MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1lem 27170
Description: Lemma for bpos1 27171. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos1.1 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐œ‘)
bpos1.2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ) โ†’ ๐œ‘)
bpos1.3 ๐‘ƒ โˆˆ โ„™
bpos1.4 ๐ด โˆˆ โ„•0
bpos1.5 (๐ด ยท 2) = ๐ต
bpos1.6 ๐ด < ๐‘ƒ
bpos1.7 (๐‘ƒ < ๐ต โˆจ ๐‘ƒ = ๐ต)
Assertion
Ref Expression
bpos1lem (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐œ‘)
Distinct variable groups:   ๐‘,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘)   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘)

Proof of Theorem bpos1lem
StepHypRef Expression
1 bpos1.3 . . . . . 6 ๐‘ƒ โˆˆ โ„™
2 prmnn 16618 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•
43nnzi 12590 . . . 4 ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค
5 eluzelz 12836 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6 eluz 12840 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘))
74, 5, 6sylancr 586 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘))
8 bpos1.2 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ) โ†’ ๐œ‘)
97, 8syl6bir 254 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐œ‘))
103nnrei 12225 . . . . . . . 8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„
1110a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
12 bpos1.5 . . . . . . . . 9 (๐ด ยท 2) = ๐ต
13 bpos1.4 . . . . . . . . . . 11 ๐ด โˆˆ โ„•0
1413nn0rei 12487 . . . . . . . . . 10 ๐ด โˆˆ โ„
15 2re 12290 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
1614, 15remulcli 11234 . . . . . . . . 9 (๐ด ยท 2) โˆˆ โ„
1712, 16eqeltrri 2824 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ โ„
1817a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
19 eluzelre 12837 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
20 remulcl 11197 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
2115, 19, 20sylancr 586 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
22 bpos1.7 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ < ๐ต โˆจ ๐‘ƒ = ๐ต)
2310, 17leloei 11335 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘ƒ < ๐ต โˆจ ๐‘ƒ = ๐ต))
2422, 23mpbir 230 . . . . . . . 8 ๐‘ƒ โ‰ค ๐ต
2524a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐ต)
2613nn0cni 12488 . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„‚
27 2cn 12291 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
2826, 27, 12mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (2 ยท ๐ด) = ๐ต
29 eluzle 12839 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐‘)
30 2pos 12319 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3115, 30pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
32 lemul2 12071 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท ๐ด) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3314, 31, 32mp3an13 1448 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท ๐ด) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3419, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท ๐ด) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3529, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
3628, 35eqbrtrrid 5177 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค (2 ยท ๐‘))
3711, 18, 21, 25, 36letrd 11375 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘))
3837anim2i 616 . . . . 5 ((๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
39 breq2 5145 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ < ๐‘ โ†” ๐‘ < ๐‘ƒ))
40 breq1 5144 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
4139, 40anbi12d 630 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†” (๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
4241rspcev 3606 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
431, 38, 42sylancr 586 . . . 4 ((๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
44 bpos1.1 . . . 4 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐œ‘)
4543, 44syl 17 . . 3 ((๐‘ < ๐‘ƒ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐œ‘)
4645expcom 413 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ < ๐‘ƒ โ†’ ๐œ‘))
47 lelttric 11325 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘ƒ))
4810, 19, 47sylancr 586 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘ƒ))
499, 46, 48mpjaod 857 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐œ‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„™cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  bpos1  27171
  Copyright terms: Public domain W3C validator