Theorem fzouzsplit 13672

Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzsplit	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))

Proof of Theorem fzouzsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		eluzelre 12838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		lelttric 11326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐵))
5	4	orcomd 868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 < 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝑥))
6		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7		eluzelz 12837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		elfzo2 13640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵))
9		df-3an 1088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
10	8, 9	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
11	10	baib 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
12	6, 7, 11	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
13		eluzelz 12837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
14		eluz 12841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
15	7, 13, 14	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
16	12, 15	orbi12d 916	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 < 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝑥)))
17	5, 16	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
18	17	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵))))
19		elun 4149	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
20	18, 19	imbitrrdi 251	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵))))
21	20	ssrdv 3989	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) ⊆ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))
22		elfzouz 13641	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
23	22	ssriv 3987	. . . 4 ⊢ (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
25		uzss 12850	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
26	24, 25	unssd 4187	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
27	21, 26	eqssd 4000	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  ℝcr 11112   < clt 11253   ≤ cle 11254  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827  ..^cfzo 13632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633

This theorem is referenced by:  bitsres  16419  sseqfn  33684  sseqf  33686  poimirlem30  36822  mblfinlem2  36830  fmtno4prmfac  46540  wtgoldbnnsum4prm  46770  bgoldbnnsum3prm  46772