Theorem bpos1lem 27343

Description: Lemma for bpos1 27344. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos1.1	⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
bpos1.2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) → 𝜑)
bpos1.3	⊢ 𝑃 ∈ ℙ
bpos1.4	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
bpos1.5	⊢ (𝐴 · 2) = 𝐵
bpos1.6	⊢ 𝐴 < 𝑃
bpos1.7	⊢ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bpos1lem	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem bpos1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ ℙ
2		prmnn 16708	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12595	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ ℤ
5		eluzelz 12849	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluz 12853	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
7	4, 5, 6	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
8		bpos1.2	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) → 𝜑)
9	7, 8	biimtrrdi 256	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑁 → 𝜑))
10	3	nnrei 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
12		bpos1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 2) = 𝐵
13		bpos1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
15		2re 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	14, 15	remulcli 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 2) ∈ ℝ
17	12, 16	eqeltrri 2859	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		eluzelre 12850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		remulcl 11158	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21	15, 19, 20	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22		bpos1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵)
23	10, 17	leloei 11300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ≤ 𝐵 ↔ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵))
24	22, 23	mpbir 233	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ≤ 𝐵
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ≤ 𝐵)
26	13	nn0cni 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
27		2cn 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	26, 27, 12	mulcomli 11191	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 𝐴) = 𝐵
29		eluzle 12852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑁)
30		2pos 12322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
31	15, 30	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32		lemul2 12044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
33	14, 31, 32	mp3an13 1473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
35	29, 34	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁))
36	28, 35	eqbrtrrid 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ≤ (2 · 𝑁))
37	11, 18, 21, 25, 36	letrd 11340	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))
38	37	anim2i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
39		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑃))
40		breq1 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
41	39, 40	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))))
42	41	rspcev 3581	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
43	1, 38, 42	sylancr 596	. . . 4 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
44		bpos1.1	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝜑)
46	45	expcom 417	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑁 < 𝑃 → 𝜑))
47		lelttric 11290	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑃))
48	10, 19, 47	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑃))
49	9, 46, 48	mpjaod 871	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073   · cmul 11078   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℕcn 12210  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  bpos1  27344