Theorem dvdslelem 15653

Description: Lemma for dvdsle 15654. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelem.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
dvdslelem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
dvdslelem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
dvdslelem	⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
2	1	zrei 11981	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
3		0re 10637	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		lelttric 10741	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾)
6		zgt0ge1 12030	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
8	7	orbi2i 909	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
9	5, 8	mpbi 232	. . 3 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)
10		le0neg1 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾)
12		dvdslelem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13	12	nngt0i 11670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 𝑁
14	12	nnrei 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15		dvdslelem.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
16	15	zrei 11981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
17	3, 14, 16	lttri 10760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
18	13, 17	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀)
19	3, 16	ltlei 10756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
21	2	renegcli 10941	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐾 ∈ ℝ
22	21, 16	mulge0i 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ -𝐾 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
23	20, 22	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ -𝐾 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
24	11, 23	sylanb 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
25	24	expcom 416	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
26	2, 16	remulcli 10651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ
27		le0neg1 11142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
29	2	recni 10649	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
30	16	recni 10649	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
31	29, 30	mulneg1i 11080	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
32	31	breq2i 5067	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
33	28, 32	bitr4i 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
34	25, 33	syl6ibr 254	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0))
35	26, 3, 14	lelttri 10761	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
36	13, 35	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
37	34, 36	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
38		lemulge12 11497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
39	16, 2, 38	mpanl12 700	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
40	20, 39	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
41	40	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)))
42	14, 16, 26	ltletri 10762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
43	42	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
44	41, 43	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
45	37, 44	orim12d 961	. . 3 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
46	9, 45	mpi 20	. 2 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
47	26, 14	lttri2i 10748	. 2 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
48	46, 47	sylibr 236	1 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670  -cneg 10865  ℕcn 11632  ℤcz 11975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976

This theorem is referenced by:  dvdsle  15654