MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lecasei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lecasei 11320
Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
lecase.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lecase.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lecase.3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝜓)
lecase.4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝜓)
Assertion
Ref Expression
lecasei (𝜑𝜓)

Proof of Theorem lecasei
StepHypRef Expression
1 lecase.3 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝜓)
2 lecase.4 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝜓)
3 lecase.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 lecase.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 letric 11314 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
63, 4, 5syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
71, 2, 6mpjaodan 958 1 (𝜑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846  wcel 2107   class class class wbr 5149  cr 11109  cle 11249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254
This theorem is referenced by:  wloglei  11746  nn2ge  12239  max0sub  13175  leabs  15246  max0add  15257  limsupgre  15425  ntrivcvgmul  15848  1arithlem4  16859  mndodcong  19410  metustto  24062  reconn  24344  dyaddisj  25113  volcn  25123  ditgcl  25375  ditgswap  25376  ditgsplit  25378  dvfsumlem3  25545  ftc2ditg  25563  coseq0negpitopi  26013  asinlem3  26376  atanlogaddlem  26418  atanlogadd  26419  ppiub  26707  dchrisum0  27023  pntrmax  27067  padicabv  27133  nacsfix  41450  acongrep  41719  hbt  41872  fzunt1d  42208
  Copyright terms: Public domain W3C validator