MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1lem 25540
Description: Lemma for bpos1 25541. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos1.1 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
bpos1.2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) → 𝜑)
bpos1.3 𝑃 ∈ ℙ
bpos1.4 𝐴 ∈ ℕ0
bpos1.5 (𝐴 · 2) = 𝐵
bpos1.6 𝐴 < 𝑃
bpos1.7 (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
bpos1lem (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem bpos1lem
StepHypRef Expression
1 bpos1.3 . . . . . 6 𝑃 ∈ ℙ
2 prmnn 15847 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ
43nnzi 11856 . . . 4 𝑃 ∈ ℤ
5 eluzelz 12103 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 eluz 12107 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) ↔ 𝑃𝑁))
74, 5, 6sylancr 587 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) ↔ 𝑃𝑁))
8 bpos1.2 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) → 𝜑)
97, 8syl6bir 255 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑃𝑁𝜑))
103nnrei 11497 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
12 bpos1.5 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 2) = 𝐵
13 bpos1.4 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℕ0
1413nn0rei 11758 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℝ
15 2re 11561 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1614, 15remulcli 10506 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 2) ∈ ℝ
1712, 16eqeltrri 2879 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
19 eluzelre 12104 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
20 remulcl 10471 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2115, 19, 20sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22 bpos1.7 . . . . . . . . 9 (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵)
2310, 17leloei 10606 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐵 ↔ (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵))
2422, 23mpbir 232 . . . . . . . 8 𝑃𝐵
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃𝐵)
2613nn0cni 11759 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℂ
27 2cn 11562 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
2826, 27, 12mulcomli 10499 . . . . . . . 8 (2 · 𝐴) = 𝐵
29 eluzle 12106 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴𝑁)
30 2pos 11590 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3115, 30pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32 lemul2 11343 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3314, 31, 32mp3an13 1444 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3419, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3529, 34mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁))
3628, 35eqbrtrrid 5000 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ≤ (2 · 𝑁))
3711, 18, 21, 25, 36letrd 10646 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))
3837anim2i 616 . . . . 5 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
39 breq2 4968 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑃))
40 breq1 4967 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
4139, 40anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁))))
4241rspcev 3557 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
431, 38, 42sylancr 587 . . . 4 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
44 bpos1.1 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝜑)
4645expcom 414 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑁 < 𝑃𝜑))
47 lelttric 10596 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃𝑁𝑁 < 𝑃))
4810, 19, 47sylancr 587 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑃𝑁𝑁 < 𝑃))
499, 46, 48mpjaod 855 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2080  wrex 3105   class class class wbr 4964  cfv 6228  (class class class)co 7019  cr 10385  0cc0 10386   · cmul 10391   < clt 10524  cle 10525  cn 11488  2c2 11542  0cn0 11747  cz 11831  cuz 12093  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-prm 15845
This theorem is referenced by:  bpos1  25541
  Copyright terms: Public domain W3C validator