Theorem icccmp 24782

Description: A closed interval in ℝ is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
icccmp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)

Proof of Theorem icccmp

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.2	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
2		icccmp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
5		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8		elpwi 4563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 → 𝑢 ⊆ 𝐽)
9	8	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝐽)
10		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)
11	2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	icccmplem3 24781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧})
12		oveq2 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐵))
13	12	sseq1d 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
14	13	rexbidv 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
15	14	elrab 3648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} ↔ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
16	15	simprbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)
17	11, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)
18	17	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
19	18	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
20		retop 24717	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
21	2, 20	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
22		iccssre 13357	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
24		uniretop 24718	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
25	2	unieqi 4877	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
26	24, 25	eqtr4i 2763	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
27	26	cmpsub 23356	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)))
28	21, 23, 27	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)))
29	19, 28	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
30		rexr 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
31		rexr 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
32		icc0 13321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
34	33	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
35	34	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) = (𝐽 ↾t ∅))
36		rest0 23125	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})
37	21, 36	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t ∅) = {∅}
38	35, 37	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) = {∅})
39		0cmp 23350	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Comp
40	38, 39	eqeltrdi 2845	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
41		lelttric 11252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
42	29, 40, 41	mpjaodan 961	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
43	1, 42	eqeltrid 2841	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ran crn 5633   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  abscabs 15169   ↾_t crest 17352  topGenctg 17369  Topctop 22849  Compccmp 23342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cmp 23343

This theorem is referenced by:  iicmp  24847  cnheiborlem  24921  evthicc  25428  ovolicc2  25491  dvcnvrelem2  25991  fourierdlem42  46501