Theorem fzouzsplit 12881

Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzsplit	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))

Proof of Theorem fzouzsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		eluzelre 12063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		lelttric 10541	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐵))
5	4	orcomd 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 < 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝑥))
6		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7		eluzelz 12062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		elfzo2 12851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵))
9		df-3an 1070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
10	8, 9	bitri 267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
11	10	baib 528	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
12	6, 7, 11	syl2anr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
13		eluzelz 12062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
14		eluz 12066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
15	7, 13, 14	syl2an 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
16	12, 15	orbi12d 902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 < 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝑥)))
17	5, 16	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
18	17	ex 405	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵))))
19		elun 4008	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
20	18, 19	syl6ibr 244	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵))))
21	20	ssrdv 3858	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) ⊆ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))
22		elfzouz 12852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
23	22	ssriv 3856	. . . 4 ⊢ (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
25		uzss 12073	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
26	24, 25	unssd 4044	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
27	21, 26	eqssd 3869	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ∪ cun 3821   ⊆ wss 3823   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℝcr 10328   < clt 10468   ≤ cle 10469  ℤcz 11787  ℤ_≥cuz 12052  ..^cfzo 12843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-fzo 12844

This theorem is referenced by:  bitsres  15676  sseqfn  31294  sseqf  31296  poimirlem30  34363  mblfinlem2  34371  fmtno4prmfac  43102  wtgoldbnnsum4prm  43335  bgoldbnnsum3prm  43337