MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem faclbnd 14252
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
Proof of Theorem faclbnd
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12475 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ (𝑀 ∈ β„• ∨ 𝑀 = 0))
2 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ (𝑗 + 1) = (0 + 1))
32oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(0 + 1)))
4 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ (!β€˜π‘—) = (!β€˜0))
54oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) = ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0)))
63, 5breq12d 5154 . . . . . 6 (𝑗 = 0 β†’ ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) ↔ (𝑀↑(0 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0))))
76imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = 0 β†’ ((𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—))) ↔ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(0 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0)))))
8 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 + 1) = (π‘˜ + 1))
98oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(π‘˜ + 1)))
10 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (!β€˜π‘—) = (!β€˜π‘˜))
1110oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) = ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)))
129, 11breq12d 5154 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) ↔ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))))
1312imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—))) ↔ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)))))
14 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑗 + 1) = ((π‘˜ + 1) + 1))
1514oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)))
16 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (!β€˜π‘—) = (!β€˜(π‘˜ + 1)))
1716oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) = ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
1815, 17breq12d 5154 . . . . . 6 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) ↔ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1)))))
1918imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—))) ↔ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
20 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 β†’ (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
2120oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑁 + 1)))
22 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 β†’ (!β€˜π‘—) = (!β€˜π‘))
2322oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) = ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
2421, 23breq12d 5154 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 β†’ ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) ↔ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘))))
2524imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 β†’ ((𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—))) ↔ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))))
26 nnre 12220 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
27 nnge1 12241 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑀)
28 elnnuz 12867 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2928biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3026, 27, 29leexp2ad 14219 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑1) ≀ (𝑀↑𝑀))
31 0p1e1 12335 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3231oveq2i 7415 . . . . . . 7 (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1)
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1))
34 fac0 14238 . . . . . . . 8 (!β€˜0) = 1
3534oveq2i 7415 . . . . . . 7 ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0)) = ((𝑀↑𝑀) Β· 1)
36 nnnn0 12480 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3726, 36reexpcld 14130 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
3837recnd 11243 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑𝑀) ∈ β„‚)
3938mulridd 11232 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· 1) = (𝑀↑𝑀))
4035, 39eqtrid 2778 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0)) = (𝑀↑𝑀))
4130, 33, 403brtr4d 5173 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(0 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0)))
4226ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
43 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
44 peano2nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
4642, 45reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
4736ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4842, 47reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
4943faccld 14246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
5049nnred 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5148, 50remulcld 11245 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
52 nn0re 12482 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
53 peano2re 11388 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
5443, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
55 nngt0 12244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑀)
5655ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 0 < 𝑀)
57 0re 11217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
58 ltle 11303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝑀 β†’ 0 ≀ 𝑀))
5957, 58mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (0 < 𝑀 β†’ 0 ≀ 𝑀))
6042, 56, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
6142, 45, 60expge0d 14131 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 0 ≀ (𝑀↑(π‘˜ + 1)))
62 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)))
63 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))
6446, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63lemul12ad 12157 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) Β· 𝑀) ≀ (((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ + 1)))
6564anandis 675 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) Β· 𝑀) ≀ (((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ + 1)))
66 nncn 12221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
67 expp1 14036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) = ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) Β· 𝑀))
6866, 44, 67syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) = ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) Β· 𝑀))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) = ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) Β· 𝑀))
70 facp1 14240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(π‘˜ + 1)) = ((!β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ + 1)))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜(π‘˜ + 1)) = ((!β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ + 1)))
7271oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) = ((𝑀↑𝑀) Β· ((!β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ + 1))))
7338adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑𝑀) ∈ β„‚)
74 faccl 14245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
7574nncnd 12229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
77 nn0cn 12483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
78 peano2cn 11387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
8173, 76, 80mulassd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ + 1)) = ((𝑀↑𝑀) Β· ((!β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ + 1))))
8272, 81eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ + 1)))
8382adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ + 1)))
8465, 69, 833brtr4d 5173 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
8584exp32 420 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) β†’ (𝑀 ≀ (π‘˜ + 1) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
8685com23 86 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ≀ (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
87 nn0ltp1le 12621 . . . . . . . . . . 11 (((π‘˜ + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) < 𝑀 ↔ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀))
8844, 36, 87syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) < 𝑀 ↔ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀))
89 peano2nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ + 1) ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„•0)
9044, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„•0)
91 reexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9226, 90, 91syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9437ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
9544faccld 14246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
9695nnred 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
97 remulcl 11194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
9837, 96, 97syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
10026ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
10127ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ 1 ≀ 𝑀)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀)
10390ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ ((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„•0)
104103nn0zd 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ ((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„€)
105 nnz 12580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
106105ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
107 eluz 12837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘˜ + 1) + 1)) ↔ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀))
108104, 106, 107syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘˜ + 1) + 1)) ↔ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀))
109102, 108mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘˜ + 1) + 1)))
110100, 101, 109leexp2ad 14219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ (𝑀↑𝑀))
11137, 96anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ))
112 nn0re 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
113 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
114 nn0ge0 12498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑀)
115112, 113, 114expge0d 14131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (𝑀↑𝑀))
11636, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 ≀ (𝑀↑𝑀))
11795nnge1d 12261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ 1 ≀ (!β€˜(π‘˜ + 1)))
118116, 117anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (𝑀↑𝑀) ∧ 1 ≀ (!β€˜(π‘˜ + 1))))
119 lemulge11 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (𝑀↑𝑀) ∧ 1 ≀ (!β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝑀↑𝑀) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
120111, 118, 119syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑𝑀) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀↑𝑀) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
12293, 94, 99, 110, 121letrd 11372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
123122ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀 β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1)))))
12488, 123sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) < 𝑀 β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1)))))
125124a1dd 50 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) < 𝑀 β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
12652, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
127 lelttric 11322 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ) β†’ (𝑀 ≀ (π‘˜ + 1) ∨ (π‘˜ + 1) < 𝑀))
12826, 126, 127syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ≀ (π‘˜ + 1) ∨ (π‘˜ + 1) < 𝑀))
12986, 125, 128mpjaod 857 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1)))))
130129expcom 413 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
131130a2d 29 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
1327, 13, 19, 25, 41, 131nn0ind 12658 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘))))
133132impcom 407 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
134 faccl 14245 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
135134nnnn0d 12533 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•0)
136135nn0ge0d 12536 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (!β€˜π‘))
137 nn0p1nn 12512 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1381370expd 14106 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0↑(𝑁 + 1)) = 0)
139 0exp0e1 14034 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
140139oveq1i 7414 . . . . . . 7 ((0↑0) Β· (!β€˜π‘)) = (1 Β· (!β€˜π‘))
141134nncnd 12229 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
142141mullidd 11233 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1 Β· (!β€˜π‘)) = (!β€˜π‘))
143140, 142eqtrid 2778 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((0↑0) Β· (!β€˜π‘)) = (!β€˜π‘))
144136, 138, 1433brtr4d 5173 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0↑(𝑁 + 1)) ≀ ((0↑0) Β· (!β€˜π‘)))
145 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑀 = 0 β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) = (0↑(𝑁 + 1)))
146 oveq12 7413 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) β†’ (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
147146anidms 566 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 β†’ (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
148147oveq1d 7419 . . . . . 6 (𝑀 = 0 β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)) = ((0↑0) Β· (!β€˜π‘)))
149145, 148breq12d 5154 . . . . 5 (𝑀 = 0 β†’ ((𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)) ↔ (0↑(𝑁 + 1)) ≀ ((0↑0) Β· (!β€˜π‘))))
150144, 149imbitrrid 245 . . . 4 (𝑀 = 0 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘))))
151150imp 406 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
152133, 151jaoian 953 . 2 (((𝑀 ∈ β„• ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
1531, 152sylanb 580 1 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11249   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  β†‘cexp 14029  !cfa 14235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236
This theorem is referenced by:  faclbnd2  14253  faclbnd3  14254
  Copyright terms: Public domain W3C validator