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Theorem iccpartnel 46841
Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. Corresponds to fourierdlem12 45570 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 8-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartnel.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartnel.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
iccpartnel.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑃)
Assertion
Ref Expression
iccpartnel ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))

Proof of Theorem iccpartnel
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioo3g 13385 . . 3 (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
2 iccpartnel.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑃)
3 iccpartnel.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4 iccpartnel.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5 iccpart 46819 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
7 elmapfn 8882 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
87adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
96, 8biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀)))
103, 9mpd 15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
11 fvelrnb 6954 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn (0...𝑀) β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋))
132, 12mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋)
14 elfzelz 13533 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
1514zred 12696 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1615adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 elfzoelz 13664 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
1817zred 12696 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
19 lelttric 11351 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯))
2016, 18, 19syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯))
21 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋))
22 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
2321, 22anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
24 leloe 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ↔ (π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼)))
2516, 18, 24syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ↔ (π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼)))
264, 3iccpartgt 46830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2827adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
29 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ (0...𝑀))
30 elfzofz 13680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ (0...𝑀))
31 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = π‘₯ β†’ (𝑖 < π‘˜ ↔ π‘₯ < π‘˜))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
3332breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
3431, 33imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = π‘₯ β†’ ((𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))))
35 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘₯ < π‘˜ ↔ π‘₯ < 𝐼))
36 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜πΌ))
3736breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
3835, 37imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘₯ < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))))
3934, 38rspc2v 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))))
4029, 30, 39syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))))
4128, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
42 pm3.35 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘₯ < 𝐼 ∧ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
434adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
443adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4543, 44, 29iccpartxr 46822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
47 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*)
48 xrltle 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ)))
4946, 47, 48syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ)))
50 xrlenlt 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ) ↔ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5146, 47, 50syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ) ↔ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5249, 51sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5352ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
5453com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
5554imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5655imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))
5756pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
5857ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
5958ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
6042, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ < 𝐼 ∧ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
6160ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ < 𝐼 β†’ ((π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
6261com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
6341, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
6463com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ < 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
65 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜πΌ))
6665breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ = 𝐼 β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
6766adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
68 xrltnr 13131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
69683ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
7069adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
7170pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
7267, 71sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
7372ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
7473a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7564, 74jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7725, 76sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7978com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8079adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8123, 80syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
8281com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
8382com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
8483impd 409 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8584com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8614adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
87 zltp1le 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐼 < π‘₯ ↔ (𝐼 + 1) ≀ π‘₯))
8817, 86, 87syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < π‘₯ ↔ (𝐼 + 1) ≀ π‘₯))
8917peano2zd 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„€)
9089zred 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
91 leloe 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐼 + 1) ≀ π‘₯ ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯)))
9290, 16, 91syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 + 1) ≀ π‘₯ ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯)))
9388, 92bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < π‘₯ ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯)))
94 fzofzp1 13761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
95 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (𝑖 < π‘˜ ↔ (𝐼 + 1) < π‘˜))
96 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
9796breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
9895, 97imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ ((𝐼 + 1) < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))))
99 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((𝐼 + 1) < π‘˜ ↔ (𝐼 + 1) < π‘₯))
100 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
101100breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
10299, 101imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (((𝐼 + 1) < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
10398, 102rspc2v 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
10494, 29, 103syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
10528, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
106 pm3.35 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∧ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))
107 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
108 xrltnsym 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
10946, 107, 108syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
110109imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))
111110pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
112111expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
113112expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
114113adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
115114com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
116106, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∧ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
117116ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
118117com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
119105, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
121 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
122121breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
123121breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
124122, 123anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
125 xrltnr 13131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
1261253ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
127126pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
128127com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
129128adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
130124, 129syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
131130com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
132131a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
133120, 132jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
13593, 134sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
136135com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
137136com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
13823, 137syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
139138com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
140139com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
141140impd 409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 < π‘₯ β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
142141com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
14385, 142jaoi 855 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
144143com12 32 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
14520, 144mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
146145ex 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
147146com23 86 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
148147rexlimdva 3145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
14913, 148mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
150149imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
151150com12 32 . . 3 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
1521, 151sylbi 216 . 2 (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
153 ax-1 6 . 2 (Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
154152, 153pm2.61i 182 1 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  ran crn 5673   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑m cmap 8843  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  β„•cn 12242  β„€cz 12588  (,)cioo 13356  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  RePartciccp 46816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-ioo 13360  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-iccp 46817
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