Theorem iccpartnel 43080

Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. Corresponds to fourierdlem12 41946 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 8-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartnel.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartnel.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartnel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iccpartnel	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))

Proof of Theorem iccpartnel

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 12617	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
2		iccpartnel.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑃)
3		iccpartnel.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4		iccpartnel.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5		iccpart 43058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
7		elmapfn 8279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
9	6, 8	syl6bi 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → 𝑃 Fn (0...𝑀)))
10	3, 9	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn (0...𝑀))
11		fvelrnb 6594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑥) = 𝑋))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑥) = 𝑋))
13	2, 12	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑥) = 𝑋)
14		elfzelz 12758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
15	14	zred 11936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		elfzoelz 12888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
18	17	zred 11936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
19		lelttric 10594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑥))
20	16, 18, 19	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑥))
21		breq2 4966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ↔ (𝑃‘𝐼) < 𝑋))
22		breq1 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
23	21, 22	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
24		leloe 10574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐼 ↔ (𝑥 < 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐼)))
25	16, 18, 24	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝐼 ↔ (𝑥 < 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐼)))
26	4, 3	iccpartgt 43069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)))
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ (0...𝑀))
30		elfzofz 12903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
31		breq1 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 < 𝑘 ↔ 𝑥 < 𝑘))
32		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑥))
33	32	breq1d 4972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝑘)))
34	31, 33	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ((𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) ↔ (𝑥 < 𝑘 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝑘))))
35		breq2 4966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → (𝑥 < 𝑘 ↔ 𝑥 < 𝐼))
36		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝐼))
37	36	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼)))
38	35, 37	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → ((𝑥 < 𝑘 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝑘)) ↔ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))))
39	34, 38	rspc2v 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))))
40	29, 30, 39	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))))
41	28, 40	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼)))
42		pm3.35 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 < 𝐼 ∧ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))) → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))
43	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
44	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
45	43, 44, 29	iccpartxr 43061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (𝑃‘𝑥) ∈ ℝ*)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑥) ∈ ℝ*)
47		simp1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*)
48		xrltle 12392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑃‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → (𝑃‘𝑥) ≤ (𝑃‘𝐼)))
49	46, 47, 48	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → (𝑃‘𝑥) ≤ (𝑃‘𝐼)))
50		xrlenlt 10553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑃‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝑥) ≤ (𝑃‘𝐼) ↔ ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥)))
51	46, 47, 50	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘𝑥) ≤ (𝑃‘𝐼) ↔ ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥)))
52	49, 51	sylibd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥)))
53	52	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥))))
54	53	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥))))
55	54	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥)))
56	55	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥))
57	56	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
58	57	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
59	58	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
60	42, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 < 𝐼 ∧ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
61	60	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 < 𝐼 → ((𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
62	61	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼)) → (𝑥 < 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
63	41, 62	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 < 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
64	63	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 < 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
65		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝐼))
66	65	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ↔ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼)))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ↔ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼)))
68		xrltnr 12364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼))
69	68	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼))
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼))
71	70	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
72	67, 71	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
73	72	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
74	73	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
75	64, 74	jaoi 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 < 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐼) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
76	75	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 < 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐼) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
77	25, 76	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
78	77	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐼 → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
79	78	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
81	23, 80	syl6bir 255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
82	81	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
83	82	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
84	83	impd 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≤ 𝐼 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
85	84	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
86	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
87		zltp1le 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑥 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝑥))
88	17, 86, 87	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝑥))
89	17	peano2zd 11939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
90	89	zred 11936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
91		leloe 10574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
92	90, 16, 91	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
93	88, 92	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
94		fzofzp1 12984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
95		breq1 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑘 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑘))
96		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
97	96	breq1d 4972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑘)))
98	95, 97	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑘 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑘))))
99		breq2 4966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐼 + 1) < 𝑘 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑥))
100		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑥))
101	100	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)))
102	99, 101	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (((𝐼 + 1) < 𝑘 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑘)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))))
103	98, 102	rspc2v 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))))
104	94, 29, 103	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))))
105	28, 104	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)))
106		pm3.35 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∧ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))
107		simp2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
108		xrltnsym 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑃‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)))
109	46, 107, 108	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)))
110	109	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))
111	110	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
112	111	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
113	112	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
114	113	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
115	114	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
116	106, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∧ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
117	116	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
118	117	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
119	105, 118	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
120	119	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
121		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝑥))
122	121	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥)))
123	121	breq1d 4972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
124	122, 123	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
125		xrltnr 12364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
126	125	3ad2ant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
127	126	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
128	127	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
129	128	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
130	124, 129	syl6bir 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
131	130	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
132	131	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
133	120, 132	jaoi 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
134	133	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
135	93, 134	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
136	135	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
137	136	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
138	23, 137	syl6bir 255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
139	138	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
140	139	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
141	140	impd 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 < 𝑥 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
142	141	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
143	85, 142	jaoi 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ≤ 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑥) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
144	143	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ≤ 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑥) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
145	20, 144	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
146	145	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
147	146	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
148	147	rexlimdva 3247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
149	13, 148	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
150	149	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
151	150	com12 32	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
152	1, 151	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
153		ax-1 6	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
154	152, 153	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  ∃wrex 3106   class class class wbr 4962  ran crn 5444   Fn wfn 6220  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ↑_𝑚 cmap 8256  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386  ℝ^*cxr 10520   < clt 10521   ≤ cle 10522  ℕcn 11486  ℤcz 11829  (,)cioo 12588  ...cfz 12742  ..^cfzo 12883  RePartciccp 43055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-ioo 12592  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-iccp 43056

This theorem is referenced by: (None)