Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartnel 45620
Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. Corresponds to fourierdlem12 44350 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 8-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartnel.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartnel.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartnel.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑃)
Assertion
Ref Expression
iccpartnel ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))

Proof of Theorem iccpartnel
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioo3g 13293 . . 3 (𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
2 iccpartnel.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑃)
3 iccpartnel.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4 iccpartnel.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5 iccpart 45598 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
7 elmapfn 8803 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
96, 8syl6bi 252 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → 𝑃 Fn (0...𝑀)))
103, 9mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 Fn (0...𝑀))
11 fvelrnb 6903 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋))
132, 12mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋)
14 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
1514zred 12607 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
1615adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
1817zred 12607 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
19 lelttric 11262 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼𝐼 < 𝑥))
2016, 18, 19syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥𝐼𝐼 < 𝑥))
21 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ↔ (𝑃𝐼) < 𝑋))
22 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
2321, 22anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
24 leloe 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼)))
2516, 18, 24syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼)))
264, 3iccpartgt 45609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)))
29 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ (0...𝑀))
30 elfzofz 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
31 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 < 𝑘𝑥 < 𝑘))
32 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑥))
3332breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃𝑥) < (𝑃𝑘)))
3431, 33imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) ↔ (𝑥 < 𝑘 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝑘))))
35 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 𝐼 → (𝑥 < 𝑘𝑥 < 𝐼))
36 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = 𝐼 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝐼))
3736breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)))
3835, 37imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑥 < 𝑘 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝑘)) ↔ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))))
3934, 38rspc2v 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))))
4029, 30, 39syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))))
4128, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)))
42 pm3.35 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 < 𝐼 ∧ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))) → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))
434adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4543, 44, 29iccpartxr 45601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ*)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ*)
47 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑃𝐼) ∈ ℝ*)
48 xrltle 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼)))
4946, 47, 48syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼)))
50 xrlenlt 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼) ↔ ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5146, 47, 50syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼) ↔ ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5249, 51sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5352ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥))))
5453com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥))))
5554imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5655imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥))
5756pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
5857ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
5958ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
6042, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 < 𝐼 ∧ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
6160ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 < 𝐼 → ((𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
6261com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)) → (𝑥 < 𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
6341, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 < 𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
6463com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 < 𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
65 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐼))
6665breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 𝐼 → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ↔ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼)))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ↔ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼)))
68 xrltnr 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼))
69683ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼))
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼))
7170pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝐼) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
7267, 71sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
7473a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7564, 74jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7725, 76sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7978com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8123, 80syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
8281com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐼 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
8382com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
8483impd 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8584com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8614adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
87 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑥 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝑥))
8817, 86, 87syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝑥))
8917peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
9089zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
91 leloe 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
9290, 16, 91syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
9388, 92bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
94 fzofzp1 13669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
95 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑘 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑘))
96 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
9796breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘)))
9895, 97imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑘 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘))))
99 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐼 + 1) < 𝑘 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑥))
100 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 𝑥 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑥))
101100breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
10299, 101imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑥 → (((𝐼 + 1) < 𝑘 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))))
10398, 102rspc2v 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))))
10494, 29, 103syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))))
10528, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
106 pm3.35 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∧ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))
107 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
108 xrltnsym 13056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
10946, 107, 108syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
110109imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))
111110pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
112111expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
113112expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
114113adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
115114com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
116106, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∧ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
117116ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
118117com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
119105, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
121 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝑥))
122121breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → ((𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
123121breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
124122, 123anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
125 xrltnr 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
1261253ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
127126pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
128127com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
129128adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
130124, 129syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
131130com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
132131a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
133120, 132jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
13593, 134sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
136135com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
137136com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
13823, 137syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
139138com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
140139com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
141140impd 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 < 𝑥 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
142141com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
14385, 142jaoi 855 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼𝐼 < 𝑥) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
144143com12 32 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥𝐼𝐼 < 𝑥) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
14520, 144mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
146145ex 413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
147146com23 86 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
148147rexlimdva 3152 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
14913, 148mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
150149imp 407 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
151150com12 32 . . 3 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
1521, 151sylbi 216 . 2 (𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
153 ax-1 6 . 2 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
154152, 153pm2.61i 182 1 ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105  ran crn 5634   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  cz 12499  (,)cioo 13264  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  RePartciccp 45595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-ioo 13268  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-iccp 45596
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator