Theorem fzuntgd 43911

Description: Union of two adjacent or overlapping finite sets of sequential integers. (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzuntgd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fzuntgd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
fzuntgd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzuntgd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzuntgd.km	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
fzuntgd.ml	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
fzuntgd.ln	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzuntgd	⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzuntgd

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12520	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
2		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ∈ ℝ)
3		fzuntgd.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	zred 12625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
6		fzuntgd.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	zred 12625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝐿)
10		fzuntgd.ln	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)
11	10	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑁)
12	2, 5, 8, 9, 11	letrd 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝑁)
13	12	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 → 𝑗 ≤ 𝑁))
14	13	anim2d 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
15		fzuntgd.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	zred 12625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
17	16	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
18		fzuntgd.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	zred 12625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
22		fzuntgd.km	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
23	22	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑀)
24		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
25	17, 20, 21, 23, 24	letrd 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑗)
26	25	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑗 → 𝐾 ≤ 𝑗))
27	26	anim1d 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
28	14, 27	jaod 865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
29	1, 28	sylan2 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
30		orc 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
31		orc 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
32	30, 31	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
33	32	ad2antrl 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
34		animorrl 988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
35	19	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
36		peano2re 11311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ∈ ℝ → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
37	4, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
38	37	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
39		simplr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
40	39	zred 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
41		fzuntgd.ml	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
42	41	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
43		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
44	35, 38, 40, 42, 43	letrd 11295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
45	44	olcd 880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
46		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℤ)
47	46	zred 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
48	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
49	48	zred 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
50		lelttric 11245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝑗))
51	47, 49, 50	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝑗))
52		zltp1le 12569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑗 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
53	3, 52	sylan 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑗 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
54	53	orbi2d 921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝑗) ↔ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)))
55	51, 54	mpbid 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
56	34, 45, 55	mpjaodan 966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
57	56	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
58		simprr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
59	58	olcd 880	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
60	57, 59	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
61		orddi 1017	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)) ∧ ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))))
62	33, 60, 61	sylanbrc 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
63	62	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
64	29, 63	impbid 213	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
65	64	pm5.32da 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
66		elfz1 13458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
67	15, 3, 66	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
68		3anass 1100	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
69	67, 68	bitrdi 288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿))))
70		elfz1 13458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
71	18, 6, 70	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
72		3anass 1100	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
73	71, 72	bitrdi 288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
74	69, 73	orbi12d 924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
75		elun 4084	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
76		andi 1015	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
77	74, 75, 76	3bitr4g 315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
78		elfz1 13458	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
79	15, 6, 78	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
80		3anass 1100	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
81	79, 80	bitrdi 288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
82	65, 77, 81	3bitr4d 312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
83	82	eqrdv 2737	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3881   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11171   ≤ cle 11172  ℤcz 12516  ...cfz 13453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-fz 13454

This theorem is referenced by: (None)