MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icccmp 24340
Description: A closed interval in ℝ is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
Assertion
Ref Expression
icccmp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ Comp)
Proof of Theorem icccmp
Dummy variables 𝑒 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.2 . 2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
2 icccmp.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
4 eqid 2732 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧} = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
5 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
8 elpwi 4609 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐽)
98ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐽)
10 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)
112, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10icccmplem3 24339 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧})
12 oveq2 7416 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐴[,]π‘₯) = (𝐴[,]𝐡))
1312sseq1d 4013 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1413rexbidv 3178 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1514elrab 3683 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧} ↔ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1615simprbi 497 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)
1711, 16syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)
1817expr 457 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1918ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
20 retop 24277 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
212, 20eqeltri 2829 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
22 iccssre 13405 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
2322adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
24 uniretop 24278 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
252unieqi 4921 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2624, 25eqtr4i 2763 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ 𝐽
2726cmpsub 22903 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)))
2821, 23, 27sylancr 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)))
2919, 28mpbird 256 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
30 rexr 11259 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
31 rexr 11259 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ ℝ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
32 icc0 13371 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
3330, 31, 32syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
3433biimpar 478 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆ…)
3534oveq2d 7424 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = (𝐽 β†Ύt βˆ…))
36 rest0 22672 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 β†Ύt βˆ…) = {βˆ…})
3721, 36ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt βˆ…) = {βˆ…}
3835, 37eqtrdi 2788 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = {βˆ…})
39 0cmp 22897 . . . 4 {βˆ…} ∈ Comp
4038, 39eqeltrdi 2841 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
41 lelttric 11320 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ∨ 𝐡 < 𝐴))
4229, 40, 41mpjaodan 957 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
431, 42eqeltrid 2837 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  β„cr 11108  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326  abscabs 15180   β†Ύt crest 17365  topGenctg 17382  Topctop 22394  Compccmp 22889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-icc 13330  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890
This theorem is referenced by:  iicmp  24401  cnheiborlem  24469  evthicc  24975  ovolicc2  25038  dvcnvrelem2  25534  fourierdlem42  44855
  Copyright terms: Public domain W3C validator