Theorem uzsplit 13541

Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 13542) union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzsplit	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))

Proof of Theorem uzsplit

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		eluzelre 12790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
3		lelttric 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁))
5		eluzelz 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluzelz 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		eluz 12793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
9		eluzle 12792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
10	6, 9	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
12		eluzel2 12784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		elfzm11 13540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑁)))
14		df-3an 1089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁))
15	13, 14	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
16	12, 5, 15	syl2anr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
17	11, 16	mpbirand 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 < 𝑁))
18	8, 17	orbi12d 919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁)))
19	4, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
20	19	orcomd 872	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))))
22		elfzuz 13465	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24		uztrn 12797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	24	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
26	23, 25	jaod 860	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
27	21, 26	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))))
28		elun 4094	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
29	27, 28	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁))))
30	29	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  nn0split  13588  uniioombllem3  25562  uniioombllem4  25563  plyaddlem1  26188  plymullem1  26189  trclfvdecomr  44173  nnsplit  45806  sbgoldbo  48275  aacllem  50288