Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzuntgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzuntgd 42767
Description: Union of two adjacent or overlapping finite sets of sequential integers. (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fzuntgd.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fzuntgd.l (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
fzuntgd.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fzuntgd.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fzuntgd.km (𝜑𝐾𝑀)
fzuntgd.ml (𝜑𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
fzuntgd.ln (𝜑𝐿𝑁)
Assertion
Ref Expression
fzuntgd (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzuntgd
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 12563 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
2 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝑗 ∈ ℝ)
3 fzuntgd.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
43zred 12667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
54ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
6 fzuntgd.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76zred 12667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
87ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝑗𝐿)
10 fzuntgd.ln . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿𝑁)
1110ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝐿𝑁)
122, 5, 8, 9, 11letrd 11372 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐿) → 𝑗𝑁)
1312ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗𝐿𝑗𝑁))
1413anim2d 611 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾𝑗𝑗𝐿) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
15 fzuntgd.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1615zred 12667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1716ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
18 fzuntgd.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1918zred 12667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2019ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
21 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
22 fzuntgd.km . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝑀)
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝐾𝑀)
24 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑀𝑗)
2517, 20, 21, 23, 24letrd 11372 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝐾𝑗)
2625ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀𝑗𝐾𝑗))
2726anim1d 610 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀𝑗𝑗𝑁) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
2814, 27jaod 856 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
291, 28sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
30 orc 864 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑗 → (𝐾𝑗𝑀𝑗))
31 orc 864 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑗 → (𝐾𝑗𝑗𝑁))
3230, 31jca 511 . . . . . . . 8 (𝐾𝑗 → ((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
3332ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
34 animorrl 977 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐿) → (𝑗𝐿𝑀𝑗))
3519ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
36 peano2re 11388 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℝ → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
374, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
3837ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
39 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
4039zred 12667 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
41 fzuntgd.ml . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
4241ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
43 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
4435, 38, 40, 42, 43letrd 11372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀𝑗)
4544olcd 871 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑗𝐿𝑀𝑗))
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℤ)
4746zred 12667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
483adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
4948zred 12667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
50 lelttric 11322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑗𝐿𝐿 < 𝑗))
5147, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝐿𝐿 < 𝑗))
52 zltp1le 12613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑗 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
533, 52sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑗 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
5453orbi2d 912 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗𝐿𝐿 < 𝑗) ↔ (𝑗𝐿 ∨ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)))
5551, 54mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝐿 ∨ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
5634, 45, 55mpjaodan 955 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝐿𝑀𝑗))
5756adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → (𝑗𝐿𝑀𝑗))
58 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
5958olcd 871 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → (𝑗𝐿𝑗𝑁))
6057, 59jca 511 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝑗𝐿𝑀𝑗) ∧ (𝑗𝐿𝑗𝑁)))
61 orddi 1006 . . . . . . 7 (((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) ∧ ((𝑗𝐿𝑀𝑗) ∧ (𝑗𝐿𝑗𝑁))))
6233, 60, 61sylanbrc 582 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))
6362ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑗𝑗𝑁) → ((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
6429, 63impbid 211 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
6564pm5.32da 578 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
66 elfz1 13492 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝐿)))
6715, 3, 66syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝐿)))
68 3anass 1092 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝐿)))
6967, 68bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝐿))))
70 elfz1 13492 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁)))
7118, 6, 70syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁)))
72 3anass 1092 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))
7371, 72bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
7469, 73orbi12d 915 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
75 elun 4143 . . . 4 (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
76 andi 1004 . . . 4 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
7774, 75, 763bitr4g 314 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝐿) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
78 elfz1 13492 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁)))
7915, 6, 78syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁)))
80 3anass 1092 . . . 4 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
8179, 80bitrdi 287 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
8265, 77, 813bitr4d 311 . 2 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
8382eqrdv 2724 1 (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3941   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249  cle 11250  cz 12559  ...cfz 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-fz 13488
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator