faclbnd4lem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem faclbnd4lem4 14279

Description: Lemma for faclbnd4 14280. Prove the 0 < 𝑁 case by induction on 𝐾. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd4lem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem4 Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑𝑗) = (𝑚↑𝑗))
2		oveq2 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀↑𝑛) = (𝑀↑𝑚))
3	1, 2	oveq12d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)))
4		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
5	4	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)))
6	3, 5	breq12d 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚))))
7	6	cbvralvw 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)))
8		nnre 12241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		1re 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		lelttric 11343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛))
11	8, 9, 10	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛))
12	11	ancli 548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛)))
13		andi 1006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)))
14	12, 13	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)))
15		nnge1 12262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
16		letri3 11321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛 = 1 ↔ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)))
17	8, 9, 16	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 = 1 ↔ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)))
18	17	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)) → 𝑛 = 1)
19	18	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∧ 1 ≤ 𝑛) → 𝑛 = 1)
20	15, 19	mpidan 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) → 𝑛 = 1)
21		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = (1 − 1))
22		1m1e0 12306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = 0)
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) → (𝑛 − 1) = 0)
25		faclbnd4lem3 14278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑛 − 1) = 0) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
26	24, 25	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
27	26	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
28		1nn 12245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ
29		nnsub 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
30	28, 29	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
31	30	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
32		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑚↑𝑗) = ((𝑛 − 1)↑𝑗))
33		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑀↑𝑚) = (𝑀↑(𝑛 − 1)))
34	32, 33	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) = (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))))
35		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑛 − 1)))
36	35	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
37	34, 36	breq12d 5155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) ↔ (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
38	37	rspcv 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
39	31, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
41	27, 40	jaodan 956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
42	14, 41	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
43		faclbnd4lem2 14277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
44	43	3expa 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
45	42, 44	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
46	45	ralrimdva 3149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
47	7, 46	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
48	47	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
49	48	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
50		nnnn0 12501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
51		faclbnd3 14275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑𝑛) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
52	50, 51	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀↑𝑛) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
53		nncn 12242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
54	53	exp0d 14128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑0) = 1)
55	54	oveq1d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (1 · (𝑀↑𝑛)))
56	55	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (1 · (𝑀↑𝑛)))
57		nn0cn 12504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → 𝑀 ∈ ℂ)
58		expcl 14068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℂ)
59	57, 50, 58	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℂ)
60	59	mullidd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑𝑛)) = (𝑀↑𝑛))
61	56, 60	eqtrd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (𝑀↑𝑛))
62		sq0 14179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0↑2) = 0
63	62	oveq2i 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑(0↑2)) = (2↑0)
64		2cn 12309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
65		exp0 14054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑0) = 1
67	63, 66	eqtri 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑(0↑2)) = 1
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (2↑(0↑2)) = 1)
69	57	addridd 11436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
70	69	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (𝑀↑𝑀))
71	68, 70	oveq12d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) = (1 · (𝑀↑𝑀)))
72		expcl 14068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
73	57, 72	mpancom 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
74	73	mullidd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (1 · (𝑀↑𝑀)) = (𝑀↑𝑀))
75	71, 74	eqtrd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) = (𝑀↑𝑀))
76	75	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
77	76	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
78	52, 61, 77	3brtr4d 5174	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
79	78	ralrimiva 3141	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
80		oveq2 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑0))
81	80	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)))
82		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑2) = (0↑2))
83	82	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 0 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(0↑2)))
84		oveq2 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 0))
85	84	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
86	83, 85	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 0 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
87	86	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
88	81, 87	breq12d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛))))
89	88	ralbidv 3172	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛))))
90	89	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))))
91		oveq2 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑𝑗))
92	91	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)))
93		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚↑2) = (𝑗↑2))
94	93	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(𝑗↑2)))
95		oveq2 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 𝑗))
96	95	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 𝑗)))
97	94, 96	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))))
98	97	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)))
99	92, 98	breq12d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))))
100	99	ralbidv 3172	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))))
101	100	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)))))
102		oveq2 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑(𝑗 + 1)))
103	102	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)))
104		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑚↑2) = ((𝑗 + 1)↑2))
105	104	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑((𝑗 + 1)↑2)))
106		oveq2 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + (𝑗 + 1)))
107	106	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1))))
108	105, 107	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))))
109	108	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))
110	103, 109	breq12d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
111	110	ralbidv 3172	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
112	111	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
113		oveq2 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑𝐾))
114	113	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)))
115		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑚↑2) = (𝐾↑2))
116	115	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(𝐾↑2)))
117		oveq2 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 𝐾))
118	117	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))
119	116, 118	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
120	119	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))
121	114, 120	breq12d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
122	121	ralbidv 3172	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
123	122	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))))
124	49, 79, 90, 101, 112, 123	nn0indALT 12680	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
125	124	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))
126		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛↑𝐾) = (𝑁↑𝐾))
127		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑀↑𝑛) = (𝑀↑𝑁))
128	126, 127	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)))
129		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
130	129	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
131	128, 130	breq12d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
132	131	rspcva 3605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
133	125, 132	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀)) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
134	133	3impb 1113	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 846 ∧ w3a 1085 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ∀wral 3056 class class class wbr 5142 ‘cfv 6542 (class class class)co 7414 ℂcc 11128 ℝcr 11129 0cc0 11130 1c1 11131 + caddc 11133 · cmul 11135 < clt 11270 ≤ cle 11271 − cmin 11466 ℕcn 12234 2c2 12289 ℕ₀cn0 12494 ↑cexp 14050 !cfa 14256

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11186 ax-resscn 11187 ax-1cn 11188 ax-icn 11189 ax-addcl 11190 ax-addrcl 11191 ax-mulcl 11192 ax-mulrcl 11193 ax-mulcom 11194 ax-addass 11195 ax-mulass 11196 ax-distr 11197 ax-i2m1 11198 ax-1ne0 11199 ax-1rid 11200 ax-rnegex 11201 ax-rrecex 11202 ax-cnre 11203 ax-pre-lttri 11204 ax-pre-lttrn 11205 ax-pre-ltadd 11206 ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11894 df-nn 12235 df-2 12297 df-n0 12495 df-z 12581 df-uz 12845 df-rp 12999 df-seq 13991 df-exp 14051 df-fac 14257

This theorem is referenced by: faclbnd4 14280

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