Theorem reorelicc 48636

Description: Membership in and outside of a closed real interval. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reorelicc	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶))

Proof of Theorem reorelicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2	1	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 < 𝐴 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
3		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
5		lenlt 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
6	5	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 < 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	6	3adant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 < 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (¬ 𝐶 < 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9	8	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐶)
10		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ≤ 𝐵)
11		3simpa 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13		elicc2 13453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
15	4, 9, 10, 14	mpbir3and 1342	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16	15	olcd 874	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
17	16	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 < 𝐴 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
18	2, 17	pm2.61i 182	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
19	18	orcd 873	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
20	19	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶)))
21		olc 868	. . . 4 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶)))
23		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		lelttric 11369	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐶))
25	3, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐶))
26	20, 22, 25	mpjaod 860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
27		df-3or 1087	. 2 ⊢ ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶) ↔ ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
28	26, 27	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155   < clt 11296   ≤ cle 11297  [,]cicc 13391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-icc 13395

This theorem is referenced by:  eenglngeehlnmlem2  48664