Theorem lecasei 11239

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecase.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lecase.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lecase.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜓)
lecase.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
lecasei	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Proof of Theorem lecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lecase.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜓)
2		lecase.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
3		lecase.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lecase.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letric 11233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
7	1, 2, 6	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  wloglei  11669  nn2ge  12172  max0sub  13111  leabs  15222  max0add  15233  limsupgre  15404  ntrivcvgmul  15825  1arithlem4  16854  mndodcong  19471  metustto  24497  reconn  24773  dyaddisj  25553  volcn  25563  ditgcl  25815  ditgswap  25816  ditgsplit  25818  dvfsumlem3  25991  ftc2ditg  26009  coseq0negpitopi  26468  asinlem3  26837  atanlogaddlem  26879  atanlogadd  26880  ppiub  27171  dchrisum0  27487  pntrmax  27531  padicabv  27597  sgnval2  32814  oexpled  32928  nacsfix  42954  acongrep  43222  hbt  43372  fzunt1d  43698