Theorem bpos 27411

Description: Bertrand's postulate: there is a prime between 𝑁 and 2𝑁 for every positive integer 𝑁. This proof follows Erdős's method, for the most part, but with some refinements due to Shigenori Tochiori to save us some calculations of large primes. See http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate for an overview of the proof strategy. This is Metamath 100 proof #98. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpos	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos1 27401	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
4		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ;64 < 𝑁) ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ;64 < 𝑁) ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ;64 < 𝑁)
6		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ;64 < 𝑁) ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
7	2, 3, 4, 5, 6	bposlem9 27410	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ;64 < 𝑁) ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
8	7	pm2.18da 811	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ;64 < 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9		nnre 12228	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		6nn0 12513	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
11		4nn0 12511	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
12	10, 11	deccl 12714	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
13	12	nn0rei 12503	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℝ
14		lelttric 11305	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ ;64 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ ;64 ∨ ;64 < 𝑁))
15	9, 13, 14	sylancl 597	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ ;64 ∨ ;64 < 𝑁))
16	1, 8, 15	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   / cdiv 11859  ℕcn 12221  2c2 12283  4c4 12285  6c6 12287  9c9 12290  ;cdc 12699  ℝ⁺crp 13004  √csqrt 15272  ℙcprime 16717  logclog 26673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-shft 15092  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15510  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-ef 16109  df-e 16110  df-sin 16111  df-cos 16112  df-pi 16114  df-dvds 16299  df-gcd 16541  df-prm 16718  df-pc 16885  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17544  df-qtop 17549  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-fbas 21476  df-fg 21477  df-cnfld 21480  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cld 23133  df-ntr 23134  df-cls 23135  df-nei 23212  df-lp 23250  df-perf 23251  df-cn 23341  df-cnp 23342  df-haus 23429  df-tx 23676  df-hmeo 23869  df-fil 23960  df-fm 24052  df-flim 24053  df-flf 24054  df-xms 24434  df-ms 24435  df-tms 24436  df-cncf 24994  df-limc 25982  df-dv 25983  df-log 26675  df-cxp 26676  df-cht 27215  df-ppi 27218

This theorem is referenced by: (None)