Theorem bpos1lem 26782

Description: Lemma for bpos1 26783. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos1.1	⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
bpos1.2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) → 𝜑)
bpos1.3	⊢ 𝑃 ∈ ℙ
bpos1.4	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
bpos1.5	⊢ (𝐴 · 2) = 𝐵
bpos1.6	⊢ 𝐴 < 𝑃
bpos1.7	⊢ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bpos1lem	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem bpos1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ ℙ
2		prmnn 16610	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12585	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ ℤ
5		eluzelz 12831	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluz 12835	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
8		bpos1.2	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) → 𝜑)
9	7, 8	syl6bir 253	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑁 → 𝜑))
10	3	nnrei 12220	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
12		bpos1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 2) = 𝐵
13		bpos1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
15		2re 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	14, 15	remulcli 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 2) ∈ ℝ
17	12, 16	eqeltrri 2830	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		eluzelre 12832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		remulcl 11194	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21	15, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22		bpos1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵)
23	10, 17	leloei 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ≤ 𝐵 ↔ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵))
24	22, 23	mpbir 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ≤ 𝐵
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ≤ 𝐵)
26	13	nn0cni 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
27		2cn 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	26, 27, 12	mulcomli 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 𝐴) = 𝐵
29		eluzle 12834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑁)
30		2pos 12314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
31	15, 30	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32		lemul2 12066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
33	14, 31, 32	mp3an13 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
35	29, 34	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁))
36	28, 35	eqbrtrrid 5184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ≤ (2 · 𝑁))
37	11, 18, 21, 25, 36	letrd 11370	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))
38	37	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
39		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑃))
40		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
41	39, 40	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))))
42	41	rspcev 3612	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
43	1, 38, 42	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
44		bpos1.1	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝜑)
46	45	expcom 414	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑁 < 𝑃 → 𝜑))
47		lelttric 11320	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑃))
48	10, 19, 47	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑃))
49	9, 46, 48	mpjaod 858	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109   · cmul 11114   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℕcn 12211  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ℙcprime 16607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-prm 16608

This theorem is referenced by:  bpos1  26783