Theorem dvdslelem 16269

Description: Lemma for dvdsle 16270. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelem.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
dvdslelem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
dvdslelem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
dvdslelem	⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
2	1	zrei 12521	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
3		0re 11137	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		lelttric 11244	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾)
6		zgt0ge1 12574	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
8	7	orbi2i 913	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
9	5, 8	mpbi 230	. . 3 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)
10		le0neg1 11649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾)
12		dvdslelem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13	12	nngt0i 12207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 𝑁
14	12	nnrei 12174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15		dvdslelem.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
16	15	zrei 12521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
17	3, 14, 16	lttri 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
18	13, 17	mpan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀)
19	3, 16	ltlei 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
21	2	renegcli 11446	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐾 ∈ ℝ
22	21, 16	mulge0i 11688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ -𝐾 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
23	20, 22	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ -𝐾 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
24	11, 23	sylanb 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
25	24	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
26	2, 16	remulcli 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ
27		le0neg1 11649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
29	2	recni 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
30	16	recni 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
31	29, 30	mulneg1i 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
32	31	breq2i 5094	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
33	28, 32	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
34	25, 33	imbitrrdi 252	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0))
35	26, 3, 14	lelttri 11264	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
36	13, 35	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
37	34, 36	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
38		lemulge12 12010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
39	16, 2, 38	mpanl12 703	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
40	20, 39	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
41	40	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)))
42	14, 16, 26	ltletri 11265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
44	41, 43	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
45	37, 44	orim12d 967	. . 3 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
46	9, 45	mpi 20	. 2 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
47	26, 14	lttri2i 11251	. 2 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
48	46, 47	sylibr 234	1 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369  ℕcn 12165  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516

This theorem is referenced by:  dvdsle  16270