Theorem faclbnd4lem4 14481

Description: Lemma for faclbnd4 14482. Prove the 0 < 𝑁 case by induction on 𝐾. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem4

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑𝑗) = (𝑚↑𝑗))
2		oveq2 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀↑𝑛) = (𝑀↑𝑚))
3	1, 2	oveq12d 7469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)))
4		fveq2 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
5	4	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)))
6	3, 5	breq12d 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚))))
7	6	cbvralvw 3244	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)))
8		nnre 12382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		1re 11347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		lelttric 11456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛))
11	8, 9, 10	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛))
12	11	ancli 558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛)))
13		andi 1025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)))
14	12, 13	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)))
15		nnge1 12406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
16		letri3 11434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛 = 1 ↔ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)))
17	8, 9, 16	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 = 1 ↔ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)))
18	17	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑛)) → 𝑛 = 1)
19	18	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∧ 1 ≤ 𝑛) → 𝑛 = 1)
20	15, 19	mpidan 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) → 𝑛 = 1)
21		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = (1 − 1))
22		1m1e0 12455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = 0)
24	20, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) → (𝑛 − 1) = 0)
25		faclbnd4lem3 14480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 − 1) = 0) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
26	24, 25	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
27	26	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
28		1nn 12386	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ
29		nnsub 12422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
30	28, 29	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
31	30	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
32		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑚↑𝑗) = ((𝑛 − 1)↑𝑗))
33		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑀↑𝑚) = (𝑀↑(𝑛 − 1)))
34	32, 33	oveq12d 7469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) = (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))))
35		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑛 − 1)))
36	35	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))))
37	34, 36	breq12d 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 1) → (((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) ↔ (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
38	37	rspcv 3576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
39	31, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
41	27, 40	jaodan 972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 1) ∨ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
42	14, 41	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → (((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1)))))
43		faclbnd4lem2 14479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
44	43	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝑛 − 1)↑𝑗) · (𝑀↑(𝑛 − 1))) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘(𝑛 − 1))) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
45	42, 44	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
46	45	ralrimdva 3166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚↑𝑗) · (𝑀↑𝑚)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑚)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
47	7, 46	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
48	47	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
49	48	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
50		nnnn0 12653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
51		faclbnd3 14477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
52	50, 51	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀↑𝑛) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
53		nncn 12383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
54	53	exp0d 14323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑0) = 1)
55	54	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (1 · (𝑀↑𝑛)))
56	55	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (1 · (𝑀↑𝑛)))
57		nn0cn 12656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
58		expcl 14262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℂ)
59	57, 50, 58	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℂ)
60	59	mullidd 11366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑𝑛)) = (𝑀↑𝑛))
61	56, 60	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) = (𝑀↑𝑛))
62		sq0 14375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0↑2) = 0
63	62	oveq2i 7462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑(0↑2)) = (2↑0)
64		2cn 12458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
65		exp0 14248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑0) = 1
67	63, 66	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑(0↑2)) = 1
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (2↑(0↑2)) = 1)
69	57	addridd 11549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
70	69	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (𝑀↑𝑀))
71	68, 70	oveq12d 7469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) = (1 · (𝑀↑𝑀)))
72		expcl 14262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
73	57, 72	mpancom 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
74	73	mullidd 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑𝑀)) = (𝑀↑𝑀))
75	71, 74	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) = (𝑀↑𝑀))
76	75	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
77	76	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑛)))
78	52, 61, 77	3brtr4d 5143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
79	78	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
80		oveq2 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑0))
81	80	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)))
82		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑2) = (0↑2))
83	82	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 0 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(0↑2)))
84		oveq2 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 0))
85	84	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
86	83, 85	oveq12d 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 0 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
87	86	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))
88	81, 87	breq12d 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛))))
89	88	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛))))
90	89	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑0) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(0↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 0))) · (!‘𝑛)))))
91		oveq2 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑𝑗))
92	91	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)))
93		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚↑2) = (𝑗↑2))
94	93	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(𝑗↑2)))
95		oveq2 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 𝑗))
96	95	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 𝑗)))
97	94, 96	oveq12d 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))))
98	97	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)))
99	92, 98	breq12d 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))))
100	99	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛))))
101	100	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑗) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑗↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑗))) · (!‘𝑛)))))
102		oveq2 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑(𝑗 + 1)))
103	102	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)))
104		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑚↑2) = ((𝑗 + 1)↑2))
105	104	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑((𝑗 + 1)↑2)))
106		oveq2 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + (𝑗 + 1)))
107	106	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1))))
108	105, 107	oveq12d 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))))
109	108	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))
110	103, 109	breq12d 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
111	110	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛))))
112	111	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑗 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑(𝑗 + 1)) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑((𝑗 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝑗 + 1)))) · (!‘𝑛)))))
113		oveq2 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑛↑𝑚) = (𝑛↑𝐾))
114	113	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)))
115		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑚↑2) = (𝐾↑2))
116	115	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (2↑(𝑚↑2)) = (2↑(𝐾↑2)))
117		oveq2 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑀 + 𝑚) = (𝑀 + 𝐾))
118	117	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑀↑(𝑀 + 𝑚)) = (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))
119	116, 118	oveq12d 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
120	119	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))
121	114, 120	breq12d 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
122	121	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
123	122	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝑚) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝑚↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝑚))) · (!‘𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))))
124	49, 79, 90, 101, 112, 123	nn0indALT 12835	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))))
125	124	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)))
126		oveq1 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛↑𝐾) = (𝑁↑𝐾))
127		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑀↑𝑛) = (𝑀↑𝑁))
128	126, 127	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) = ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)))
129		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
130	129	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
131	128, 130	breq12d 5121	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛)) ↔ ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
132	131	rspcva 3578	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛↑𝐾) · (𝑀↑𝑛)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑛))) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
133	125, 132	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
134	133	3impb 1132	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244  !cfa 14458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459

This theorem is used by:  faclbnd4  14482