Theorem lecasei 11240

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecase.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lecase.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lecase.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜓)
lecase.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
lecasei	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Proof of Theorem lecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lecase.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜓)
2		lecase.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
3		lecase.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lecase.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letric 11234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
7	1, 2, 6	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  wloglei  11670  nn2ge  12173  max0sub  13116  leabs  15224  max0add  15235  limsupgre  15406  ntrivcvgmul  15827  1arithlem4  16856  mndodcong  19439  metustto  24457  reconn  24733  dyaddisj  25513  volcn  25523  ditgcl  25775  ditgswap  25776  ditgsplit  25778  dvfsumlem3  25951  ftc2ditg  25969  coseq0negpitopi  26428  asinlem3  26797  atanlogaddlem  26839  atanlogadd  26840  ppiub  27131  dchrisum0  27447  pntrmax  27491  padicabv  27557  sgnval2  32691  oexpled  32805  nacsfix  42688  acongrep  42956  hbt  43106  fzunt1d  43433