Theorem uzsplit 12982

Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 12983) union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzsplit	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))

Proof of Theorem uzsplit

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		eluzelre 12257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
3		lelttric 10749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁))
5		eluzelz 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluzelz 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		eluz 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
9		eluzle 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
10	6, 9	jca 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
11	10	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
12		eluzel2 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		elfzm11 12981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑁)))
14		df-3an 1085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁))
15	13, 14	syl6bb 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
16	12, 5, 15	syl2anr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
17	11, 16	mpbirand 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 < 𝑁))
18	8, 17	orbi12d 915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁)))
19	4, 18	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
20	19	orcomd 867	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
21	20	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))))
22		elfzuz 12907	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24		uztrn 12264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	24	expcom 416	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
26	23, 25	jaod 855	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
27	21, 26	impbid 214	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))))
28		elun 4127	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
29	27, 28	syl6bbr 291	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁))))
30	29	eqrdv 2821	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3936   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  1c1 10540   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  nn0split  13025  uniioombllem3  24188  uniioombllem4  24189  plyaddlem1  24805  plymullem1  24806  trclfvdecomr  40080  nnsplit  41633  sbgoldbo  43959  aacllem  44909