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Theorem faclbnd 14325
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12525 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (𝑗 + 1) = (0 + 1))
32oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(0 + 1)))
4 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
54oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘0)))
63, 5breq12d 5160 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘0))))
76imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘0)))))
8 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
98oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑘 + 1)))
10 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
1110oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)))
129, 11breq12d 5160 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))))
1312imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)))))
14 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
1514oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)))
16 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1716oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
1815, 17breq12d 5160 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
1918imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
20 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
2120oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑁 + 1)))
22 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
2322oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
2421, 23breq12d 5160 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2524imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))))
26 nnre 12270 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
27 nnge1 12291 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
28 elnnuz 12919 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
2928biimpi 216 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
3026, 27, 29leexp2ad 14289 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑1) ≤ (𝑀𝑀))
31 0p1e1 12385 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3231oveq2i 7441 . . . . . . 7 (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1)
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1))
34 fac0 14311 . . . . . . . 8 (!‘0) = 1
3534oveq2i 7441 . . . . . . 7 ((𝑀𝑀) · (!‘0)) = ((𝑀𝑀) · 1)
36 nnnn0 12530 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3726, 36reexpcld 14199 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
3837recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) ∈ ℂ)
3938mulridd 11275 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀𝑀) · 1) = (𝑀𝑀))
4035, 39eqtrid 2786 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀𝑀) · (!‘0)) = (𝑀𝑀))
4130, 33, 403brtr4d 5179 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘0)))
4226ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
43 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
44 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
4642, 45reexpcld 14199 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
4736ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4842, 47reexpcld 14199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
4943faccld 14319 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5049nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
5148, 50remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
52 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
53 peano2re 11431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
5443, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
55 nngt0 12294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
5655ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 < 𝑀)
57 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
58 ltle 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
5957, 58mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
6042, 56, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ 𝑀)
6142, 45, 60expge0d 14200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ (𝑀↑(𝑘 + 1)))
62 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)))
63 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
6446, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63lemul12ad 12207 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
6564anandis 678 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
66 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
67 expp1 14105 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
6866, 44, 67syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
70 facp1 14313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7271oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = ((𝑀𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
7338adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ∈ ℂ)
74 faccl 14318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
7574nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
77 nn0cn 12533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
78 peano2cn 11430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
8173, 76, 80mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)) = ((𝑀𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
8272, 81eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
8382adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
8465, 69, 833brtr4d 5179 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
8584exp32 420 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
8685com23 86 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
87 nn0ltp1le 12673 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
8844, 36, 87syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
89 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
9044, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
91 reexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9226, 90, 91syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9437ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
9544faccld 14319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
9695nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
97 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9837, 96, 97syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
10026ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10127ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀)
10390ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
104103nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ)
105 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
106105ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
107 eluz 12889 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
108104, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀 ∈ (ℤ‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
109102, 108mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘((𝑘 + 1) + 1)))
110100, 101, 109leexp2ad 14289 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ (𝑀𝑀))
11137, 96anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
112 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
113 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)
114 nn0ge0 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
115112, 113, 114expge0d 14200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀𝑀))
11636, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀𝑀))
11795nnge1d 12311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
118116, 117anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
119 lemulge11 12127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))) → (𝑀𝑀) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
120111, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀𝑀) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
12293, 94, 99, 110, 121letrd 11415 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
123122ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
12488, 123sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
125124a1dd 50 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
12652, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
127 lelttric 11365 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
12826, 126, 127syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
12986, 125, 128mpjaod 860 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
130129expcom 413 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
131130a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
1327, 13, 19, 25, 41, 131nn0ind 12710 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
133132impcom 407 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
134 faccl 14318 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
135134nnnn0d 12584 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
136135nn0ge0d 12587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
137 nn0p1nn 12562 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1381370expd 14175 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) = 0)
139 0exp0e1 14103 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
140139oveq1i 7440 . . . . . . 7 ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁))
141134nncnd 12279 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
142141mullidd 11276 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
143140, 142eqtrid 2786 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
144136, 138, 1433brtr4d 5179 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁)))
145 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) = (0↑(𝑁 + 1)))
146 oveq12 7439 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑀) = (0↑0))
147146anidms 566 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = (0↑0))
148147oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) = ((0↑0) · (!‘𝑁)))
149145, 148breq12d 5160 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁))))
150144, 149imbitrrid 246 . . . 4 (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
151150imp 406 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
152133, 151jaoian 958 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
1531, 152sylanb 581 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  cexp 14098  !cfa 14308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309
This theorem is referenced by:  faclbnd2  14326  faclbnd3  14327
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