Theorem reorelicc 47396

Description: Membership in and outside of a closed real interval. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reorelicc	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶))

Proof of Theorem reorelicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 866	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2	1	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 < 𝐴 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
3		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
5		lenlt 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
6	5	biimprd 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 < 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	6	3adant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 < 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (¬ 𝐶 < 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9	8	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐶)
10		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ≤ 𝐵)
11		3simpa 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13		elicc2 13389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
15	4, 9, 10, 14	mpbir3and 1343	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16	15	olcd 873	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
17	16	expcom 415	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 < 𝐴 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
18	2, 17	pm2.61i 182	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
19	18	orcd 872	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
20	19	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶)))
21		olc 867	. . . 4 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶)))
23		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		lelttric 11321	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐶))
25	3, 23, 24	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐶))
26	20, 22, 25	mpjaod 859	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
27		df-3or 1089	. 2 ⊢ ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶) ↔ ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
28	26, 27	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109   < clt 11248   ≤ cle 11249  [,]cicc 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331

This theorem is referenced by:  eenglngeehlnmlem2  47424