Theorem fzouzsplit 13586

Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzsplit	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))

Proof of Theorem fzouzsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		eluzelre 12735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		lelttric 11212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐵))
5	4	orcomd 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 < 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝑥))
6		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7		eluzelz 12734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		elfzo2 13554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵))
9		df-3an 1088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
10	8, 9	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
11	10	baib 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
12	6, 7, 11	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
13		eluzelz 12734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
14		eluz 12738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
15	7, 13, 14	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
16	12, 15	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 < 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝑥)))
17	5, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
18	17	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵))))
19		elun 4101	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
20	18, 19	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵))))
21	20	ssrdv 3938	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) ⊆ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))
22		elfzouz 13555	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
23	22	ssriv 3936	. . . 4 ⊢ (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
25		uzss 12747	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
26	24, 25	unssd 4140	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
27	21, 26	eqssd 3950	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3898   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℝcr 10997   < clt 11138   ≤ cle 11139  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724  ..^cfzo 13546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547

This theorem is referenced by:  bitsres  16376  nn0split01  32790  evl1deg2  33530  evl1deg3  33531  sseqfn  34393  sseqf  34395  poimirlem30  37669  mblfinlem2  37677  fmtno4prmfac  47582  wtgoldbnnsum4prm  47812  bgoldbnnsum3prm  47814