Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartnel 43953
Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. Corresponds to fourierdlem12 42759 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 8-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartnel.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartnel.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartnel.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑃)
Assertion
Ref Expression
iccpartnel ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))

Proof of Theorem iccpartnel
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioo3g 12755 . . 3 (𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
2 iccpartnel.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑃)
3 iccpartnel.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4 iccpartnel.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5 iccpart 43931 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
7 elmapfn 8412 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
87adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
96, 8syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → 𝑃 Fn (0...𝑀)))
103, 9mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 Fn (0...𝑀))
11 fvelrnb 6701 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋))
132, 12mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋)
14 elfzelz 12902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
1514zred 12075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
1615adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 elfzoelz 13033 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
1817zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
19 lelttric 10736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼𝐼 < 𝑥))
2016, 18, 19syl2an 598 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥𝐼𝐼 < 𝑥))
21 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ↔ (𝑃𝐼) < 𝑋))
22 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
2321, 22anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
24 leloe 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼)))
2516, 18, 24syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼)))
264, 3iccpartgt 43942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)))
2726adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)))
2827adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)))
29 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ (0...𝑀))
30 elfzofz 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
31 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 < 𝑘𝑥 < 𝑘))
32 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑥))
3332breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃𝑥) < (𝑃𝑘)))
3431, 33imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) ↔ (𝑥 < 𝑘 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝑘))))
35 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 𝐼 → (𝑥 < 𝑘𝑥 < 𝐼))
36 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = 𝐼 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝐼))
3736breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)))
3835, 37imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑥 < 𝑘 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝑘)) ↔ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))))
3934, 38rspc2v 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))))
4029, 30, 39syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))))
4128, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)))
42 pm3.35 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 < 𝐼 ∧ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))) → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))
434adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
443adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4543, 44, 29iccpartxr 43934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ*)
4645adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ*)
47 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑃𝐼) ∈ ℝ*)
48 xrltle 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼)))
4946, 47, 48syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼)))
50 xrlenlt 10695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼) ↔ ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5146, 47, 50syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼) ↔ ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5249, 51sylibd 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5352ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥))))
5453com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥))))
5554imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5655imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥))
5756pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
5857ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
5958ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
6042, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 < 𝐼 ∧ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
6160ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 < 𝐼 → ((𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
6261com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)) → (𝑥 < 𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
6341, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 < 𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
6463com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 < 𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
65 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐼))
6665breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 𝐼 → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ↔ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼)))
6766adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ↔ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼)))
68 xrltnr 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼))
69683ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼))
7069adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼))
7170pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝐼) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
7267, 71sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
7372ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
7473a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7564, 74jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7725, 76sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7978com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8079adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8123, 80syl6bir 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
8281com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐼 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
8382com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
8483impd 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8584com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8614adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
87 zltp1le 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑥 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝑥))
8817, 86, 87syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝑥))
8917peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
9089zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
91 leloe 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
9290, 16, 91syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
9388, 92bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
94 fzofzp1 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
95 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑘 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑘))
96 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
9796breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘)))
9895, 97imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑘 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘))))
99 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐼 + 1) < 𝑘 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑥))
100 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 𝑥 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑥))
101100breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
10299, 101imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑥 → (((𝐼 + 1) < 𝑘 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))))
10398, 102rspc2v 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))))
10494, 29, 103syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))))
10528, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
106 pm3.35 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∧ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))
107 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
108 xrltnsym 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
10946, 107, 108syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
110109imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))
111110pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
112111expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
113112expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
114113adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
115114com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
116106, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∧ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
117116ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
118117com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
119105, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
121 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝑥))
122121breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → ((𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
123121breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
124122, 123anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
125 xrltnr 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
1261253ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
127126pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
128127com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
129128adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
130124, 129syl6bir 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
131130com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
132131a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
133120, 132jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
13593, 134sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
136135com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
137136com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
13823, 137syl6bir 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
139138com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
140139com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
141140impd 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 < 𝑥 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
142141com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
14385, 142jaoi 854 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼𝐼 < 𝑥) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
144143com12 32 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥𝐼𝐼 < 𝑥) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
14520, 144mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
146145ex 416 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
147146com23 86 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
148147rexlimdva 3243 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
14913, 148mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
150149imp 410 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
151150com12 32 . . 3 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
1521, 151sylbi 220 . 2 (𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
153 ax-1 6 . 2 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
154152, 153pm2.61i 185 1 ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  wrex 3107   class class class wbr 5030  ran crn 5520   Fn wfn 6319  cfv 6324  (class class class)co 7135  m cmap 8389  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cn 11625  cz 11969  (,)cioo 12726  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  RePartciccp 43928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-ioo 12730  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-iccp 43929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator