MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslelem 16126
Description: Lemma for dvdsle 16127. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1 ๐‘€ โˆˆ โ„ค
dvdslelem.2 ๐‘ โˆˆ โ„•
dvdslelem.3 ๐พ โˆˆ โ„ค
Assertion
Ref Expression
dvdslelem (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6 ๐พ โˆˆ โ„ค
21zrei 12439 . . . . 5 ๐พ โˆˆ โ„
3 0re 11091 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
4 lelttric 11196 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐พ))
52, 3, 4mp2an 691 . . . 4 (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐พ)
6 zgt0ge1 12488 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 < ๐พ โ†” 1 โ‰ค ๐พ))
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 (0 < ๐พ โ†” 1 โ‰ค ๐พ)
87orbi2i 912 . . . 4 ((๐พ โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐พ) โ†” (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 1 โ‰ค ๐พ))
95, 8mpbi 229 . . 3 (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 1 โ‰ค ๐พ)
10 le0neg1 11597 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐พ))
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (๐พ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐พ)
12 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ โˆˆ โ„•
1312nngt0i 12126 . . . . . . . . . . 11 0 < ๐‘
1412nnrei 12096 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ โˆˆ โ„
15 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘€ โˆˆ โ„ค
1615zrei 12439 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘€ โˆˆ โ„
173, 14, 16lttri 11215 . . . . . . . . . . 11 ((0 < ๐‘ โˆง ๐‘ < ๐‘€) โ†’ 0 < ๐‘€)
1813, 17mpan 689 . . . . . . . . . 10 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ 0 < ๐‘€)
193, 16ltlei 11211 . . . . . . . . . 10 (0 < ๐‘€ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
212renegcli 11396 . . . . . . . . . 10 -๐พ โˆˆ โ„
2221, 16mulge0i 11636 . . . . . . . . 9 ((0 โ‰ค -๐พ โˆง 0 โ‰ค ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€))
2320, 22sylan2 594 . . . . . . . 8 ((0 โ‰ค -๐พ โˆง ๐‘ < ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€))
2411, 23sylanb 582 . . . . . . 7 ((๐พ โ‰ค 0 โˆง ๐‘ < ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€))
2524expcom 415 . . . . . 6 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†’ 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€)))
262, 16remulcli 11105 . . . . . . . 8 (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„
27 le0neg1 11597 . . . . . . . 8 ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -(๐พ ยท ๐‘€)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -(๐พ ยท ๐‘€))
292recni 11103 . . . . . . . . 9 ๐พ โˆˆ โ„‚
3016recni 11103 . . . . . . . . 9 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
3129, 30mulneg1i 11535 . . . . . . . 8 (-๐พ ยท ๐‘€) = -(๐พ ยท ๐‘€)
3231breq2i 5112 . . . . . . 7 (0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค -(๐พ ยท ๐‘€))
3328, 32bitr4i 278 . . . . . 6 ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€))
3425, 33syl6ibr 252 . . . . 5 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0))
3526, 3, 14lelttri 11216 . . . . . 6 (((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘)
3613, 35mpan2 690 . . . . 5 ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘)
3734, 36syl6 35 . . . 4 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘))
38 lemulge12 11952 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐‘€ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€))
3916, 2, 38mpanl12 701 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐‘€ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€))
4020, 39sylan 581 . . . . . 6 ((๐‘ < ๐‘€ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€))
4140ex 414 . . . . 5 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€)))
4214, 16, 26ltletri 11217 . . . . . 6 ((๐‘ < ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€)) โ†’ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€))
4342ex 414 . . . . 5 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€) โ†’ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€)))
4441, 43syld 47 . . . 4 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†’ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€)))
4537, 44orim12d 964 . . 3 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ ((๐พ โ‰ค 0 โˆจ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘ โˆจ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€))))
469, 45mpi 20 . 2 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘ โˆจ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€)))
4726, 14lttri2i 11203 . 2 ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘ โ†” ((๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘ โˆจ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€)))
4846, 47sylibr 233 1 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   ยท cmul 10990   < clt 11123   โ‰ค cle 11124  -cneg 11320  โ„•cn 12087  โ„คcz 12433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434
This theorem is referenced by:  dvdsle  16127
  Copyright terms: Public domain W3C validator