MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslelem 15662
Description: Lemma for dvdsle 15663. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1 𝑀 ∈ ℤ
dvdslelem.2 𝑁 ∈ ℕ
dvdslelem.3 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℤ
21zrei 11990 . . . . 5 𝐾 ∈ ℝ
3 0re 10646 . . . . 5 0 ∈ ℝ
4 lelttric 10750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
52, 3, 4mp2an 690 . . . 4 (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾)
6 zgt0ge1 12039 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
87orbi2i 909 . . . 4 ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
95, 8mpbi 232 . . 3 (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)
10 le0neg1 11151 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾)
12 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℕ
1312nngt0i 11679 . . . . . . . . . . 11 0 < 𝑁
1412nnrei 11650 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℝ
15 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ ℤ
1615zrei 11990 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ ℝ
173, 14, 16lttri 10769 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
1813, 17mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀)
193, 16ltlei 10765 . . . . . . . . . 10 (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
212renegcli 10950 . . . . . . . . . 10 -𝐾 ∈ ℝ
2221, 16mulge0i 11190 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ -𝐾 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2320, 22sylan2 594 . . . . . . . 8 ((0 ≤ -𝐾𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2411, 23sylanb 583 . . . . . . 7 ((𝐾 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2524expcom 416 . . . . . 6 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
262, 16remulcli 10660 . . . . . . . 8 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ
27 le0neg1 11151 . . . . . . . 8 ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
292recni 10658 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℂ
3016recni 10658 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
3129, 30mulneg1i 11089 . . . . . . . 8 (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
3231breq2i 5077 . . . . . . 7 (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
3328, 32bitr4i 280 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
3425, 33syl6ibr 254 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0))
3526, 3, 14lelttri 10770 . . . . . 6 (((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3613, 35mpan2 689 . . . . 5 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3734, 36syl6 35 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
38 lemulge12 11506 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
3916, 2, 38mpanl12 700 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4020, 39sylan 582 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4140ex 415 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)))
4214, 16, 26ltletri 10771 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝑀𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
4342ex 415 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4441, 43syld 47 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4537, 44orim12d 961 . . 3 (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
469, 45mpi 20 . 2 (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4726, 14lttri2i 10757 . 2 ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4846, 47sylibr 236 1 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  wcel 2113  wne 3019   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  cr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   · cmul 10545   < clt 10678  cle 10679  -cneg 10874  cn 11641  cz 11984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985
This theorem is referenced by:  dvdsle  15663
  Copyright terms: Public domain W3C validator