MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem4 14202
Description: Lemma for faclbnd4 14203. Prove the 0 < ๐‘ case by induction on ๐พ. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))

Proof of Theorem faclbnd4lem4
Dummy variables ๐‘— ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘—) = (๐‘šโ†‘๐‘—))
2 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘›) = (๐‘€โ†‘๐‘š))
31, 2oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) = ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)))
4 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘š))
54oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘›)) = (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)))
63, 5breq12d 5119 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘›โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š))))
76cbvralvw 3224 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)))
8 nnre 12165 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
9 1re 11160 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„
10 lelttric 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› โ‰ค 1 โˆจ 1 < ๐‘›))
118, 9, 10sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โ‰ค 1 โˆจ 1 < ๐‘›))
1211ancli 550 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โ‰ค 1 โˆจ 1 < ๐‘›)))
13 andi 1007 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โ‰ค 1 โˆจ 1 < ๐‘›)) โ†” ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค 1) โˆจ (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘›)))
1412, 13sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค 1) โˆจ (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘›)))
15 nnge1 12186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘›)
16 letri3 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› = 1 โ†” (๐‘› โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค ๐‘›)))
178, 9, 16sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› = 1 โ†” (๐‘› โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค ๐‘›)))
1817biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐‘› = 1)
1918anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค 1) โˆง 1 โ‰ค ๐‘›) โ†’ ๐‘› = 1)
2015, 19mpidan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค 1) โ†’ ๐‘› = 1)
21 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) = (1 โˆ’ 1))
22 1m1e0 12230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆ’ 1) = 0
2321, 22eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) = 0)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค 1) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) = 0)
25 faclbnd4lem3 14201 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) = 0) โ†’ (((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))))
2624, 25sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค 1)) โ†’ (((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))))
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค 1)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)) โ†’ (((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
28 1nn 12169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„•
29 nnsub 12202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1 < ๐‘› โ†” (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•))
3028, 29mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (1 < ๐‘› โ†” (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•))
3130biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
32 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘—) = ((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—))
33 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘š) = (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)))
3432, 33oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) = (((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))))
35 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ (!โ€˜๐‘š) = (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))
3635oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)) = (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))))
3734, 36breq12d 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ (((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)) โ†” (((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
3837rspcv 3576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)) โ†’ (((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
3931, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘›) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)) โ†’ (((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘›)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)) โ†’ (((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
4127, 40jaodan 957 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค 1) โˆจ (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘›))) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)) โ†’ (((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
4214, 41sylan2 594 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)) โ†’ (((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
43 faclbnd4lem2 14200 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
44433expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘› โˆ’ 1)โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
4542, 44syld 47 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)) โ†’ ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
4645ralrimdva 3148 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘šโ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘š)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘š)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
477, 46biimtrid 241 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
4847expcom 415 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›)))))
4948a2d 29 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘›))) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›)))))
50 nnnn0 12425 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
51 faclbnd3 14198 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘›) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘›)))
5250, 51sylan2 594 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘›) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘›)))
53 nncn 12166 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
5453exp0d 14051 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘›โ†‘0) = 1)
5554oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘›โ†‘0) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) = (1 ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)))
5655adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘›โ†‘0) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) = (1 ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)))
57 nn0cn 12428 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
58 expcl 13991 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
5957, 50, 58syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6059mulid2d 11178 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) = (๐‘€โ†‘๐‘›))
6156, 60eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘›โ†‘0) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) = (๐‘€โ†‘๐‘›))
62 sq0 14102 . . . . . . . . . . . . . 14 (0โ†‘2) = 0
6362oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (2โ†‘(0โ†‘2)) = (2โ†‘0)
64 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
65 exp0 13977 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘0) = 1)
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2โ†‘0) = 1
6763, 66eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘(0โ†‘2)) = 1
6867a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(0โ†‘2)) = 1)
6957addid1d 11360 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + 0) = ๐‘€)
7069oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)) = (๐‘€โ†‘๐‘€))
7168, 70oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) = (1 ยท (๐‘€โ†‘๐‘€)))
72 expcl 13991 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
7357, 72mpancom 687 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
7473mulid2d 11178 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (๐‘€โ†‘๐‘€)) = (๐‘€โ†‘๐‘€))
7571, 74eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) = (๐‘€โ†‘๐‘€))
7675oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) ยท (!โ€˜๐‘›)) = ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘›)))
7776adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) ยท (!โ€˜๐‘›)) = ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘›)))
7852, 61, 773brtr4d 5138 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘›โ†‘0) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) ยท (!โ€˜๐‘›)))
7978ralrimiva 3140 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘0) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) ยท (!โ€˜๐‘›)))
80 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘š) = (๐‘›โ†‘0))
8180oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) = ((๐‘›โ†‘0) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)))
82 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘šโ†‘2) = (0โ†‘2))
8382oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 0 โ†’ (2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) = (2โ†‘(0โ†‘2)))
84 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘€ + ๐‘š) = (๐‘€ + 0))
8584oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š)) = (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)))
8683, 85oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) = ((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))))
8786oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘š = 0 โ†’ (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) = (((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) ยท (!โ€˜๐‘›)))
8881, 87breq12d 5119 . . . . . . 7 (๐‘š = 0 โ†’ (((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” ((๐‘›โ†‘0) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
8988ralbidv 3171 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘0) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
9089imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›))) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘0) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(0โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) ยท (!โ€˜๐‘›)))))
91 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘— โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘š) = (๐‘›โ†‘๐‘—))
9291oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘— โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) = ((๐‘›โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)))
93 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘— โ†’ (๐‘šโ†‘2) = (๐‘—โ†‘2))
9493oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘— โ†’ (2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) = (2โ†‘(๐‘—โ†‘2)))
95 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘— โ†’ (๐‘€ + ๐‘š) = (๐‘€ + ๐‘—))
9695oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘— โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š)) = (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—)))
9794, 96oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘— โ†’ ((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) = ((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))))
9897oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘— โ†’ (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) = (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘›)))
9992, 98breq12d 5119 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘— โ†’ (((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” ((๐‘›โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
10099ralbidv 3171 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘— โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
101100imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘— โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›))) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘—) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘—โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘—))) ยท (!โ€˜๐‘›)))))
102 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘š) = (๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)))
103102oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) = ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)))
104 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘šโ†‘2) = ((๐‘— + 1)โ†‘2))
105104oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ (2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) = (2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)))
106 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘€ + ๐‘š) = (๐‘€ + (๐‘— + 1)))
107106oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š)) = (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1))))
108105, 107oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ ((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) = ((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))))
109108oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) = (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›)))
110103, 109breq12d 5119 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ (((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
111110ralbidv 3171 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
112111imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘— + 1) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›))) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘(๐‘— + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘((๐‘— + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐‘— + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘›)))))
113 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐พ โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘š) = (๐‘›โ†‘๐พ))
114113oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐พ โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) = ((๐‘›โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)))
115 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐พ โ†’ (๐‘šโ†‘2) = (๐พโ†‘2))
116115oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐พ โ†’ (2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) = (2โ†‘(๐พโ†‘2)))
117 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐พ โ†’ (๐‘€ + ๐‘š) = (๐‘€ + ๐พ))
118117oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐พ โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š)) = (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))
119116, 118oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐พ โ†’ ((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) = ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))))
120119oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐พ โ†’ (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) = (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘›)))
121114, 120breq12d 5119 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐พ โ†’ (((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” ((๐‘›โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
122121ralbidv 3171 . . . . . 6 (๐‘š = ๐พ โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
123122imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘š = ๐พ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐‘š) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐‘šโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐‘š))) ยท (!โ€˜๐‘›))) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘›)))))
12449, 79, 90, 101, 112, 123nn0indALT 12604 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘›))))
125124imp 408 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘›)))
126 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘›โ†‘๐พ) = (๐‘โ†‘๐พ))
127 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘›) = (๐‘€โ†‘๐‘))
128126, 127oveq12d 7376 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘›โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) = ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)))
129 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘))
130129oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘›)) = (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
131128, 130breq12d 5119 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((๐‘›โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘›)) โ†” ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))))
132131rspcva 3578 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘›โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘›)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘›))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
133125, 132sylan2 594 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
1341333impb 1116 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ†‘cexp 13973  !cfa 14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180
This theorem is referenced by:  faclbnd4  14203
  Copyright terms: Public domain W3C validator