Theorem lecasei 10343

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecase.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lecase.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lecase.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜓)
lecase.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
lecasei	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Proof of Theorem lecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lecase.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜓)
2		lecase.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
3		lecase.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lecase.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letric 10337	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2anc 573	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
7	1, 2, 6	mpjaodan 943	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 836   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ℝcr 10135   ≤ cle 10275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-pre-lttri 10210

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280

This theorem is referenced by:  wloglei  10760  nn2ge  11245  max0sub  12225  leabs  14240  max0add  14251  limsupgre  14413  ntrivcvgmul  14834  1arithlem4  15830  mndodcong  18161  metustto  22571  reconn  22844  dyaddisj  23577  volcn  23587  ditgcl  23835  ditgswap  23836  ditgsplit  23838  dvfsumlem3  24004  ftc2ditg  24022  coseq0negpitopi  24469  asinlem3  24812  atanlogaddlem  24854  atanlogadd  24855  ppiub  25143  dchrisum0  25423  pntrmax  25467  padicabv  25533  nacsfix  37794  acongrep  38066  hbt  38219