Theorem fzuntgd 44459

Description: Union of two adjacent or overlapping finite sets of sequential integers. (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzuntgd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fzuntgd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
fzuntgd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzuntgd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzuntgd.km	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
fzuntgd.ml	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
fzuntgd.ln	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzuntgd	⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzuntgd

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12697	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
2		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ∈ ℝ)
3		fzuntgd.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	zred 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
6		fzuntgd.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	zred 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝐿)
10		fzuntgd.ln	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑁)
12	2, 5, 8, 9, 11	letrd 11467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝑁)
13	12	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 → 𝑗 ≤ 𝑁))
14	13	anim2d 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
15		fzuntgd.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	zred 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
18		fzuntgd.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	zred 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
22		fzuntgd.km	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑀)
24		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
25	17, 20, 21, 23, 24	letrd 11467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑗)
26	25	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑗 → 𝐾 ≤ 𝑗))
27	26	anim1d 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
28	14, 27	jaod 873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
29	1, 28	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
30		orc 881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
31		orc 881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
32	30, 31	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
33	32	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
34		animorrl 996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
35	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
36		peano2re 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ∈ ℝ → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
37	4, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
38	37	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
39		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
40	39	zred 12803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
41		fzuntgd.ml	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
43		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
44	35, 38, 40, 42, 43	letrd 11467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
45	44	olcd 888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
46		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℤ)
47	46	zred 12803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
48	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
49	48	zred 12803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
50		lelttric 11417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝑗))
51	47, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝑗))
52		zltp1le 12746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑗 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
53	3, 52	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑗 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
54	53	orbi2d 929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝑗) ↔ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)))
55	51, 54	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
56	34, 45, 55	mpjaodan 973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
57	56	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
58		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
59	58	olcd 888	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
60	57, 59	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
61		orddi 1027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)) ∧ ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))))
62	33, 60, 61	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
63	62	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
64	29, 63	impbid 215	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
65	64	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
66		elfz1 13644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
67	15, 3, 66	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
68		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
69	67, 68	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿))))
70		elfz1 13644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
71	18, 6, 70	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
72		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
73	71, 72	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
74	69, 73	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
75		elun 4152	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
76		andi 1025	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
77	74, 75, 76	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
78		elfz1 13644	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
79	15, 6, 78	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
80		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
81	79, 80	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
82	65, 77, 81	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
83	82	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∪ cun 4149   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-fz 13640

This theorem is used by: (None)