Theorem faclbnd4lem4 13748

Description: Lemma for faclbnd4 13749. Prove the 0 < 𝑁 case by induction on 𝐾. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem4

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑𝑗) = (𝑚↑𝑗))
2		oveq2 7178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀↑𝑛) = (𝑀↑𝑚))
3	1, 2	oveq12d 7188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)))
4		fveq2 6674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
5	4	oveq2d 7186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)))
6	3, 5	breq12d 5043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚))))
7	6	cbvralvw 3349	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)))
8		nnre 11723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		1re 10719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		lelttric 10825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛))
11	8, 9, 10	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛))
12	11	ancli 552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛)))
13		andi 1007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)))
14	12, 13	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)))
15		nnge1 11744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
16		letri3 10804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛 = 1 ↔ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)))
17	8, 9, 16	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 = 1 ↔ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)))
18	17	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)) → 𝑛 = 1)
19	18	anassrs 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∧ 1 ≤ 𝑛) → 𝑛 = 1)
20	15, 19	mpidan 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) → 𝑛 = 1)
21		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = (1 − 1))
22		1m1e0 11788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = 0)
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) → (𝑛 − 1) = 0)
25		faclbnd4lem3 13747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 − 1) = 0) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
26	24, 25	sylan2 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
27	26	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
28		1nn 11727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ
29		nnsub 11760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
30	28, 29	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
31	30	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
32		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑚↑𝑗) = ((𝑛 − 1)↑𝑗))
33		oveq2 7178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑀↑𝑚) = (𝑀↑(𝑛 − 1)))
34	32, 33	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) = (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))))
35		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑛 − 1)))
36	35	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
37	34, 36	breq12d 5043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) ↔ (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
38	37	rspcv 3521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
39	31, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
40	39	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
41	27, 40	jaodan 957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
42	14, 41	sylan2 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
43		faclbnd4lem2 13746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
44	43	3expa 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
45	42, 44	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
46	45	ralrimdva 3101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
47	7, 46	syl5bi 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
48	47	expcom 417	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
49	48	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
50		nnnn0 11983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
51		faclbnd3 13744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
52	50, 51	sylan2 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀↑𝑛) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
53		nncn 11724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
54	53	exp0d 13596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑0) = 1)
55	54	oveq1d 7185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (1 · (𝑀↑𝑛)))
56	55	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (1 · (𝑀↑𝑛)))
57		nn0cn 11986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
58		expcl 13539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℂ)
59	57, 50, 58	syl2an 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℂ)
60	59	mulid2d 10737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑𝑛)) = (𝑀↑𝑛))
61	56, 60	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (𝑀↑𝑛))
62		sq0 13647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0↑2) = 0
63	62	oveq2i 7181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑(0↑2)) = (2↑0)
64		2cn 11791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
65		exp0 13525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑0) = 1
67	63, 66	eqtri 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑(0↑2)) = 1
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (2↑(0↑2)) = 1)
69	57	addid1d 10918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
70	69	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (𝑀↑𝑀))
71	68, 70	oveq12d 7188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) = (1 · (𝑀↑𝑀)))
72		expcl 13539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
73	57, 72	mpancom 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
74	73	mulid2d 10737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑𝑀)) = (𝑀↑𝑀))
75	71, 74	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) = (𝑀↑𝑀))
76	75	oveq1d 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
77	76	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
78	52, 61, 77	3brtr4d 5062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
79	78	ralrimiva 3096	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
80		oveq2 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑0))
81	80	oveq1d 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)))
82		oveq1 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑2) = (0↑2))
83	82	oveq2d 7186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 0 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(0↑2)))
84		oveq2 7178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 0))
85	84	oveq2d 7186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
86	83, 85	oveq12d 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 0 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
87	86	oveq1d 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
88	81, 87	breq12d 5043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛))))
89	88	ralbidv 3109	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛))))
90	89	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))))
91		oveq2 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑𝑗))
92	91	oveq1d 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)))
93		oveq1 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚↑2) = (𝑗↑2))
94	93	oveq2d 7186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(𝑗↑2)))
95		oveq2 7178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 𝑗))
96	95	oveq2d 7186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 𝑗)))
97	94, 96	oveq12d 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))))
98	97	oveq1d 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)))
99	92, 98	breq12d 5043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))))
100	99	ralbidv 3109	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))))
101	100	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)))))
102		oveq2 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑(𝑗 + 1)))
103	102	oveq1d 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)))
104		oveq1 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑚↑2) = ((𝑗 + 1)↑2))
105	104	oveq2d 7186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑((𝑗 + 1)↑2)))
106		oveq2 7178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + (𝑗 + 1)))
107	106	oveq2d 7186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1))))
108	105, 107	oveq12d 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))))
109	108	oveq1d 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))
110	103, 109	breq12d 5043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
111	110	ralbidv 3109	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
112	111	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
113		oveq2 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑𝐾))
114	113	oveq1d 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)))
115		oveq1 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑚↑2) = (𝐾↑2))
116	115	oveq2d 7186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(𝐾↑2)))
117		oveq2 7178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 𝐾))
118	117	oveq2d 7186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))
119	116, 118	oveq12d 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
120	119	oveq1d 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))
121	114, 120	breq12d 5043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
122	121	ralbidv 3109	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
123	122	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))))
124	49, 79, 90, 101, 112, 123	nn0indALT 12159	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
125	124	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))
126		oveq1 7177	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛↑𝐾) = (𝑁↑𝐾))
127		oveq2 7178	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑀↑𝑛) = (𝑀↑𝑁))
128	126, 127	oveq12d 7188	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)))
129		fveq2 6674	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
130	129	oveq2d 7186	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
131	128, 130	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
132	131	rspcva 3524	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
133	125, 132	sylan2 596	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
134	133	3impb 1116	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ℂcc 10613  ℝcr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753   ≤ cle 10754   − cmin 10948  ℕcn 11716  2c2 11771  ℕ₀cn0 11976  ↑cexp 13521  !cfa 13725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726

This theorem is referenced by:  faclbnd4  13749