Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reorelicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reorelicc 48636
Description: Membership in and outside of a closed real interval. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
reorelicc ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶))

Proof of Theorem reorelicc
StepHypRef Expression
1 orc 867 . . . . . . 7 (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
21a1d 25 . . . . . 6 (𝐶 < 𝐴 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
3 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
43ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
5 lenlt 11340 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
65biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 < 𝐴𝐴𝐶))
763adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 < 𝐴𝐴𝐶))
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → (¬ 𝐶 < 𝐴𝐴𝐶))
98imp 406 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐴𝐶)
10 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶𝐵)
11 3simpa 1148 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13 elicc2 13453 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
154, 9, 10, 14mpbir3and 1342 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1615olcd 874 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
1716expcom 413 . . . . . 6 𝐶 < 𝐴 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
182, 17pm2.61i 182 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
1918orcd 873 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
2019ex 412 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵 → ((𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶)))
21 olc 868 . . . 4 (𝐵 < 𝐶 → ((𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
2221a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → ((𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶)))
23 simp2 1137 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 lelttric 11369 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵𝐵 < 𝐶))
253, 23, 24syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵𝐵 < 𝐶))
2620, 22, 25mpjaod 860 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
27 df-3or 1087 . 2 ((𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶) ↔ ((𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
2826, 27sylibr 234 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086  wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  cr 11155   < clt 11296  cle 11297  [,]cicc 13391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-icc 13395
This theorem is referenced by:  eenglngeehlnmlem2  48664
  Copyright terms: Public domain W3C validator