Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzuntgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzuntgd 41804
Description: Union of two adjacent or overlapping finite sets of sequential integers. (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fzuntgd.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fzuntgd.l (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
fzuntgd.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fzuntgd.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fzuntgd.km (𝜑𝐾𝑀)
fzuntgd.ml (𝜑𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
fzuntgd.ln (𝜑𝐿𝑁)
Assertion
Ref Expression
fzuntgd (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzuntgd
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 12510 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
2 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝑗 ∈ ℝ)
3 fzuntgd.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
43zred 12614 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
54ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
6 fzuntgd.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76zred 12614 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝑗𝐿)
10 fzuntgd.ln . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿𝑁)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝐿𝑁)
122, 5, 8, 9, 11letrd 11319 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝑗𝑁)
1312ex 414 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗𝐿𝑗𝑁))
1413anim2d 613 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾𝑗𝑗𝐿) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
15 fzuntgd.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1615zred 12614 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
18 fzuntgd.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1918zred 12614 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
21 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
22 fzuntgd.km . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝑀)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝐾𝑀)
24 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑀𝑗)
2517, 20, 21, 23, 24letrd 11319 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝐾𝑗)
2625ex 414 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀𝑗𝐾𝑗))
2726anim1d 612 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀𝑗𝑗𝑁) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
2814, 27jaod 858 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
291, 28sylan2 594 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
30 orc 866 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑗 → (𝐾𝑗𝑀𝑗))
31 orc 866 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑗 → (𝐾𝑗𝑗𝑁))
3230, 31jca 513 . . . . . . . 8 (𝐾𝑗 → ((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
3332ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
34 animorrl 980 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐿) → (𝑗𝐿𝑀𝑗))
3519ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
36 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℝ → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
374, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
39 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
4039zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
41 fzuntgd.ml . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
43 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
4435, 38, 40, 42, 43letrd 11319 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀𝑗)
4544olcd 873 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑗𝐿𝑀𝑗))
46 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℤ)
4746zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
483adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
4948zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
50 lelttric 11269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑗𝐿𝐿 < 𝑗))
5147, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝐿𝐿 < 𝑗))
52 zltp1le 12560 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑗 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
533, 52sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑗 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
5453orbi2d 915 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗𝐿𝐿 < 𝑗) ↔ (𝑗𝐿 ∨ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)))
5551, 54mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝐿 ∨ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
5634, 45, 55mpjaodan 958 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝐿𝑀𝑗))
5756adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → (𝑗𝐿𝑀𝑗))
58 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
5958olcd 873 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → (𝑗𝐿𝑗𝑁))
6057, 59jca 513 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝑗𝐿𝑀𝑗) ∧ (𝑗𝐿𝑗𝑁)))
61 orddi 1009 . . . . . . 7 (((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) ∧ ((𝑗𝐿𝑀𝑗) ∧ (𝑗𝐿𝑗𝑁))))
6233, 60, 61sylanbrc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))
6362ex 414 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑗𝑗𝑁) → ((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
6429, 63impbid 211 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
6564pm5.32da 580 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
66 elfz1 13436 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝐿)))
6715, 3, 66syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝐿)))
68 3anass 1096 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝐿)))
6967, 68bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝐿))))
70 elfz1 13436 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁)))
7118, 6, 70syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁)))
72 3anass 1096 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))
7371, 72bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
7469, 73orbi12d 918 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
75 elun 4113 . . . 4 (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
76 andi 1007 . . . 4 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
7774, 75, 763bitr4g 314 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
78 elfz1 13436 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁)))
7915, 6, 78syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁)))
80 3anass 1096 . . . 4 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
8179, 80bitrdi 287 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
8265, 77, 813bitr4d 311 . 2 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
8382eqrdv 2735 1 (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3913   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cz 12506  ...cfz 13431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-fz 13432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator