Theorem bpos1lem 27303

Description: Lemma for bpos1 27304. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos1.1	⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
bpos1.2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) → 𝜑)
bpos1.3	⊢ 𝑃 ∈ ℙ
bpos1.4	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
bpos1.5	⊢ (𝐴 · 2) = 𝐵
bpos1.6	⊢ 𝐴 < 𝑃
bpos1.7	⊢ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bpos1lem	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem bpos1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ ℙ
2		prmnn 16670	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12633	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ ℤ
5		eluzelz 12879	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluz 12883	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
7	4, 5, 6	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
8		bpos1.2	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) → 𝜑)
9	7, 8	biimtrrdi 253	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑁 → 𝜑))
10	3	nnrei 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
12		bpos1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 2) = 𝐵
13		bpos1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 12530	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
15		2re 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	14, 15	remulcli 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 2) ∈ ℝ
17	12, 16	eqeltrri 2822	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		eluzelre 12880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		remulcl 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21	15, 19, 20	sylancr 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22		bpos1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵)
23	10, 17	leloei 11377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ≤ 𝐵 ↔ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵))
24	22, 23	mpbir 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ≤ 𝐵
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ≤ 𝐵)
26	13	nn0cni 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
27		2cn 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	26, 27, 12	mulcomli 11269	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 𝐴) = 𝐵
29		eluzle 12882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑁)
30		2pos 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
31	15, 30	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32		lemul2 12114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
33	14, 31, 32	mp3an13 1448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
35	29, 34	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁))
36	28, 35	eqbrtrrid 5188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ≤ (2 · 𝑁))
37	11, 18, 21, 25, 36	letrd 11417	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))
38	37	anim2i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
39		breq2 5156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑃))
40		breq1 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
41	39, 40	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))))
42	41	rspcev 3607	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
43	1, 38, 42	sylancr 585	. . . 4 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
44		bpos1.1	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝜑)
46	45	expcom 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑁 < 𝑃 → 𝜑))
47		lelttric 11367	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑃))
48	10, 19, 47	sylancr 585	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑃))
49	9, 46, 48	mpjaod 858	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  ℝcr 11153  0cc0 11154   · cmul 11159   < clt 11294   ≤ cle 11295  ℕcn 12259  2c2 12314  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12605  ℤ_≥cuz 12869  ℙcprime 16667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-prm 16668

This theorem is referenced by:  bpos1  27304