MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icccmp 24341
Description: A closed interval in ℝ is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
Assertion
Ref Expression
icccmp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ Comp)
Proof of Theorem icccmp
Dummy variables 𝑒 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.2 . 2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
2 icccmp.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
4 eqid 2733 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧} = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
5 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
8 elpwi 4610 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐽)
98ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐽)
10 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)
112, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10icccmplem3 24340 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧})
12 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐴[,]π‘₯) = (𝐴[,]𝐡))
1312sseq1d 4014 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1413rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1514elrab 3684 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧} ↔ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1615simprbi 498 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)
1711, 16syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)
1817expr 458 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1918ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
20 retop 24278 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
212, 20eqeltri 2830 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
22 iccssre 13406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
2322adantr 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
24 uniretop 24279 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
252unieqi 4922 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2624, 25eqtr4i 2764 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ 𝐽
2726cmpsub 22904 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)))
2821, 23, 27sylancr 588 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)))
2919, 28mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
30 rexr 11260 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
31 rexr 11260 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ ℝ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
32 icc0 13372 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
3330, 31, 32syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
3433biimpar 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆ…)
3534oveq2d 7425 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = (𝐽 β†Ύt βˆ…))
36 rest0 22673 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 β†Ύt βˆ…) = {βˆ…})
3721, 36ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt βˆ…) = {βˆ…}
3835, 37eqtrdi 2789 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = {βˆ…})
39 0cmp 22898 . . . 4 {βˆ…} ∈ Comp
4038, 39eqeltrdi 2842 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
41 lelttric 11321 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ∨ 𝐡 < 𝐴))
4229, 40, 41mpjaodan 958 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
431, 42eqeltrid 2838 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„cr 11109  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  abscabs 15181   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  Topctop 22395  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891
This theorem is referenced by:  iicmp  24402  cnheiborlem  24470  evthicc  24976  ovolicc2  25039  dvcnvrelem2  25535  fourierdlem42  44865
  Copyright terms: Public domain W3C validator