MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsplit 13569
Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 13570) union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzsplit (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)))

Proof of Theorem uzsplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12829 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2 eluzelre 12829 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
3 lelttric 11317 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁))
41, 2, 3syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁))
5 eluzelz 12828 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 eluzelz 12828 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 eluz 12832 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑘))
85, 6, 7syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑘))
9 eluzle 12831 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
106, 9jca 513 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
1110adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
12 eluzel2 12823 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 elfzm11 13568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘 < 𝑁)))
14 df-3an 1090 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘 < 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁))
1513, 14bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
1612, 5, 15syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
1711, 16mpbirand 706 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 < 𝑁))
188, 17orbi12d 918 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁)))
194, 18mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
2019orcomd 870 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)))
2120ex 414 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))))
22 elfzuz 13493 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
24 uztrn 12836 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2524expcom 415 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
2623, 25jaod 858 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
2721, 26impbid 211 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))))
28 elun 4147 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)))
2927, 28bitr4di 289 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁))))
3029eqrdv 2731 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3945   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  1c1 11107   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  cz 12554  cuz 12818  ...cfz 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
This theorem is referenced by:  nn0split  13612  uniioombllem3  25084  uniioombllem4  25085  plyaddlem1  25709  plymullem1  25710  trclfvdecomr  42412  nnsplit  44003  sbgoldbo  46390  aacllem  47750
  Copyright terms: Public domain W3C validator