Theorem bpos1lem 27497

Description: Lemma for bpos1 27498. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos1.1	⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
bpos1.2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) → 𝜑)
bpos1.3	⊢ 𝑃 ∈ ℙ
bpos1.4	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
bpos1.5	⊢ (𝐴 · 2) = 𝐵
bpos1.6	⊢ 𝐴 < 𝑃
bpos1.7	⊢ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bpos1lem	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem bpos1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ ℙ
2		prmnn 16754	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12633	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ ℤ
5		eluzelz 12888	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluz 12892	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
7	4, 5, 6	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
8		bpos1.2	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑃) → 𝜑)
9	7, 8	biimtrrdi 257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑁 → 𝜑))
10	3	nnrei 12257	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
12		bpos1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 2) = 𝐵
13		bpos1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 12530	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
15		2re 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	14, 15	remulcli 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 2) ∈ ℝ
17	12, 16	eqeltrri 2862	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		eluzelre 12889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		remulcl 11200	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21	15, 19, 20	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22		bpos1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵)
23	10, 17	leloei 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ≤ 𝐵 ↔ (𝑃 < 𝐵 ∨ 𝑃 = 𝐵))
24	22, 23	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ≤ 𝐵
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ≤ 𝐵)
26	13	nn0cni 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
27		2cn 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	26, 27, 12	mulcomli 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 𝐴) = 𝐵
29		eluzle 12891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑁)
30		2pos 12360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
31	15, 30	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32		lemul2 12083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
33	14, 31, 32	mp3an13 1481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
34	19, 33	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
35	29, 34	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁))
36	28, 35	eqbrtrrid 5149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ≤ (2 · 𝑁))
37	11, 18, 21, 25, 36	letrd 11382	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))
38	37	anim2i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
39		breq2 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑃))
40		breq1 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
41	39, 40	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))))
42	41	rspcev 3583	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
43	1, 38, 42	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
44		bpos1.1	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
45	43, 44	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝜑)
46	45	expcom 419	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑁 < 𝑃 → 𝜑))
47		lelttric 11332	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑃))
48	10, 19, 47	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑃))
49	9, 46, 48	mpjaod 874	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115   · cmul 11120   < clt 11258   ≤ cle 11259  ℕcn 12248  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ℙcprime 16751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-prm 16752

This theorem is used by:  bpos1  27498