MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsplit 12974
Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 12975) union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzsplit (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)))

Proof of Theorem uzsplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12242 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2 eluzelre 12242 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
3 lelttric 10736 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁))
41, 2, 3syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁))
5 eluzelz 12241 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 eluzelz 12241 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 eluz 12245 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑘))
85, 6, 7syl2an 598 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑘))
9 eluzle 12244 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
106, 9jca 515 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
1110adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
12 eluzel2 12236 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 elfzm11 12973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘 < 𝑁)))
14 df-3an 1086 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘 < 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁))
1513, 14syl6bb 290 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
1612, 5, 15syl2anr 599 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
1711, 16mpbirand 706 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 < 𝑁))
188, 17orbi12d 916 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁)))
194, 18mpbird 260 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
2019orcomd 868 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)))
2120ex 416 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))))
22 elfzuz 12898 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
24 uztrn 12249 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2524expcom 417 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
2623, 25jaod 856 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
2721, 26impbid 215 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))))
28 elun 4076 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)))
2927, 28syl6bbr 292 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁))))
3029eqrdv 2796 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  cun 3879   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cr 10525  1c1 10527   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  nn0split  13017  uniioombllem3  24189  uniioombllem4  24190  plyaddlem1  24810  plymullem1  24811  trclfvdecomr  40427  nnsplit  41988  sbgoldbo  44303  aacllem  45327
  Copyright terms: Public domain W3C validator