Theorem dvdslelem 16346

Description: Lemma for dvdsle 16347. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelem.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
dvdslelem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
dvdslelem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
dvdslelem	⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
2	1	zrei 12619	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
3		0re 11263	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		lelttric 11368	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾)
6		zgt0ge1 12672	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
8	7	orbi2i 913	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
9	5, 8	mpbi 230	. . 3 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)
10		le0neg1 11771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾)
12		dvdslelem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13	12	nngt0i 12305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 𝑁
14	12	nnrei 12275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15		dvdslelem.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
16	15	zrei 12619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
17	3, 14, 16	lttri 11387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
18	13, 17	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀)
19	3, 16	ltlei 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
21	2	renegcli 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐾 ∈ ℝ
22	21, 16	mulge0i 11810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ -𝐾 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
23	20, 22	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ -𝐾 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
24	11, 23	sylanb 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
25	24	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
26	2, 16	remulcli 11277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ
27		le0neg1 11771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
29	2	recni 11275	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
30	16	recni 11275	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
31	29, 30	mulneg1i 11709	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
32	31	breq2i 5151	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
33	28, 32	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
34	25, 33	imbitrrdi 252	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0))
35	26, 3, 14	lelttri 11388	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
36	13, 35	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
37	34, 36	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
38		lemulge12 12131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
39	16, 2, 38	mpanl12 702	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
40	20, 39	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
41	40	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)))
42	14, 16, 26	ltletri 11389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
44	41, 43	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
45	37, 44	orim12d 967	. . 3 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
46	9, 45	mpi 20	. 2 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
47	26, 14	lttri2i 11375	. 2 ⊢ ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
48	46, 47	sylibr 234	1 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296  -cneg 11493  ℕcn 12266  ℤcz 12613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614

This theorem is referenced by:  dvdsle  16347