MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1lem 27341
Description: Lemma for bpos1 27342. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos1.1 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
bpos1.2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) → 𝜑)
bpos1.3 𝑃 ∈ ℙ
bpos1.4 𝐴 ∈ ℕ0
bpos1.5 (𝐴 · 2) = 𝐵
bpos1.6 𝐴 < 𝑃
bpos1.7 (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
bpos1lem (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem bpos1lem
StepHypRef Expression
1 bpos1.3 . . . . . 6 𝑃 ∈ ℙ
2 prmnn 16708 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ
43nnzi 12639 . . . 4 𝑃 ∈ ℤ
5 eluzelz 12886 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 eluz 12890 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) ↔ 𝑃𝑁))
74, 5, 6sylancr 587 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) ↔ 𝑃𝑁))
8 bpos1.2 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) → 𝜑)
97, 8biimtrrdi 254 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑃𝑁𝜑))
103nnrei 12273 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
12 bpos1.5 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 2) = 𝐵
13 bpos1.4 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℕ0
1413nn0rei 12535 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℝ
15 2re 12338 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1614, 15remulcli 11275 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 2) ∈ ℝ
1712, 16eqeltrri 2836 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
19 eluzelre 12887 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
20 remulcl 11238 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2115, 19, 20sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22 bpos1.7 . . . . . . . . 9 (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵)
2310, 17leloei 11376 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐵 ↔ (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵))
2422, 23mpbir 231 . . . . . . . 8 𝑃𝐵
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃𝐵)
2613nn0cni 12536 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℂ
27 2cn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
2826, 27, 12mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (2 · 𝐴) = 𝐵
29 eluzle 12889 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴𝑁)
30 2pos 12367 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3115, 30pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32 lemul2 12118 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3314, 31, 32mp3an13 1451 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3419, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3529, 34mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁))
3628, 35eqbrtrrid 5184 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ≤ (2 · 𝑁))
3711, 18, 21, 25, 36letrd 11416 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))
3837anim2i 617 . . . . 5 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
39 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑃))
40 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
4139, 40anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁))))
4241rspcev 3622 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
431, 38, 42sylancr 587 . . . 4 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
44 bpos1.1 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝜑)
4645expcom 413 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑁 < 𝑃𝜑))
47 lelttric 11366 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃𝑁𝑁 < 𝑃))
4810, 19, 47sylancr 587 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑃𝑁𝑁 < 𝑃))
499, 46, 48mpjaod 860 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  bpos1  27342
  Copyright terms: Public domain W3C validator