Theorem icccmp 25020

Description: A closed interval in ℝ is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
icccmp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)

Proof of Theorem icccmp

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.2	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
2		icccmp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
5		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8		elpwi 4574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 → 𝑢 ⊆ 𝐽)
9	8	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝐽)
10		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)
11	2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	icccmplem3 25019	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧})
12		oveq2 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐵))
13	12	sseq1d 3971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
14	13	rexbidv 3192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
15	14	elrab 3653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} ↔ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
16	15	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)
17	11, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)
18	17	expr 462	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
19	18	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
20		retop 24955	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
21	2, 20	eqeltri 2862	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
22		iccssre 13474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
24		uniretop 24956	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
25	2	unieqi 4889	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
26	24, 25	eqtr4i 2792	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
27	26	cmpsub 23594	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)))
28	21, 23, 27	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)))
29	19, 28	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
30		rexr 11273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
31		rexr 11273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
32		icc0 13438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
34	33	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
35	34	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) = (𝐽 ↾t ∅))
36		rest0 23363	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})
37	21, 36	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t ∅) = {∅}
38	35, 37	eqtrdi 2817	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) = {∅})
39		0cmp 23588	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Comp
40	38, 39	eqeltrdi 2874	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
41		lelttric 11335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
42	29, 40, 41	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
43	1, 42	eqeltrid 2870	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  {crab 3419   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  ∪ cuni 4877   class class class wbr 5114   × cxp 5664  ran crn 5667   ↾ cres 5668   ∘ ccom 5670  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  ℝcr 11117  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  (,)cioo 13390  [,]cicc 13393  abscabs 15311   ↾_t crest 17498  topGenctg 17515  Topctop 23087  Compccmp 23580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-icc 13397  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-cmp 23581

This theorem is used by:  iicmp  25082  cnheiborlem  25150  evthicc  25655  ovolicc2  25718  dvcnvrelem2  26214  fourierdlem42  46904