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Theorem faclbnd 14190
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12415 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (𝑗 + 1) = (0 + 1))
32oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(0 + 1)))
4 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
54oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘0)))
63, 5breq12d 5118 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘0))))
76imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘0)))))
8 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
98oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑘 + 1)))
10 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
1110oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)))
129, 11breq12d 5118 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))))
1312imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)))))
14 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
1514oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)))
16 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1716oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
1815, 17breq12d 5118 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
1918imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
20 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
2120oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑁 + 1)))
22 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
2322oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
2421, 23breq12d 5118 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2524imbi2d 340 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))))
26 nnre 12160 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
27 nnge1 12181 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
28 elnnuz 12807 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
2928biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
3026, 27, 29leexp2ad 14157 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑1) ≤ (𝑀𝑀))
31 0p1e1 12275 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3231oveq2i 7368 . . . . . . 7 (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1)
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1))
34 fac0 14176 . . . . . . . 8 (!‘0) = 1
3534oveq2i 7368 . . . . . . 7 ((𝑀𝑀) · (!‘0)) = ((𝑀𝑀) · 1)
36 nnnn0 12420 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3726, 36reexpcld 14068 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
3837recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) ∈ ℂ)
3938mulid1d 11172 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀𝑀) · 1) = (𝑀𝑀))
4035, 39eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀𝑀) · (!‘0)) = (𝑀𝑀))
4130, 33, 403brtr4d 5137 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘0)))
4226ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
43 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
44 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
4642, 45reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
4736ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4842, 47reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
4943faccld 14184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5049nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
5148, 50remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
52 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
53 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
5443, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
55 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
5655ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 < 𝑀)
57 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
58 ltle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
5957, 58mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
6042, 56, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ 𝑀)
6142, 45, 60expge0d 14069 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ (𝑀↑(𝑘 + 1)))
62 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)))
63 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
6446, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63lemul12ad 12097 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
6564anandis 676 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
66 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
67 expp1 13974 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
6866, 44, 67syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
70 facp1 14178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7271oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = ((𝑀𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
7338adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ∈ ℂ)
74 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
7574nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
77 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
78 peano2cn 11327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
8173, 76, 80mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)) = ((𝑀𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
8272, 81eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
8382adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
8465, 69, 833brtr4d 5137 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
8584exp32 421 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
8685com23 86 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
87 nn0ltp1le 12561 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
8844, 36, 87syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
89 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
9044, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
91 reexpcl 13984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9226, 90, 91syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9437ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
9544faccld 14184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
9695nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
97 remulcl 11136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9837, 96, 97syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
10026ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10127ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
102 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀)
10390ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
104103nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ)
105 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
106105ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
107 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
108104, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀 ∈ (ℤ‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
109102, 108mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘((𝑘 + 1) + 1)))
110100, 101, 109leexp2ad 14157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ (𝑀𝑀))
11137, 96anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
112 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
113 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)
114 nn0ge0 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
115112, 113, 114expge0d 14069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀𝑀))
11636, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀𝑀))
11795nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
118116, 117anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
119 lemulge11 12017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))) → (𝑀𝑀) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
120111, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
121120adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀𝑀) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
12293, 94, 99, 110, 121letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
123122ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
12488, 123sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
125124a1dd 50 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
12652, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
127 lelttric 11262 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
12826, 126, 127syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
12986, 125, 128mpjaod 858 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
130129expcom 414 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
131130a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
1327, 13, 19, 25, 41, 131nn0ind 12598 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
133132impcom 408 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
134 faccl 14183 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
135134nnnn0d 12473 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
136135nn0ge0d 12476 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
137 nn0p1nn 12452 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1381370expd 14044 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) = 0)
139 0exp0e1 13972 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
140139oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁))
141134nncnd 12169 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
142141mulid2d 11173 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
143140, 142eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
144136, 138, 1433brtr4d 5137 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁)))
145 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) = (0↑(𝑁 + 1)))
146 oveq12 7366 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑀) = (0↑0))
147146anidms 567 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = (0↑0))
148147oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) = ((0↑0) · (!‘𝑁)))
149145, 148breq12d 5118 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁))))
150144, 149syl5ibr 245 . . . 4 (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
151150imp 407 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
152133, 151jaoian 955 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
1531, 152sylanb 581 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  cexp 13967  !cfa 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174
This theorem is referenced by:  faclbnd2  14191  faclbnd3  14192
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