Theorem dvdslelem 16484

Description: Lemma for dvdsle 16485. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelem.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
dvdslelem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
dvdslelem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
dvdslelem	⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
2	1	zrei 12702	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
3		0re 11313	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		lelttric 11420	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾)
6		zgt0ge1 12755	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
8	7	orbi2i 926	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
9	5, 8	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)
10		le0neg1 11827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾)
12		dvdslelem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13	12	nngt0i 12380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 𝑁
14	12	nnrei 12347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15		dvdslelem.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
16	15	zrei 12702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
17	3, 14, 16	lttri 11439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
18	13, 17	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀)
19	3, 16	ltlei 11435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
21	2	renegcli 11622	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐾 ∈ ℝ
22	21, 16	mulge0i 11866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ -𝐾 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ ( -𝐾 · 𝑀))
23	20, 22	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ -𝐾 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ ( -𝐾 · 𝑀))
24	11, 23	sylanb 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ ( -𝐾 · 𝑀))
25	24	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → 0 ≤ ( -𝐾 · 𝑀)))
26	2, 16	remulcli 11328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ
27		le0neg1 11827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
29	2	recni 11326	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
30	16	recni 11326	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
31	29, 30	mulneg1i 11765	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
32	31	breq2i 5110	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ ( -𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
33	28, 32	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ ( -𝐾 · 𝑀))
34	25, 33	imbitrrdi 255	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0))
35	26, 3, 14	lelttri 11440	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
36	13, 35	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
37	34, 36	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
38		lemulge12 12183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
39	16, 2, 38	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
40	20, 39	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
41	40	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)))
42	14, 16, 26	ltletri 11441	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
43	42	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
44	41, 43	syld 48	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
45	37, 44	orim12d 979	. . 3 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
46	9, 45	mpi 21	. 2 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
47	26, 14	lttri2i 11427	. 2 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
48	46, 47	sylibr 237	1 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   · cmul 11208   < clt 11346   ≤ cle 11347   -cneg 11545  ℕcn 12338  ℤcz 12696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697

This theorem is used by:  dvdsle  16485