MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1lem 26646
Description: Lemma for bpos1 26647. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos1.1 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐œ‘)
bpos1.2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ) โ†’ ๐œ‘)
bpos1.3 ๐‘ƒ โˆˆ โ„™
bpos1.4 ๐ด โˆˆ โ„•0
bpos1.5 (๐ด ยท 2) = ๐ต
bpos1.6 ๐ด < ๐‘ƒ
bpos1.7 (๐‘ƒ < ๐ต โˆจ ๐‘ƒ = ๐ต)
Assertion
Ref Expression
bpos1lem (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐œ‘)
Distinct variable groups:   ๐‘,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘)   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘)

Proof of Theorem bpos1lem
StepHypRef Expression
1 bpos1.3 . . . . . 6 ๐‘ƒ โˆˆ โ„™
2 prmnn 16557 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•
43nnzi 12534 . . . 4 ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค
5 eluzelz 12780 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6 eluz 12784 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘))
74, 5, 6sylancr 588 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘))
8 bpos1.2 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ) โ†’ ๐œ‘)
97, 8syl6bir 254 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐œ‘))
103nnrei 12169 . . . . . . . 8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„
1110a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
12 bpos1.5 . . . . . . . . 9 (๐ด ยท 2) = ๐ต
13 bpos1.4 . . . . . . . . . . 11 ๐ด โˆˆ โ„•0
1413nn0rei 12431 . . . . . . . . . 10 ๐ด โˆˆ โ„
15 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
1614, 15remulcli 11178 . . . . . . . . 9 (๐ด ยท 2) โˆˆ โ„
1712, 16eqeltrri 2835 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ โ„
1817a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
19 eluzelre 12781 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
20 remulcl 11143 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
2115, 19, 20sylancr 588 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
22 bpos1.7 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ < ๐ต โˆจ ๐‘ƒ = ๐ต)
2310, 17leloei 11279 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘ƒ < ๐ต โˆจ ๐‘ƒ = ๐ต))
2422, 23mpbir 230 . . . . . . . 8 ๐‘ƒ โ‰ค ๐ต
2524a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐ต)
2613nn0cni 12432 . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„‚
27 2cn 12235 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
2826, 27, 12mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (2 ยท ๐ด) = ๐ต
29 eluzle 12783 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐‘)
30 2pos 12263 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3115, 30pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
32 lemul2 12015 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท ๐ด) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3314, 31, 32mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท ๐ด) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3419, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท ๐ด) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3529, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
3628, 35eqbrtrrid 5146 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค (2 ยท ๐‘))
3711, 18, 21, 25, 36letrd 11319 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘))
3837anim2i 618 . . . . 5 ((๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
39 breq2 5114 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ < ๐‘ โ†” ๐‘ < ๐‘ƒ))
40 breq1 5113 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
4139, 40anbi12d 632 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†” (๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
4241rspcev 3584 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
431, 38, 42sylancr 588 . . . 4 ((๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
44 bpos1.1 . . . 4 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐œ‘)
4543, 44syl 17 . . 3 ((๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐œ‘)
4645expcom 415 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ < ๐‘ƒ โ†’ ๐œ‘))
47 lelttric 11269 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘ƒ))
4810, 19, 47sylancr 588 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘ƒ))
499, 46, 48mpjaod 859 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐œ‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  bpos1  26647
  Copyright terms: Public domain W3C validator