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Theorem iccpartnel 45720
Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. Corresponds to fourierdlem12 44450 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 8-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartnel.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartnel.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
iccpartnel.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑃)
Assertion
Ref Expression
iccpartnel ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))

Proof of Theorem iccpartnel
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioo3g 13302 . . 3 (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
2 iccpartnel.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑃)
3 iccpartnel.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4 iccpartnel.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5 iccpart 45698 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
7 elmapfn 8809 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
87adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
96, 8syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀)))
103, 9mpd 15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
11 fvelrnb 6907 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn (0...𝑀) β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋))
132, 12mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋)
14 elfzelz 13450 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
1514zred 12615 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1615adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 elfzoelz 13581 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
1817zred 12615 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
19 lelttric 11270 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯))
2016, 18, 19syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯))
21 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋))
22 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
2321, 22anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
24 leloe 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ↔ (π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼)))
2516, 18, 24syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ↔ (π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼)))
264, 3iccpartgt 45709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ (0...𝑀))
30 elfzofz 13597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ (0...𝑀))
31 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = π‘₯ β†’ (𝑖 < π‘˜ ↔ π‘₯ < π‘˜))
32 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
3332breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
3431, 33imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = π‘₯ β†’ ((𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))))
35 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘₯ < π‘˜ ↔ π‘₯ < 𝐼))
36 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜πΌ))
3736breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
3835, 37imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘₯ < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))))
3934, 38rspc2v 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))))
4029, 30, 39syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))))
4128, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
42 pm3.35 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘₯ < 𝐼 ∧ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
434adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
443adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4543, 44, 29iccpartxr 45701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
47 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*)
48 xrltle 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ)))
4946, 47, 48syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ)))
50 xrlenlt 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ) ↔ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5146, 47, 50syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ) ↔ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5249, 51sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5352ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
5453com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
5554imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5655imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))
5756pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
5857ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
5958ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
6042, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ < 𝐼 ∧ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
6160ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ < 𝐼 β†’ ((π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
6261com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
6341, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
6463com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ < 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
65 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜πΌ))
6665breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ = 𝐼 β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
68 xrltnr 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
69683ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
7069adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
7170pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
7267, 71sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
7372ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
7473a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7564, 74jaoi 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7725, 76sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7978com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8079adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8123, 80syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
8281com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
8382com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
8483impd 412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8584com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8614adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
87 zltp1le 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐼 < π‘₯ ↔ (𝐼 + 1) ≀ π‘₯))
8817, 86, 87syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < π‘₯ ↔ (𝐼 + 1) ≀ π‘₯))
8917peano2zd 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„€)
9089zred 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
91 leloe 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐼 + 1) ≀ π‘₯ ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯)))
9290, 16, 91syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 + 1) ≀ π‘₯ ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯)))
9388, 92bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < π‘₯ ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯)))
94 fzofzp1 13678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
95 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (𝑖 < π‘˜ ↔ (𝐼 + 1) < π‘˜))
96 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
9796breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
9895, 97imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ ((𝐼 + 1) < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))))
99 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((𝐼 + 1) < π‘˜ ↔ (𝐼 + 1) < π‘₯))
100 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
101100breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
10299, 101imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (((𝐼 + 1) < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
10398, 102rspc2v 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
10494, 29, 103syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
10528, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
106 pm3.35 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∧ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))
107 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
108 xrltnsym 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
10946, 107, 108syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
110109imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))
111110pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
112111expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
113112expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
114113adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
115114com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
116106, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∧ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
117116ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
118117com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
119105, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
121 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
122121breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
123121breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
124122, 123anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
125 xrltnr 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
1261253ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
127126pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
128127com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
129128adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
130124, 129syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
131130com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
132131a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
133120, 132jaoi 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
13593, 134sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
136135com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
137136com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
13823, 137syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
139138com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
140139com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
141140impd 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 < π‘₯ β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
142141com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
14385, 142jaoi 856 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
144143com12 32 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
14520, 144mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
146145ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
147146com23 86 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
148147rexlimdva 3149 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
14913, 148mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
150149imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
151150com12 32 . . 3 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
1521, 151sylbi 216 . 2 (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
153 ax-1 6 . 2 (Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
154152, 153pm2.61i 182 1 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  ran crn 5638   Fn wfn 6495  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„€cz 12507  (,)cioo 13273  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  RePartciccp 45695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-ioo 13277  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-iccp 45696
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