Theorem icccmp 24866

Description: A closed interval in ℝ is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
icccmp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)

Proof of Theorem icccmp

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.2	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
2		icccmp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
5		simplll 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpllr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8		elpwi 4561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 → 𝑢 ⊆ 𝐽)
9	8	ad2antrl 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝐽)
10		simprr 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)
11	2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	icccmplem3 24865	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧})
12		oveq2 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐵))
13	12	sseq1d 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
14	13	rexbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
15	14	elrab 3650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} ↔ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
16	15	simprbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)
17	11, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)
18	17	expr 460	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
19	18	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧))
20		retop 24801	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
21	2, 20	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
22		iccssre 13430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
24		uniretop 24802	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
25	2	unieqi 4876	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
26	24, 25	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
27	26	cmpsub 23440	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)))
28	21, 23, 27	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑧)))
29	19, 28	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
30		rexr 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
31		rexr 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
32		icc0 13394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2an 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
34	33	biimpar 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
35	34	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) = (𝐽 ↾t ∅))
36		rest0 23209	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})
37	21, 36	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t ∅) = {∅}
38	35, 37	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) = {∅})
39		0cmp 23434	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Comp
40	38, 39	eqeltrdi 2869	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
41		lelttric 11287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
42	29, 40, 41	mpjaodan 971	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
43	1, 42	eqeltrid 2865	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4581  ∪ cuni 4864   class class class wbr 5099   × cxp 5643  ran crn 5646   ↾ cres 5647   ∘ ccom 5649  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  ℝcr 11069  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  (,)cioo 13346  [,]cicc 13349  abscabs 15244   ↾_t crest 17432  topGenctg 17449  Topctop 22933  Compccmp 23426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-icc 13353  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-cmp 23427

This theorem is referenced by:  iicmp  24928  cnheiborlem  24996  evthicc  25501  ovolicc2  25564  dvcnvrelem2  26060  fourierdlem42  46687