MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1lem 27327
Description: Lemma for bpos1 27328. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos1.1 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
bpos1.2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) → 𝜑)
bpos1.3 𝑃 ∈ ℙ
bpos1.4 𝐴 ∈ ℕ0
bpos1.5 (𝐴 · 2) = 𝐵
bpos1.6 𝐴 < 𝑃
bpos1.7 (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
bpos1lem (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem bpos1lem
StepHypRef Expression
1 bpos1.3 . . . . . 6 𝑃 ∈ ℙ
2 prmnn 16712 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ
43nnzi 12643 . . . 4 𝑃 ∈ ℤ
5 eluzelz 12889 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 eluz 12893 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) ↔ 𝑃𝑁))
74, 5, 6sylancr 587 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) ↔ 𝑃𝑁))
8 bpos1.2 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) → 𝜑)
97, 8biimtrrdi 254 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑃𝑁𝜑))
103nnrei 12276 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
12 bpos1.5 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 2) = 𝐵
13 bpos1.4 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℕ0
1413nn0rei 12539 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℝ
15 2re 12341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1614, 15remulcli 11278 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 2) ∈ ℝ
1712, 16eqeltrri 2837 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
19 eluzelre 12890 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
20 remulcl 11241 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2115, 19, 20sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22 bpos1.7 . . . . . . . . 9 (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵)
2310, 17leloei 11379 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐵 ↔ (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵))
2422, 23mpbir 231 . . . . . . . 8 𝑃𝐵
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃𝐵)
2613nn0cni 12540 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℂ
27 2cn 12342 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
2826, 27, 12mulcomli 11271 . . . . . . . 8 (2 · 𝐴) = 𝐵
29 eluzle 12892 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴𝑁)
30 2pos 12370 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3115, 30pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32 lemul2 12121 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3314, 31, 32mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3419, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3529, 34mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁))
3628, 35eqbrtrrid 5178 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ≤ (2 · 𝑁))
3711, 18, 21, 25, 36letrd 11419 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))
3837anim2i 617 . . . . 5 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
39 breq2 5146 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑃))
40 breq1 5145 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
4139, 40anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁))))
4241rspcev 3621 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
431, 38, 42sylancr 587 . . . 4 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
44 bpos1.1 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝜑)
4645expcom 413 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑁 < 𝑃𝜑))
47 lelttric 11369 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃𝑁𝑁 < 𝑃))
4810, 19, 47sylancr 587 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑃𝑁𝑁 < 𝑃))
499, 46, 48mpjaod 860 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cn 12267  2c2 12322  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  cprime 16709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-prm 16710
This theorem is referenced by:  bpos1  27328
  Copyright terms: Public domain W3C validator