Theorem faclbnd 14340

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12517	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		oveq1 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 + 1) = (0 + 1))
3	2	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(0 + 1)))
4		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
5	4	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)))
6	3, 5	breq12d 5124	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0))))
7	6	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)))))
8		oveq1 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
9	8	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑘 + 1)))
10		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
11	10	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)))
12	9, 11	breq12d 5124	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))))
13	12	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)))))
14		oveq1 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
15	14	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)))
16		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
17	16	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
18	15, 17	breq12d 5124	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
19	18	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
20		oveq1 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
21	20	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑁 + 1)))
22		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
23	22	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
24	21, 23	breq12d 5124	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
25	24	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))))
26		nnre 12251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
27		nnge1 12275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
28		elnnuz 12914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
29	28	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
30	26, 27, 29	leexp2ad 14304	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑1) ≤ (𝑀↑𝑀))
31		0p1e1 12372	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
32	31	oveq2i 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1))
34		fac0 14326	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘0) = 1
35	34	oveq2i 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)) = ((𝑀↑𝑀) · 1)
36		nnnn0 12522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
37	26, 36	reexpcld 14213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
39	38	mulridd 11237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑𝑀) · 1) = (𝑀↑𝑀))
40	35, 39	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)) = (𝑀↑𝑀))
41	30, 33, 40	3brtr4d 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)))
42	26	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
43		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
44		peano2nn0 12555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
46	42, 45	reexpcld 14213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
47	36	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
48	42, 47	reexpcld 14213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
49	43	faccld 14334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
50	49	nnred 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
51	48, 50	remulcld 11250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
52		nn0re 12524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
53		peano2re 11394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
54	43, 52, 53	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
55		nngt0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
56	55	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 < 𝑀)
57		0re 11221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		ltle 11309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
59	57, 58	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
60	42, 56, 59	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ 𝑀)
61	42, 45, 60	expge0d 14214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ (𝑀↑(𝑘 + 1)))
62		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)))
63		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 12168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
65	64	anandis 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
66		nncn 12252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
67		expp1 14118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
68	66, 44, 67	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
70		facp1 14328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
71	70	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
72	71	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = ((𝑀↑𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
73	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
74		faccl 14333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
75	74	nncnd 12260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
76	75	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
77		nn0cn 12525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
78		peano2cn 11393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
79	77, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
80	79	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
81	73, 76, 80	mulassd 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)) = ((𝑀↑𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
82	72, 81	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
83	82	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
84	65, 69, 83	3brtr4d 5145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
85	84	exp32 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
86	85	com23 87	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
87		nn0ltp1le 12666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
88	44, 36, 87	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
89		peano2nn0 12555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
90	44, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
91		reexpcl 14128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
92	26, 90, 91	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
94	37	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
95	44	faccld 14334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
96	95	nnred 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
97		remulcl 11196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
98	37, 96, 97	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
99	98	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
100	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
101	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
102		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀)
103	90	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
104	103	nn0zd 12627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ)
105		nnz 12623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
106	105	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
107		eluz 12888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
108	104, 106, 107	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
109	102, 108	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘((𝑘 + 1) + 1)))
110	100, 101, 109	leexp2ad 14304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ (𝑀↑𝑀))
111	37, 96	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
112		nn0re 12524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
113		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ0)
114		nn0ge0 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
115	112, 113, 114	expge0d 14214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀↑𝑀))
116	36, 115	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀↑𝑀))
117	95	nnge1d 12295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
118	116, 117	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀↑𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
119		lemulge11 12088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀↑𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))) → (𝑀↑𝑀) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
120	111, 118, 119	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
121	120	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑𝑀) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 11378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
123	122	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
124	88, 123	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
125	124	a1dd 51	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
126	52, 53	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
127		lelttric 11328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
128	26, 126, 127	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
129	86, 125, 128	mpjaod 874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
130	129	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
131	130	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
132	7, 13, 19, 25, 41, 131	nn0ind 12703	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
133	132	impcom 413	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
134		faccl 14333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
135	134	nnnn0d 12576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
136	135	nn0ge0d 12579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
137		nn0p1nn 12554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
138	137	0expd 14189	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) = 0)
139		0exp0e1 14116	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑0) = 1
140	139	oveq1i 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁))
141	134	nncnd 12260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
142	141	mullidd 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
143	140, 142	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
144	136, 138, 143	3brtr4d 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁)))
145		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) = (0↑(𝑁 + 1)))
146		oveq12 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
147	146	anidms 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
148	147	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) = ((0↑0) · (!‘𝑁)))
149	145, 148	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁))))
150	144, 149	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
151	150	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
152	133, 151	jaoian 971	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
153	1, 152	sylanb 593	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ↑cexp 14111  !cfa 14323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324

This theorem is used by:  faclbnd2  14341  faclbnd3  14342