MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmp 23433
Description: A closed interval in is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
icccmp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)

Proof of Theorem icccmp
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.2 . 2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
2 icccmp.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 eqid 2824 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4 eqid 2824 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
5 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → 𝐴𝐵)
8 elpwi 4531 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽)
98ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝐽)
10 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)
112, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10icccmplem3 23432 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧})
12 oveq2 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐵))
1312sseq1d 3984 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧))
1413rexbidv 3289 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧))
1514elrab 3666 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} ↔ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧))
1615simprbi 500 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧)
1711, 16syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧)
1817expr 460 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧))
1918ralrimiva 3177 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧))
20 retop 23370 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
212, 20eqeltri 2912 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
22 iccssre 12816 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2322adantr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
24 uniretop 23371 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
252unieqi 4837 . . . . . . 7 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2624, 25eqtr4i 2850 . . . . . 6 ℝ = 𝐽
2726cmpsub 22008 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧)))
2821, 23, 27sylancr 590 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧)))
2919, 28mpbird 260 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
30 rexr 10685 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
31 rexr 10685 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
32 icc0 12783 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
3330, 31, 32syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
3433biimpar 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
3534oveq2d 7165 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) = (𝐽t ∅))
36 rest0 21777 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})
3721, 36ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽t ∅) = {∅}
3835, 37syl6eq 2875 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) = {∅})
39 0cmp 22002 . . . 4 {∅} ∈ Comp
4038, 39eqeltrdi 2924 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
41 lelttric 10745 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))
4229, 40, 41mpjaodan 956 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
431, 42eqeltrid 2920 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  {crab 3137  cin 3918  wss 3919  c0 4276  𝒫 cpw 4522  {csn 4550   cuni 4824   class class class wbr 5052   × cxp 5540  ran crn 5543  cres 5544  ccom 5546  cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  cr 10534  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  cmin 10868  (,)cioo 12735  [,]cicc 12738  abscabs 14593  t crest 16694  topGenctg 16711  Topctop 21501  Compccmp 21994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-icc 12742  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-rest 16696  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cmp 21995
This theorem is referenced by:  iicmp  23494  cnheiborlem  23562  evthicc  24066  ovolicc2  24129  dvcnvrelem2  24624  fourierdlem42  42717
  Copyright terms: Public domain W3C validator