MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslelem 15415
Description: Lemma for dvdsle 15416. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1 𝑀 ∈ ℤ
dvdslelem.2 𝑁 ∈ ℕ
dvdslelem.3 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℤ
21zrei 11717 . . . . 5 𝐾 ∈ ℝ
3 0re 10365 . . . . 5 0 ∈ ℝ
4 lelttric 10470 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
52, 3, 4mp2an 683 . . . 4 (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾)
6 zgt0ge1 11766 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
87orbi2i 941 . . . 4 ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
95, 8mpbi 222 . . 3 (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)
10 le0neg1 10867 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾)
12 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℕ
1312nngt0i 11397 . . . . . . . . . . 11 0 < 𝑁
1412nnrei 11367 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℝ
15 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ ℤ
1615zrei 11717 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ ℝ
173, 14, 16lttri 10489 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
1813, 17mpan 681 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀)
193, 16ltlei 10485 . . . . . . . . . 10 (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
212renegcli 10670 . . . . . . . . . 10 -𝐾 ∈ ℝ
2221, 16mulge0i 10906 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ -𝐾 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2320, 22sylan2 586 . . . . . . . 8 ((0 ≤ -𝐾𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2411, 23sylanb 576 . . . . . . 7 ((𝐾 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2524expcom 404 . . . . . 6 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
262, 16remulcli 10380 . . . . . . . 8 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ
27 le0neg1 10867 . . . . . . . 8 ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
292recni 10378 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℂ
3016recni 10378 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
3129, 30mulneg1i 10807 . . . . . . . 8 (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
3231breq2i 4883 . . . . . . 7 (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
3328, 32bitr4i 270 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
3425, 33syl6ibr 244 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0))
3526, 3, 14lelttri 10490 . . . . . 6 (((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3613, 35mpan2 682 . . . . 5 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3734, 36syl6 35 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
38 lemulge12 11223 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
3916, 2, 38mpanl12 693 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4020, 39sylan 575 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4140ex 403 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)))
4214, 16, 26ltletri 10491 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝑀𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
4342ex 403 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4441, 43syld 47 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4537, 44orim12d 992 . . 3 (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
469, 45mpi 20 . 2 (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4726, 14lttri2i 10477 . 2 ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4846, 47sylibr 226 1 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878  wcel 2164  wne 2999   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264   < clt 10398  cle 10399  -cneg 10593  cn 11357  cz 11711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712
This theorem is referenced by:  dvdsle  15416
  Copyright terms: Public domain W3C validator