Theorem fzsplit3 30682

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	zred 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		elfzelz 12991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	zred 12161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5		1red 10713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℝ)
6	4, 5	resubcld 11139	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7		lelttric 10818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
8	2, 6, 7	syl2anr 600	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
9		elfzuz 12987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		1zzd 12087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
11	3, 10	zsubcld 12166	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
12		elfz5 12983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
13	9, 11, 12	syl2anr 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
14		elfzuz3 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
15	14	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
16		elfzuzb 12985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
17	16	rbaib 542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
19		eluz 12331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑥))
20	3, 1, 19	syl2an 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑥))
21		zlem1lt 12108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
22	3, 1, 21	syl2an 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
23	18, 20, 22	3bitrd 308	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
24	13, 23	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥)))
25	8, 24	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
26		elfzuz 12987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27	26	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
28		elfzuz3 12988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
29	28	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
30		elfzuz3 12988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
31	30	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
32		peano2uz 12376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
34	4	recnd 10740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
35	5	recnd 10740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	npcand 11072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
37	36	eleq1d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
38	37	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
39	33, 38	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
40		uztrn 12335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
41	29, 39, 40	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
42		elfzuzb 12985	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
43	27, 41, 42	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
44		elfzuz 12987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
45		elfzuz 12987	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
46		uztrn 12335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47	44, 45, 46	syl2anr 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48		elfzuz3 12988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
49	48	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
50	47, 49, 42	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
51	43, 50	jaodan 957	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
52	25, 51	impbida 801	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))))
53		elun 4037	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
54	52, 53	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁))))
55	54	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3839   class class class wbr 5027  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ℝcr 10607  1c1 10609   + caddc 10611   < clt 10746   ≤ cle 10747   − cmin 10941  ℤcz 12055  ℤ_≥cuz 12317  ...cfz 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975

This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  32057