Theorem fzsplit3 32873

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	zred 12596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		elfzelz 13440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	zred 12596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5		1red 11133	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℝ)
6	4, 5	resubcld 11565	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7		lelttric 11240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
8	2, 6, 7	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
9		elfzuz 13436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		1zzd 12522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
11	3, 10	zsubcld 12601	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
12		elfz5 13432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
13	9, 11, 12	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
14		elfzuz3 13437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
16		elfzuzb 13434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
17	16	rbaib 538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
19		eluz 12765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑥))
20	3, 1, 19	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑥))
21		zlem1lt 12543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
22	3, 1, 21	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
23	18, 20, 22	3bitrd 305	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
24	13, 23	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥)))
25	8, 24	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
26		elfzuz 13436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
28		elfzuz3 13437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
30		elfzuz3 13437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
32		peano2uz 12814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
34	4	recnd 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
35	5	recnd 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	npcand 11496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
37	36	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
39	33, 38	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
40		uztrn 12769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
41	29, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
42		elfzuzb 13434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
43	27, 41, 42	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
44		elfzuz 13436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
45		elfzuz 13436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
46		uztrn 12769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47	44, 45, 46	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48		elfzuz3 13437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
50	47, 49, 42	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
51	43, 50	jaodan 959	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
52	25, 51	impbida 800	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))))
53		elun 4105	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
54	52, 53	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁))))
55	54	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  34686