Theorem bpos 26452

Description: Bertrand's postulate: there is a prime between 𝑁 and 2𝑁 for every positive integer 𝑁. This proof follows Erdős's method, for the most part, but with some refinements due to Shigenori Tochiori to save us some calculations of large primes. See http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate for an overview of the proof strategy. This is Metamath 100 proof #98. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpos	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos1 26442	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
4		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ;64 < 𝑁) ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ;64 < 𝑁) ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ;64 < 𝑁)
6		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ;64 < 𝑁) ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
7	2, 3, 4, 5, 6	bposlem9 26451	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ;64 < 𝑁) ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
8	7	pm2.18da 797	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ;64 < 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9		nnre 11991	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		6nn0 12265	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
11		4nn0 12263	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
12	10, 11	deccl 12463	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
13	12	nn0rei 12255	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℝ
14		lelttric 11093	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ ;64 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ ;64 ∨ ;64 < 𝑁))
15	9, 13, 14	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ ;64 ∨ ;64 < 𝑁))
16	1, 8, 15	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  ℝcr 10881   + caddc 10885   · cmul 10887   < clt 11020   ≤ cle 11021   / cdiv 11643  ℕcn 11984  2c2 12039  4c4 12041  6c6 12043  9c9 12046  ;cdc 12448  ℝ⁺crp 12741  √csqrt 14955  ℙcprime 16387  logclog 25721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960  ax-addf 10961  ax-mulf 10962

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-of 7528  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-supp 7970  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-2o 8290  df-oadd 8293  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-ixp 8678  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-dju 9670  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-xnn0 12317  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-ioo 13094  df-ioc 13095  df-ico 13096  df-icc 13097  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-fl 13523  df-mod 13601  df-seq 13733  df-exp 13794  df-fac 13999  df-bc 14028  df-hash 14056  df-shft 14789  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-limsup 15191  df-clim 15208  df-rlim 15209  df-sum 15409  df-ef 15788  df-e 15789  df-sin 15790  df-cos 15791  df-pi 15793  df-dvds 15975  df-gcd 16213  df-prm 16388  df-pc 16549  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-starv 16988  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-ip 16991  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-unif 16996  df-hom 16997  df-cco 16998  df-rest 17144  df-topn 17145  df-0g 17163  df-gsum 17164  df-topgen 17165  df-pt 17166  df-prds 17169  df-xrs 17224  df-qtop 17229  df-imas 17230  df-xps 17232  df-mre 17306  df-mrc 17307  df-acs 17309  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-submnd 18442  df-mulg 18712  df-cntz 18934  df-cmn 19399  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-fbas 20605  df-fg 20606  df-cnfld 20609  df-top 22054  df-topon 22071  df-topsp 22093  df-bases 22107  df-cld 22181  df-ntr 22182  df-cls 22183  df-nei 22260  df-lp 22298  df-perf 22299  df-cn 22389  df-cnp 22390  df-haus 22477  df-tx 22724  df-hmeo 22917  df-fil 23008  df-fm 23100  df-flim 23101  df-flf 23102  df-xms 23484  df-ms 23485  df-tms 23486  df-cncf 24052  df-limc 25041  df-dv 25042  df-log 25723  df-cxp 25724  df-cht 26257  df-ppi 26260

This theorem is referenced by: (None)