MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmp 24211
Description: A closed interval in ℝ is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
Assertion
Ref Expression
icccmp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ Comp)

Proof of Theorem icccmp
Dummy variables 𝑒 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.2 . 2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
2 icccmp.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
4 eqid 2733 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧} = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
5 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
8 elpwi 4571 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐽)
98ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐽)
10 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)
112, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10icccmplem3 24210 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧})
12 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐴[,]π‘₯) = (𝐴[,]𝐡))
1312sseq1d 3979 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1413rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1514elrab 3649 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧} ↔ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1615simprbi 498 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)
1711, 16syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)
1817expr 458 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
1918ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧))
20 retop 24148 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
212, 20eqeltri 2830 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
22 iccssre 13355 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
2322adantr 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
24 uniretop 24149 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
252unieqi 4882 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2624, 25eqtr4i 2764 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ 𝐽
2726cmpsub 22774 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)))
2821, 23, 27sylancr 588 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑧)))
2919, 28mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
30 rexr 11209 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
31 rexr 11209 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ ℝ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
32 icc0 13321 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
3330, 31, 32syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
3433biimpar 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆ…)
3534oveq2d 7377 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = (𝐽 β†Ύt βˆ…))
36 rest0 22543 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 β†Ύt βˆ…) = {βˆ…})
3721, 36ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt βˆ…) = {βˆ…}
3835, 37eqtrdi 2789 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = {βˆ…})
39 0cmp 22768 . . . 4 {βˆ…} ∈ Comp
4038, 39eqeltrdi 2842 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
41 lelttric 11270 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ∨ 𝐡 < 𝐴))
4229, 40, 41mpjaodan 958 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
431, 42eqeltrid 2838 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  β„cr 11058  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  abscabs 15128   β†Ύt crest 17310  topGenctg 17327  Topctop 22265  Compccmp 22760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761
This theorem is referenced by:  iicmp  24272  cnheiborlem  24340  evthicc  24846  ovolicc2  24909  dvcnvrelem2  25405  fourierdlem42  44480
  Copyright terms: Public domain W3C validator