Theorem iccpartnel 45620

Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. Corresponds to fourierdlem12 44350 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 8-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartnel.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartnel.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartnel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iccpartnel	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))

Proof of Theorem iccpartnel

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13293	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
2		iccpartnel.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑃)
3		iccpartnel.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4		iccpartnel.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5		iccpart 45598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
7		elmapfn 8803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
9	6, 8	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → 𝑃 Fn (0...𝑀)))
10	3, 9	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn (0...𝑀))
11		fvelrnb 6903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑥) = 𝑋))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑥) = 𝑋))
13	2, 12	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑥) = 𝑋)
14		elfzelz 13441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
15	14	zred 12607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		elfzoelz 13572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
18	17	zred 12607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
19		lelttric 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑥))
20	16, 18, 19	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑥))
21		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ↔ (𝑃‘𝐼) < 𝑋))
22		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
23	21, 22	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
24		leloe 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐼 ↔ (𝑥 < 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐼)))
25	16, 18, 24	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝐼 ↔ (𝑥 < 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐼)))
26	4, 3	iccpartgt 45609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)))
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ (0...𝑀))
30		elfzofz 13588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
31		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 < 𝑘 ↔ 𝑥 < 𝑘))
32		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑥))
33	32	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝑘)))
34	31, 33	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ((𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) ↔ (𝑥 < 𝑘 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝑘))))
35		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → (𝑥 < 𝑘 ↔ 𝑥 < 𝐼))
36		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝐼))
37	36	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼)))
38	35, 37	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → ((𝑥 < 𝑘 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝑘)) ↔ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))))
39	34, 38	rspc2v 3590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))))
40	29, 30, 39	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))))
41	28, 40	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼)))
42		pm3.35 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 < 𝐼 ∧ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))) → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))
43	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
44	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
45	43, 44, 29	iccpartxr 45601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (𝑃‘𝑥) ∈ ℝ*)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑥) ∈ ℝ*)
47		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*)
48		xrltle 13068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑃‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → (𝑃‘𝑥) ≤ (𝑃‘𝐼)))
49	46, 47, 48	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → (𝑃‘𝑥) ≤ (𝑃‘𝐼)))
50		xrlenlt 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑃‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝑥) ≤ (𝑃‘𝐼) ↔ ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥)))
51	46, 47, 50	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘𝑥) ≤ (𝑃‘𝐼) ↔ ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥)))
52	49, 51	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥)))
53	52	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥))))
54	53	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥))))
55	54	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥)))
56	55	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥))
57	56	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
58	57	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
59	58	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
60	42, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 < 𝐼 ∧ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼))) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
61	60	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 < 𝐼 → ((𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
62	61	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 < 𝐼 → (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘𝐼)) → (𝑥 < 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
63	41, 62	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 < 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
64	63	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 < 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
65		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝐼))
66	65	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ↔ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼)))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ↔ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼)))
68		xrltnr 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼))
69	68	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼))
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼))
71	70	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝐼) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
72	67, 71	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
73	72	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
74	73	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
75	64, 74	jaoi 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 < 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐼) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
76	75	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 < 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐼) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
77	25, 76	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
78	77	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐼 → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
79	78	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
81	23, 80	syl6bir 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
82	81	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
83	82	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
84	83	impd 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≤ 𝐼 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
85	84	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≤ 𝐼 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
86	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
87		zltp1le 12553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑥 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝑥))
88	17, 86, 87	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝑥))
89	17	peano2zd 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
90	89	zred 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
91		leloe 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
92	90, 16, 91	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
93	88, 92	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
94		fzofzp1 13669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
95		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑘 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑘))
96		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
97	96	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑘)))
98	95, 97	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑘 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑘))))
99		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐼 + 1) < 𝑘 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑥))
100		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑥))
101	100	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)))
102	99, 101	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (((𝐼 + 1) < 𝑘 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑘)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))))
103	98, 102	rspc2v 3590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))))
104	94, 29, 103	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑘)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))))
105	28, 104	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)))
106		pm3.35 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∧ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))
107		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
108		xrltnsym 13056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑃‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)))
109	46, 107, 108	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)))
110	109	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))
111	110	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
112	111	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
113	112	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
114	113	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
115	114	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
116	106, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∧ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥))) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
117	116	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
118	117	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑥)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
119	105, 118	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
120	119	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
121		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝑥))
122	121	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥)))
123	121	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
124	122, 123	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
125		xrltnr 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
126	125	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
127	126	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
128	127	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
129	128	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
130	124, 129	syl6bir 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
131	130	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
132	131	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
133	120, 132	jaoi 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
134	133	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
135	93, 134	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
136	135	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
137	136	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃‘𝐼) < (𝑃‘𝑥) ∧ (𝑃‘𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
138	23, 137	syl6bir 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
139	138	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
140	139	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
141	140	impd 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 < 𝑥 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
142	141	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
143	85, 142	jaoi 855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ≤ 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑥) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
144	143	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ≤ 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑥) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
145	20, 144	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
146	145	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
147	146	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
148	147	rexlimdva 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑥) = 𝑋 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
149	13, 148	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
150	149	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
151	150	com12 32	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘𝐼) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
152	1, 151	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
153		ax-1 6	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
154	152, 153	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃‘𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ran crn 5634   Fn wfn 6491  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℕcn 12153  ℤcz 12499  (,)cioo 13264  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  RePartciccp 45595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-ioo 13268  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-iccp 45596

This theorem is referenced by: (None)