Theorem lecasei 11219

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecase.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lecase.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lecase.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜓)
lecase.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
lecasei	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Proof of Theorem lecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lecase.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜓)
2		lecase.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
3		lecase.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lecase.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letric 11213	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
7	1, 2, 6	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ℝcr 11005   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152

This theorem is referenced by:  wloglei  11649  nn2ge  12152  max0sub  13095  leabs  15206  max0add  15217  limsupgre  15388  ntrivcvgmul  15809  1arithlem4  16838  mndodcong  19455  metustto  24469  reconn  24745  dyaddisj  25525  volcn  25535  ditgcl  25787  ditgswap  25788  ditgsplit  25790  dvfsumlem3  25963  ftc2ditg  25981  coseq0negpitopi  26440  asinlem3  26809  atanlogaddlem  26851  atanlogadd  26852  ppiub  27143  dchrisum0  27459  pntrmax  27503  padicabv  27569  sgnval2  32716  oexpled  32828  nacsfix  42751  acongrep  43019  hbt  43169  fzunt1d  43496