MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsplit 12788
Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 12789) union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzsplit (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)))

Proof of Theorem uzsplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12062 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2 eluzelre 12062 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
3 lelttric 10539 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁))
41, 2, 3syl2an 586 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁))
5 eluzelz 12061 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 eluzelz 12061 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 eluz 12065 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑘))
85, 6, 7syl2an 586 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑘))
9 eluzle 12064 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
106, 9jca 504 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
1110adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
12 eluzel2 12056 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 elfzm11 12787 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘 < 𝑁)))
14 df-3an 1070 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘 < 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁))
1513, 14syl6bb 279 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
1612, 5, 15syl2anr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
1711, 16mpbirand 694 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 < 𝑁))
188, 17orbi12d 902 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁)))
194, 18mpbird 249 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
2019orcomd 857 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)))
2120ex 405 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))))
22 elfzuz 12713 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
24 uztrn 12068 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2524expcom 406 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
2623, 25jaod 845 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
2721, 26impbid 204 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))))
28 elun 4010 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)))
2927, 28syl6bbr 281 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁))))
3029eqrdv 2770 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  cun 3823   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  cr 10326  1c1 10328   < clt 10466  cle 10467  cmin 10662  cz 11786  cuz 12051  ...cfz 12701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702
This theorem is referenced by:  nn0split  12831  uniioombllem3  23879  uniioombllem4  23880  plyaddlem1  24496  plymullem1  24497  trclfvdecomr  39381  nnsplit  41001  sbgoldbo  43260  aacllem  44209
  Copyright terms: Public domain W3C validator