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Theorem iccpartnel 46678
Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. Corresponds to fourierdlem12 45407 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 8-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartnel.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartnel.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
iccpartnel.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑃)
Assertion
Ref Expression
iccpartnel ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))

Proof of Theorem iccpartnel
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioo3g 13359 . . 3 (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
2 iccpartnel.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑃)
3 iccpartnel.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4 iccpartnel.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5 iccpart 46656 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
7 elmapfn 8861 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
96, 8syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀)))
103, 9mpd 15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
11 fvelrnb 6946 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn (0...𝑀) β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋))
132, 12mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋)
14 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
1514zred 12670 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 elfzoelz 13638 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
1817zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
19 lelttric 11325 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯))
2016, 18, 19syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯))
21 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋))
22 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
2321, 22anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
24 leloe 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ↔ (π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼)))
2516, 18, 24syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 ↔ (π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼)))
264, 3iccpartgt 46667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ (0...𝑀))
30 elfzofz 13654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ (0...𝑀))
31 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = π‘₯ β†’ (𝑖 < π‘˜ ↔ π‘₯ < π‘˜))
32 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
3332breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
3431, 33imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = π‘₯ β†’ ((𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))))
35 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘₯ < π‘˜ ↔ π‘₯ < 𝐼))
36 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜πΌ))
3736breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
3835, 37imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘₯ < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))))
3934, 38rspc2v 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))))
4029, 30, 39syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))))
4128, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
42 pm3.35 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘₯ < 𝐼 ∧ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
434adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4543, 44, 29iccpartxr 46659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
47 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*)
48 xrltle 13134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ)))
4946, 47, 48syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ)))
50 xrlenlt 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ) ↔ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5146, 47, 50syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ≀ (π‘ƒβ€˜πΌ) ↔ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5249, 51sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5352ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
5453com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
5554imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
5655imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))
5756pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
5857ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
5958ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
6042, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ < 𝐼 ∧ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
6160ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ < 𝐼 β†’ ((π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
6261com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ < 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜πΌ)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
6341, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ < 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
6463com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ < 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
65 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜πΌ))
6665breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ = 𝐼 β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ)))
68 xrltnr 13105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
69683ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
7069adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
7170pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜πΌ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
7267, 71sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ = 𝐼 ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
7372ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
7473a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7564, 74jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ < 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐼) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7725, 76sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
7978com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8123, 80syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
8281com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
8382com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
8483impd 410 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8584com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ≀ 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
8614adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
87 zltp1le 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐼 < π‘₯ ↔ (𝐼 + 1) ≀ π‘₯))
8817, 86, 87syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < π‘₯ ↔ (𝐼 + 1) ≀ π‘₯))
8917peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„€)
9089zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
91 leloe 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐼 + 1) ≀ π‘₯ ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯)))
9290, 16, 91syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 + 1) ≀ π‘₯ ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯)))
9388, 92bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < π‘₯ ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯)))
94 fzofzp1 13735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
95 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (𝑖 < π‘˜ ↔ (𝐼 + 1) < π‘˜))
96 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
9796breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
9895, 97imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ ((𝐼 + 1) < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))))
99 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((𝐼 + 1) < π‘˜ ↔ (𝐼 + 1) < π‘₯))
100 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
101100breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
10299, 101imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (((𝐼 + 1) < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) ↔ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
10398, 102rspc2v 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
10494, 29, 103syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(𝑖 < π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))))
10528, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
106 pm3.35 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∧ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))
107 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
108 xrltnsym 13122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
10946, 107, 108syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
110109imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))
111110pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
112111expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
113112expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
114113adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
115114com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
116106, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∧ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
117116ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
118117com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
119105, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
121 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
122121breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
123121breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
124122, 123anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
125 xrltnr 13105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
1261253ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
127126pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
128127com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
129128adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
130124, 129syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
131130com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
132131a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) = π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
133120, 132jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐼 + 1) < π‘₯ ∨ (𝐼 + 1) = π‘₯) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
13593, 134sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
136135com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
137136com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
13823, 137syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (𝐼 < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
139138com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
140139com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 < π‘₯ β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))))
141140impd 410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 < π‘₯ β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
142141com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 < π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
14385, 142jaoi 854 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
144143com12 32 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝐼 ∨ 𝐼 < π‘₯) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
14520, 144mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
146145ex 412 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
147146com23 86 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
148147rexlimdva 3149 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))))
14913, 148mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))))
150149imp 406 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
151150com12 32 . . 3 ((((π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜πΌ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
1521, 151sylbi 216 . 2 (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
153 ax-1 6 . 2 (Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
154152, 153pm2.61i 182 1 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜πΌ)(,)(π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  ran crn 5670   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„€cz 12562  (,)cioo 13330  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  RePartciccp 46653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ioo 13334  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-iccp 46654
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