Theorem reorelicc 49915

Description: Membership in and outside of a closed real interval. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reorelicc	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶))

Proof of Theorem reorelicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 881	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2	1	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 < 𝐴 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
3		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
5		lenlt 11391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
6	5	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 < 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	6	3adant2 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 < 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (¬ 𝐶 < 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9	8	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐶)
10		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ≤ 𝐵)
11		3simpa 1166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13		elicc2 13545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
15	4, 9, 10, 14	mpbir3and 1361	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16	15	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 < 𝐴) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
17	16	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 < 𝐴 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
18	2, 17	pm2.61i 184	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
19	18	orcd 887	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
20	19	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶)))
21		olc 882	. . . 4 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶)))
23		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		lelttric 11420	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐶))
25	3, 23, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐶))
26	20, 22, 25	mpjaod 874	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
27		df-3or 1104	. 2 ⊢ ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶) ↔ ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∨ 𝐵 < 𝐶))
28	26, 27	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202   < clt 11346   ≤ cle 11347  [,]cicc 13482

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-icc 13486

This theorem is used by:  eenglngeehlnmlem2  49944