Theorem fzuntgd 42919

Description: Union of two adjacent or overlapping finite sets of sequential integers. (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzuntgd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fzuntgd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
fzuntgd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzuntgd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzuntgd.km	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
fzuntgd.ml	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
fzuntgd.ln	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzuntgd	⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzuntgd

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12600	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
2		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ∈ ℝ)
3		fzuntgd.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	zred 12704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
6		fzuntgd.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	zred 12704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝐿)
10		fzuntgd.ln	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)
11	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑁)
12	2, 5, 8, 9, 11	letrd 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝑁)
13	12	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 → 𝑗 ≤ 𝑁))
14	13	anim2d 610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
15		fzuntgd.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	zred 12704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
17	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
18		fzuntgd.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	zred 12704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
22		fzuntgd.km	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
23	22	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑀)
24		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
25	17, 20, 21, 23, 24	letrd 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑗)
26	25	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑗 → 𝐾 ≤ 𝑗))
27	26	anim1d 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
28	14, 27	jaod 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
29	1, 28	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
30		orc 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
31		orc 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
32	30, 31	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
33	32	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
34		animorrl 978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
35	19	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
36		peano2re 11425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ∈ ℝ → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
37	4, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
38	37	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
39		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
40	39	zred 12704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
41		fzuntgd.ml	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ (𝐿 + 1))
43		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
44	35, 38, 40, 42, 43	letrd 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
45	44	olcd 872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
46		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℤ)
47	46	zred 12704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
48	3	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
49	48	zred 12704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
50		lelttric 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝑗))
51	47, 49, 50	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝑗))
52		zltp1le 12650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑗 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
53	3, 52	sylan 578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑗 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
54	53	orbi2d 913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝑗) ↔ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)))
55	51, 54	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ (𝐿 + 1) ≤ 𝑗))
56	34, 45, 55	mpjaodan 956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
57	56	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
58		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
59	58	olcd 872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
60	57, 59	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
61		orddi 1007	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)) ∧ ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))))
62	33, 60, 61	sylanbrc 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
63	62	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
64	29, 63	impbid 211	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
65	64	pm5.32da 577	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
66		elfz1 13529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
67	15, 3, 66	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
68		3anass 1092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
69	67, 68	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿))))
70		elfz1 13529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
71	18, 6, 70	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
72		3anass 1092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
73	71, 72	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
74	69, 73	orbi12d 916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
75		elun 4149	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
76		andi 1005	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
77	74, 75, 76	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
78		elfz1 13529	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
79	15, 6, 78	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
80		3anass 1092	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
81	79, 80	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
82	65, 77, 81	3bitr4d 310	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
83	82	eqrdv 2726	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3947   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   ≤ cle 11287  ℤcz 12596  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-fz 13525

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