Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzsplit3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsplit3 31751
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13450 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
21zred 12615 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 elfzelz 13450 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
43zred 12615 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5 1red 11164 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℝ)
64, 5resubcld 11591 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7 lelttric 11270 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
82, 6, 7syl2anr 598 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
9 elfzuz 13446 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
10 1zzd 12542 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
113, 10zsubcld 12620 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
12 elfz5 13442 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
139, 11, 12syl2anr 598 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
14 elfzuz3 13447 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
1514adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
16 elfzuzb 13444 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
1716rbaib 540 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)))
19 eluz 12785 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑥))
203, 1, 19syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑥))
21 zlem1lt 12563 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
223, 1, 21syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
2318, 20, 223bitrd 305 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
2413, 23orbi12d 918 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥)))
258, 24mpbird 257 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
26 elfzuz 13446 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
2726adantl 483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
28 elfzuz3 13447 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
30 elfzuz3 13447 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑥))
3130adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑥))
32 peano2uz 12834 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑥) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥))
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥))
344recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
355recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
3634, 35npcand 11524 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3736eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)))
3837adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)))
3933, 38mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑥))
40 uztrn 12789 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
4129, 39, 40syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
42 elfzuzb 13444 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
4327, 41, 42sylanbrc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
44 elfzuz 13446 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
45 elfzuz 13446 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
46 uztrn 12789 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
4744, 45, 46syl2anr 598 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
48 elfzuz3 13447 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
4948adantl 483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
5047, 49, 42sylanbrc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
5143, 50jaodan 957 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
5225, 51impbida 800 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))))
53 elun 4112 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
5452, 53bitr4di 289 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁))))
5554eqrdv 2731 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3912   class class class wbr 5109  cfv 6500  (class class class)co 7361  cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197  cle 11198  cmin 11393  cz 12507  cuz 12771  ...cfz 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  33192
  Copyright terms: Public domain W3C validator