Theorem uzsplit 13643

Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 13644) union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzsplit	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))

Proof of Theorem uzsplit

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		eluzelre 12891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
3		lelttric 11335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁))
5		eluzelz 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluzelz 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		eluz 12894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
8	5, 6, 7	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
9		eluzle 12893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
10	6, 9	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
11	10	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
12		eluzel2 12885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		elfzm11 13642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑁)))
14		df-3an 1105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁))
15	13, 14	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
16	12, 5, 15	syl2anr 609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
17	11, 16	mpbirand 720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 < 𝑁))
18	8, 17	orbi12d 932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁)))
19	4, 18	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
20	19	orcomd 885	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
21	20	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))))
22		elfzuz 13566	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24		uztrn 12898	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	24	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
26	23, 25	jaod 873	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
27	21, 26	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))))
28		elun 4110	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
29	27, 28	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁))))
30	29	eqrdv 2764	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3906   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  1c1 11119   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554

This theorem is used by:  nn0split  13690  uniioombllem3  25781  uniioombllem4  25782  plyaddlem1  26407  plymullem1  26408  trclfvdecomr  44495  nnsplit  46115  sbgoldbo  48593  aacllem  50662