MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmp 24188
Description: A closed interval in is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
icccmp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)

Proof of Theorem icccmp
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.2 . 2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
2 icccmp.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4 eqid 2736 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
5 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → 𝐴𝐵)
8 elpwi 4567 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽)
98ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝐽)
10 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)
112, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10icccmplem3 24187 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧})
12 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐵))
1312sseq1d 3975 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧))
1413rexbidv 3175 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧))
1514elrab 3645 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} ↔ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧))
1615simprbi 497 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧)
1711, 16syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧)
1817expr 457 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧))
1918ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧))
20 retop 24125 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
212, 20eqeltri 2834 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
22 iccssre 13346 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2322adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
24 uniretop 24126 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
252unieqi 4878 . . . . . . 7 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2624, 25eqtr4i 2767 . . . . . 6 ℝ = 𝐽
2726cmpsub 22751 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧)))
2821, 23, 27sylancr 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑧)))
2919, 28mpbird 256 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
30 rexr 11201 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
31 rexr 11201 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
32 icc0 13312 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
3330, 31, 32syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
3433biimpar 478 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
3534oveq2d 7373 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) = (𝐽t ∅))
36 rest0 22520 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})
3721, 36ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽t ∅) = {∅}
3835, 37eqtrdi 2792 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) = {∅})
39 0cmp 22745 . . . 4 {∅} ∈ Comp
4038, 39eqeltrdi 2846 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
41 lelttric 11262 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))
4229, 40, 41mpjaodan 957 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
431, 42eqeltrid 2842 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cr 11050  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  abscabs 15119  t crest 17302  topGenctg 17319  Topctop 22242  Compccmp 22737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738
This theorem is referenced by:  iicmp  24249  cnheiborlem  24317  evthicc  24823  ovolicc2  24886  dvcnvrelem2  25382  fourierdlem42  44380
  Copyright terms: Public domain W3C validator