Theorem dvdslelem 16293

Description: Lemma for dvdsle 16294. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelem.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
dvdslelem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
dvdslelem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
dvdslelem	⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
2	1	zrei 12602	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
3		0re 11254	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		lelttric 11359	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾)
6		zgt0ge1 12654	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
8	7	orbi2i 910	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
9	5, 8	mpbi 229	. . 3 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)
10		le0neg1 11760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾)
12		dvdslelem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13	12	nngt0i 12289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 𝑁
14	12	nnrei 12259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15		dvdslelem.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
16	15	zrei 12602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
17	3, 14, 16	lttri 11378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
18	13, 17	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀)
19	3, 16	ltlei 11374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
21	2	renegcli 11559	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐾 ∈ ℝ
22	21, 16	mulge0i 11799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ -𝐾 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
23	20, 22	sylan2 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ -𝐾 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
24	11, 23	sylanb 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
25	24	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
26	2, 16	remulcli 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ
27		le0neg1 11760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
29	2	recni 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
30	16	recni 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
31	29, 30	mulneg1i 11698	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
32	31	breq2i 5160	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
33	28, 32	bitr4i 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
34	25, 33	imbitrrdi 251	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0))
35	26, 3, 14	lelttri 11379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
36	13, 35	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
37	34, 36	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
38		lemulge12 12115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
39	16, 2, 38	mpanl12 700	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
40	20, 39	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
41	40	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)))
42	14, 16, 26	ltletri 11380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
43	42	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
44	41, 43	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
45	37, 44	orim12d 962	. . 3 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
46	9, 45	mpi 20	. 2 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
47	26, 14	lttri2i 11366	. 2 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
48	46, 47	sylibr 233	1 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151   < clt 11286   ≤ cle 11287  -cneg 11483  ℕcn 12250  ℤcz 12596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597

This theorem is referenced by:  dvdsle  16294