) |
23 | 18, 20, 22 | 3bitrd 305 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥)) |
24 | 13, 23 | orbi12d 916 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))) |
25 | 8, 24 | mpbird 256 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) |
26 | | elfzuz 13252 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
27 | 26 | adantl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
28 | | elfzuz3 13253 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) |
29 | 28 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) |
30 | | elfzuz3 13253 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥)) |
31 | 30 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥)) |
32 | | peano2uz 12641 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥)) |
33 | 31, 32 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥)) |
34 | 4 | recnd 11003 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ) |
35 | 5 | recnd 11003 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℂ) |
36 | 34, 35 | npcand 11336 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾) |
37 | 36 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥))) |
38 | 37 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥))) |
39 | 33, 38 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) |
40 | | uztrn 12600 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) |
41 | 29, 39, 40 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) |
42 | | elfzuzb 13250 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))) |
43 | 27, 41, 42 | sylanbrc 583 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) |
44 | | elfzuz 13252 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) |
45 | | elfzuz 13252 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
46 | | uztrn 12600 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈
(ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
47 | 44, 45, 46 | syl2anr 597 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
48 | | elfzuz3 13253 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) |
49 | 48 | adantl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) |
50 | 47, 49, 42 | sylanbrc 583 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) |
51 | 43, 50 | jaodan 955 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) |
52 | 25, 51 | impbida 798 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))) |
53 | | elun 4083 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) |
54 | 52, 53 | bitr4di 289 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))) |
55 | 54 | eqrdv 2736 |
1
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁))) |