MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lecasei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lecasei 10745
Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
lecase.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lecase.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lecase.3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝜓)
lecase.4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝜓)
Assertion
Ref Expression
lecasei (𝜑𝜓)

Proof of Theorem lecasei
StepHypRef Expression
1 lecase.3 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝜓)
2 lecase.4 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝜓)
3 lecase.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 lecase.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 letric 10739 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
63, 4, 5syl2anc 586 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
71, 2, 6mpjaodan 955 1 (𝜑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wo 843  wcel 2110   class class class wbr 5065  cr 10535  cle 10675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680
This theorem is referenced by:  wloglei  11171  nn2ge  11663  max0sub  12588  leabs  14658  max0add  14669  limsupgre  14837  ntrivcvgmul  15257  1arithlem4  16261  mndodcong  18669  metustto  23162  reconn  23435  dyaddisj  24196  volcn  24206  ditgcl  24455  ditgswap  24456  ditgsplit  24458  dvfsumlem3  24624  ftc2ditg  24642  coseq0negpitopi  25088  asinlem3  25448  atanlogaddlem  25490  atanlogadd  25491  ppiub  25779  dchrisum0  26095  pntrmax  26139  padicabv  26205  nacsfix  39307  acongrep  39575  hbt  39728
  Copyright terms: Public domain W3C validator