MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslelem 16343
Description: Lemma for dvdsle 16344. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1 𝑀 ∈ ℤ
dvdslelem.2 𝑁 ∈ ℕ
dvdslelem.3 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℤ
21zrei 12617 . . . . 5 𝐾 ∈ ℝ
3 0re 11261 . . . . 5 0 ∈ ℝ
4 lelttric 11366 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
52, 3, 4mp2an 692 . . . 4 (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾)
6 zgt0ge1 12670 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
87orbi2i 912 . . . 4 ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
95, 8mpbi 230 . . 3 (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)
10 le0neg1 11769 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾)
12 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℕ
1312nngt0i 12303 . . . . . . . . . . 11 0 < 𝑁
1412nnrei 12273 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℝ
15 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ ℤ
1615zrei 12617 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ ℝ
173, 14, 16lttri 11385 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
1813, 17mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀)
193, 16ltlei 11381 . . . . . . . . . 10 (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
212renegcli 11568 . . . . . . . . . 10 -𝐾 ∈ ℝ
2221, 16mulge0i 11808 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ -𝐾 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2320, 22sylan2 593 . . . . . . . 8 ((0 ≤ -𝐾𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2411, 23sylanb 581 . . . . . . 7 ((𝐾 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2524expcom 413 . . . . . 6 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
262, 16remulcli 11275 . . . . . . . 8 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ
27 le0neg1 11769 . . . . . . . 8 ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
292recni 11273 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℂ
3016recni 11273 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
3129, 30mulneg1i 11707 . . . . . . . 8 (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
3231breq2i 5156 . . . . . . 7 (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
3328, 32bitr4i 278 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
3425, 33imbitrrdi 252 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0))
3526, 3, 14lelttri 11386 . . . . . 6 (((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3613, 35mpan2 691 . . . . 5 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3734, 36syl6 35 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
38 lemulge12 12129 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
3916, 2, 38mpanl12 702 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4020, 39sylan 580 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4140ex 412 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)))
4214, 16, 26ltletri 11387 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝑀𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
4342ex 412 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4441, 43syld 47 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4537, 44orim12d 966 . . 3 (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
469, 45mpi 20 . 2 (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4726, 14lttri2i 11373 . 2 ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4846, 47sylibr 234 1 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  -cneg 11491  cn 12264  cz 12611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612
This theorem is referenced by:  dvdsle  16344
  Copyright terms: Public domain W3C validator