MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslelem 16254
Description: Lemma for dvdsle 16255. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1 ๐‘€ โˆˆ โ„ค
dvdslelem.2 ๐‘ โˆˆ โ„•
dvdslelem.3 ๐พ โˆˆ โ„ค
Assertion
Ref Expression
dvdslelem (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6 ๐พ โˆˆ โ„ค
21zrei 12566 . . . . 5 ๐พ โˆˆ โ„
3 0re 11218 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
4 lelttric 11323 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐พ))
52, 3, 4mp2an 690 . . . 4 (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐พ)
6 zgt0ge1 12618 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 < ๐พ โ†” 1 โ‰ค ๐พ))
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 (0 < ๐พ โ†” 1 โ‰ค ๐พ)
87orbi2i 911 . . . 4 ((๐พ โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐พ) โ†” (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 1 โ‰ค ๐พ))
95, 8mpbi 229 . . 3 (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 1 โ‰ค ๐พ)
10 le0neg1 11724 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐พ))
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (๐พ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐พ)
12 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ โˆˆ โ„•
1312nngt0i 12253 . . . . . . . . . . 11 0 < ๐‘
1412nnrei 12223 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ โˆˆ โ„
15 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘€ โˆˆ โ„ค
1615zrei 12566 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘€ โˆˆ โ„
173, 14, 16lttri 11342 . . . . . . . . . . 11 ((0 < ๐‘ โˆง ๐‘ < ๐‘€) โ†’ 0 < ๐‘€)
1813, 17mpan 688 . . . . . . . . . 10 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ 0 < ๐‘€)
193, 16ltlei 11338 . . . . . . . . . 10 (0 < ๐‘€ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
212renegcli 11523 . . . . . . . . . 10 -๐พ โˆˆ โ„
2221, 16mulge0i 11763 . . . . . . . . 9 ((0 โ‰ค -๐พ โˆง 0 โ‰ค ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€))
2320, 22sylan2 593 . . . . . . . 8 ((0 โ‰ค -๐พ โˆง ๐‘ < ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€))
2411, 23sylanb 581 . . . . . . 7 ((๐พ โ‰ค 0 โˆง ๐‘ < ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€))
2524expcom 414 . . . . . 6 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†’ 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€)))
262, 16remulcli 11232 . . . . . . . 8 (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„
27 le0neg1 11724 . . . . . . . 8 ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -(๐พ ยท ๐‘€)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -(๐พ ยท ๐‘€))
292recni 11230 . . . . . . . . 9 ๐พ โˆˆ โ„‚
3016recni 11230 . . . . . . . . 9 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
3129, 30mulneg1i 11662 . . . . . . . 8 (-๐พ ยท ๐‘€) = -(๐พ ยท ๐‘€)
3231breq2i 5156 . . . . . . 7 (0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค -(๐พ ยท ๐‘€))
3328, 32bitr4i 277 . . . . . 6 ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€))
3425, 33imbitrrdi 251 . . . . 5 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0))
3526, 3, 14lelttri 11343 . . . . . 6 (((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘)
3613, 35mpan2 689 . . . . 5 ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘)
3734, 36syl6 35 . . . 4 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘))
38 lemulge12 12079 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐‘€ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€))
3916, 2, 38mpanl12 700 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐‘€ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€))
4020, 39sylan 580 . . . . . 6 ((๐‘ < ๐‘€ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€))
4140ex 413 . . . . 5 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€)))
4214, 16, 26ltletri 11344 . . . . . 6 ((๐‘ < ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€)) โ†’ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€))
4342ex 413 . . . . 5 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€) โ†’ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€)))
4441, 43syld 47 . . . 4 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†’ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€)))
4537, 44orim12d 963 . . 3 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ ((๐พ โ‰ค 0 โˆจ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘ โˆจ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€))))
469, 45mpi 20 . 2 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘ โˆจ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€)))
4726, 14lttri2i 11330 . 2 ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘ โ†” ((๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘ โˆจ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€)))
4846, 47sylibr 233 1 (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251  -cneg 11447  โ„•cn 12214  โ„คcz 12560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561
This theorem is referenced by:  dvdsle  16255
  Copyright terms: Public domain W3C validator