Theorem fzouzsplit 13662

Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzsplit	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))

Proof of Theorem fzouzsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		eluzelre 12811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		lelttric 11288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐵))
5	4	orcomd 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 < 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝑥))
6		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7		eluzelz 12810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		elfzo2 13630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵))
9		df-3an 1088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
10	8, 9	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
11	10	baib 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
12	6, 7, 11	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
13		eluzelz 12810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
14		eluz 12814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
15	7, 13, 14	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
16	12, 15	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 < 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝑥)))
17	5, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
18	17	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵))))
19		elun 4119	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
20	18, 19	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵))))
21	20	ssrdv 3955	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) ⊆ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))
22		elfzouz 13631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
23	22	ssriv 3953	. . . 4 ⊢ (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
25		uzss 12823	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
26	24, 25	unssd 4158	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
27	21, 26	eqssd 3967	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ..^cfzo 13622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623

This theorem is referenced by:  bitsres  16450  nn0split01  32749  evl1deg2  33553  evl1deg3  33554  sseqfn  34388  sseqf  34390  poimirlem30  37651  mblfinlem2  37659  fmtno4prmfac  47577  wtgoldbnnsum4prm  47807  bgoldbnnsum3prm  47809