MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem4 13286
Description: Lemma for faclbnd4 13287. Prove the 0 < 𝑁 case by induction on 𝐾. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem4
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6848 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝑗) = (𝑚𝑗))
2 oveq2 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑚))
31, 2oveq12d 6859 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛𝑗) · (𝑀𝑛)) = ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)))
4 fveq2 6374 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
54oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)))
63, 5breq12d 4821 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛𝑗) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚))))
76cbvralv 3318 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑗) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)))
8 nnre 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9 1re 10292 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
10 lelttric 10397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛))
118, 9, 10sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛))
1211ancli 544 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛)))
13 andi 1030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)))
1412, 13sylib 209 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)))
15 nnge1 11302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
16 letri3 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛 = 1 ↔ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)))
178, 9, 16sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 = 1 ↔ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)))
1817biimpar 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)) → 𝑛 = 1)
1918anassrs 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∧ 1 ≤ 𝑛) → 𝑛 = 1)
2015, 19mpidan 680 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) → 𝑛 = 1)
21 oveq1 6848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = (1 − 1))
22 1m1e0 11343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 1) = 0
2321, 22syl6eq 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = 0)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) → (𝑛 − 1) = 0)
25 faclbnd4lem3 13285 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 − 1) = 0) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
2624, 25sylan2 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
28 1nn 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
29 nnsub 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
3028, 29mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
3130biimpa 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
32 oveq1 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑚𝑗) = ((𝑛 − 1)↑𝑗))
33 oveq2 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑀𝑚) = (𝑀↑(𝑛 − 1)))
3432, 33oveq12d 6859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑛 − 1) → ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) = (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))))
35 fveq2 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑛 − 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑛 − 1)))
3635oveq2d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑛 − 1) → (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
3734, 36breq12d 4821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝑛 − 1) → (((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) ↔ (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
3837rspcv 3456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
3931, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
4039adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
4127, 40jaodan 980 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
4214, 41sylan2 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
43 faclbnd4lem2 13284 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
44433expa 1147 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
4542, 44syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
4645ralrimdva 3115 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚𝑗) · (𝑀𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
477, 46syl5bi 233 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑗) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
4847expcom 402 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑗) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
4948a2d 29 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑗) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
50 nnnn0 11545 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
51 faclbnd3 13282 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑛)))
5250, 51sylan2 586 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑛)))
53 nncn 11282 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
5453exp0d 13208 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑0) = 1)
5554oveq1d 6856 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑0) · (𝑀𝑛)) = (1 · (𝑀𝑛)))
5655adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀𝑛)) = (1 · (𝑀𝑛)))
57 nn0cn 11548 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
58 expcl 13084 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℂ)
5957, 50, 58syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ ℂ)
6059mulid2d 10311 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (1 · (𝑀𝑛)) = (𝑀𝑛))
6156, 60eqtrd 2798 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀𝑛)) = (𝑀𝑛))
62 sq0 13161 . . . . . . . . . . . . . 14 (0↑2) = 0
6362oveq2i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑(0↑2)) = (2↑0)
64 2cn 11346 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
65 exp0 13070 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑0) = 1
6763, 66eqtri 2786 . . . . . . . . . . . 12 (2↑(0↑2)) = 1
6867a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → (2↑(0↑2)) = 1)
6957addid1d 10489 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
7069oveq2d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (𝑀𝑀))
7168, 70oveq12d 6859 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) = (1 · (𝑀𝑀)))
72 expcl 13084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ∈ ℂ)
7357, 72mpancom 679 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑀) ∈ ℂ)
7473mulid2d 10311 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀𝑀)) = (𝑀𝑀))
7571, 74eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) = (𝑀𝑀))
7675oveq1d 6856 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)) = ((𝑀𝑀) · (!‘𝑛)))
7776adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)) = ((𝑀𝑀) · (!‘𝑛)))
7852, 61, 773brtr4d 4840 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
7978ralrimiva 3112 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
80 oveq2 6849 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 0 → (𝑛𝑚) = (𝑛↑0))
8180oveq1d 6856 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) = ((𝑛↑0) · (𝑀𝑛)))
82 oveq1 6848 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 0 → (𝑚↑2) = (0↑2))
8382oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 0 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(0↑2)))
84 oveq2 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 0 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 0))
8584oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
8683, 85oveq12d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 0 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
8786oveq1d 6856 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
8881, 87breq12d 4821 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑0) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛))))
8988ralbidv 3132 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛))))
9089imbi2d 331 . . . . 5 (𝑚 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))))
91 oveq2 6849 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → (𝑛𝑚) = (𝑛𝑗))
9291oveq1d 6856 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) = ((𝑛𝑗) · (𝑀𝑛)))
93 oveq1 6848 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚↑2) = (𝑗↑2))
9493oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(𝑗↑2)))
95 oveq2 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑗 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 𝑗))
9695oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 𝑗)))
9794, 96oveq12d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))))
9897oveq1d 6856 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)))
9992, 98breq12d 4821 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → (((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛𝑗) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))))
10099ralbidv 3132 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑗) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))))
101100imbi2d 331 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑗) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)))))
102 oveq2 6849 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑛𝑚) = (𝑛↑(𝑗 + 1)))
103102oveq1d 6856 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) = ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)))
104 oveq1 6848 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑚↑2) = ((𝑗 + 1)↑2))
105104oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑗 + 1) → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑((𝑗 + 1)↑2)))
106 oveq2 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + (𝑗 + 1)))
107106oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1))))
108105, 107oveq12d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))))
109108oveq1d 6856 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑗 + 1) → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))
110103, 109breq12d 4821 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑗 + 1) → (((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
111110ralbidv 3132 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑗 + 1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
112111imbi2d 331 . . . . 5 (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
113 oveq2 6849 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝐾 → (𝑛𝑚) = (𝑛𝐾))
114113oveq1d 6856 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝐾 → ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) = ((𝑛𝐾) · (𝑀𝑛)))
115 oveq1 6848 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝐾 → (𝑚↑2) = (𝐾↑2))
116115oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝐾 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(𝐾↑2)))
117 oveq2 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝐾 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 𝐾))
118117oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝐾 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))
119116, 118oveq12d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝐾 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
120119oveq1d 6856 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝐾 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))
121114, 120breq12d 4821 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝐾 → (((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛𝐾) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
122121ralbidv 3132 . . . . . 6 (𝑚 = 𝐾 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝐾) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
123122imbi2d 331 . . . . 5 (𝑚 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝑚) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝐾) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))))
12449, 79, 90, 101, 112, 123nn0indALT 11719 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝐾) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
125124imp 395 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝐾) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))
126 oveq1 6848 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝐾) = (𝑁𝐾))
127 oveq2 6849 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑁))
128126, 127oveq12d 6859 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛𝐾) · (𝑀𝑛)) = ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)))
129 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
130129oveq2d 6857 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
131128, 130breq12d 4821 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑛𝐾) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
132131rspcva 3458 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛𝐾) · (𝑀𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
133125, 132sylan2 586 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
1341333impb 1143 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3054   class class class wbr 4808  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193   < clt 10327  cle 10328  cmin 10519  cn 11273  2c2 11326  0cn0 11537  cexp 13066  !cfa 13263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-rp 12028  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264
This theorem is referenced by:  faclbnd4  13287
  Copyright terms: Public domain W3C validator