Theorem faclbnd4lem4 14331

Description: Lemma for faclbnd4 14332. Prove the 0 < 𝑁 case by induction on 𝐾. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem4

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑𝑗) = (𝑚↑𝑗))
2		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀↑𝑛) = (𝑀↑𝑚))
3	1, 2	oveq12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)))
4		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
5	4	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)))
6	3, 5	breq12d 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚))))
7	6	cbvralvw 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)))
8		nnre 12239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		1re 11207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		lelttric 11316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛))
11	8, 9, 10	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛))
12	11	ancli 557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛)))
13		andi 1023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)))
14	12, 13	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)))
15		nnge1 12263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
16		letri3 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛 = 1 ↔ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)))
17	8, 9, 16	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 = 1 ↔ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)))
18	17	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)) → 𝑛 = 1)
19	18	anassrs 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∧ 1 ≤ 𝑛) → 𝑛 = 1)
20	15, 19	mpidan 701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) → 𝑛 = 1)
21		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = (1 − 1))
22		1m1e0 12312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = 0)
24	20, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) → (𝑛 − 1) = 0)
25		faclbnd4lem3 14330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 − 1) = 0) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
26	24, 25	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
27	26	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
28		1nn 12243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ
29		nnsub 12279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
30	28, 29	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
31	30	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
32		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑚↑𝑗) = ((𝑛 − 1)↑𝑗))
33		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑀↑𝑚) = (𝑀↑(𝑛 − 1)))
34	32, 33	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) = (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))))
35		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑛 − 1)))
36	35	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
37	34, 36	breq12d 5126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) ↔ (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
38	37	rspcv 3586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
39	31, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
40	39	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
41	27, 40	jaodan 972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
42	14, 41	sylan2 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
43		faclbnd4lem2 14329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
44	43	3expa 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
45	42, 44	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
46	45	ralrimdva 3171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
47	7, 46	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
48	47	expcom 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
49	48	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
50		nnnn0 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
51		faclbnd3 14327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
52	50, 51	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀↑𝑛) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
53		nncn 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
54	53	exp0d 14175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑0) = 1)
55	54	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (1 · (𝑀↑𝑛)))
56	55	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (1 · (𝑀↑𝑛)))
57		nn0cn 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
58		expcl 14114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℂ)
59	57, 50, 58	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℂ)
60	59	mullidd 11226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑𝑛)) = (𝑀↑𝑛))
61	56, 60	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (𝑀↑𝑛))
62		sq0 14227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0↑2) = 0
63	62	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑(0↑2)) = (2↑0)
64		2cn 12315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
65		exp0 14100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑0) = 1
67	63, 66	eqtri 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑(0↑2)) = 1
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (2↑(0↑2)) = 1)
69	57	addridd 11409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
70	69	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (𝑀↑𝑀))
71	68, 70	oveq12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) = (1 · (𝑀↑𝑀)))
72		expcl 14114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
73	57, 72	mpancom 700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
74	73	mullidd 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑𝑀)) = (𝑀↑𝑀))
75	71, 74	eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) = (𝑀↑𝑀))
76	75	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
77	76	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
78	52, 61, 77	3brtr4d 5147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
79	78	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
80		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑0))
81	80	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)))
82		oveq1 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑2) = (0↑2))
83	82	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 0 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(0↑2)))
84		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 0))
85	84	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
86	83, 85	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 0 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
87	86	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
88	81, 87	breq12d 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛))))
89	88	ralbidv 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛))))
90	89	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))))
91		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑𝑗))
92	91	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)))
93		oveq1 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚↑2) = (𝑗↑2))
94	93	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(𝑗↑2)))
95		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 𝑗))
96	95	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 𝑗)))
97	94, 96	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))))
98	97	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)))
99	92, 98	breq12d 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))))
100	99	ralbidv 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))))
101	100	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)))))
102		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑(𝑗 + 1)))
103	102	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)))
104		oveq1 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑚↑2) = ((𝑗 + 1)↑2))
105	104	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑((𝑗 + 1)↑2)))
106		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + (𝑗 + 1)))
107	106	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1))))
108	105, 107	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))))
109	108	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))
110	103, 109	breq12d 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
111	110	ralbidv 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
112	111	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
113		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑𝐾))
114	113	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)))
115		oveq1 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑚↑2) = (𝐾↑2))
116	115	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(𝐾↑2)))
117		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 𝐾))
118	117	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))
119	116, 118	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
120	119	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))
121	114, 120	breq12d 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
122	121	ralbidv 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
123	122	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))))
124	49, 79, 90, 101, 112, 123	nn0indALT 12691	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
125	124	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))
126		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛↑𝐾) = (𝑁↑𝐾))
127		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑀↑𝑛) = (𝑀↑𝑁))
128	126, 127	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)))
129		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
130	129	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
131	128, 130	breq12d 5126	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
132	131	rspcva 3588	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
133	125, 132	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
134	133	3impb 1130	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  ℕcn 12232  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ↑cexp 14096  !cfa 14308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309

This theorem is referenced by:  faclbnd4  14332