Theorem bpos1lem 27602

Description: Lemma for bpos1 27603. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos1.1	⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
bpos1.2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) → 𝜑)
bpos1.3	⊢ 𝑃 ∈ ℙ
bpos1.4	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
bpos1.5	⊢ (𝐴 · 2) = 𝐵
bpos1.6	⊢ 𝐴 < 𝑃
bpos1.7	⊢ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bpos1lem	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem bpos1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ ℙ
2		prmnn 16842	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12713	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ ℤ
5		eluzelz 12968	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluz 12972	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
7	4, 5, 6	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
8		bpos1.2	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) → 𝜑)
9	7, 8	biimtrrdi 257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑁 → 𝜑))
10	3	nnrei 12337	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
12		bpos1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 2) = 𝐵
13		bpos1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 12610	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
15		2re 12410	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	14, 15	remulcli 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 2) ∈ ℝ
17	12, 16	eqeltrri 2858	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		eluzelre 12969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		remulcl 11278	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21	15, 19, 20	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22		bpos1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵)
23	10, 17	leloei 11420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ≤ 𝐵 ↔ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵))
24	22, 23	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ≤ 𝐵
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ≤ 𝐵)
26	13	nn0cni 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
27		2cn 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	26, 27, 12	mulcomli 11311	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 𝐴) = 𝐵
29		eluzle 12971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑁)
30		2pos 12440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
31	15, 30	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32		lemul2 12163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
33	14, 31, 32	mp3an13 1481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
34	19, 33	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
35	29, 34	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁))
36	28, 35	eqbrtrrid 5141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ≤ (2 · 𝑁))
37	11, 18, 21, 25, 36	letrd 11460	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))
38	37	anim2i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
39		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑃))
40		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
41	39, 40	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))))
42	41	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
43	1, 38, 42	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
44		bpos1.1	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
45	43, 44	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝜑)
46	45	expcom 419	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑁 < 𝑃 → 𝜑))
47		lelttric 11410	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑃))
48	10, 19, 47	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑃))
49	9, 46, 48	mpjaod 874	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  2c2 12390  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ℙcprime 16839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-prm 16840

This theorem is used by:  bpos1  27603