Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.24 38049
Description: Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 extended to . Could be eliminated with a more careful proof of jm2.26lem3 38087. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.24 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Proof of Theorem jm2.24
StepHypRef Expression
1 simpll 750 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
2 peano2zm 11620 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
32ad2antlr 706 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4 frmy 37998 . . . . . . 7 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
54fovcl 6910 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
61, 3, 5syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
76zred 11682 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
84fovcl 6910 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
98zred 11682 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
109adantr 466 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
117, 10readdcld 10269 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
12 0red 10241 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
13 frmx 37997 . . . . . 6 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
1413fovcl 6910 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
1514adantr 466 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
1615nn0red 11552 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
17 znegcl 11612 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
1817ad2antlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -𝑁 ∈ ℤ)
1918peano2zd 11685 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
204fovcl 6910 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (-𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
211, 19, 20syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
2221zred 11682 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
234fovcl 6910 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℤ)
241, 18, 23syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℤ)
2524zred 11682 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℝ)
26 rmy0 38013 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
2726ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
28 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ≤ 0)
29 zre 11581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3029ad2antlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3130le0neg1d 10799 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
3228, 31mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ -𝑁)
33 0zd 11589 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ∈ ℤ)
34 zleltp1 11628 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ 0 < (-𝑁 + 1)))
3533, 18, 34syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ 0 < (-𝑁 + 1)))
3632, 35mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < (-𝑁 + 1))
37 ltrmy 38038 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (-𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0 < (-𝑁 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1))))
381, 33, 19, 37syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 < (-𝑁 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1))))
3936, 38mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)))
4027, 39eqbrtrrd 4810 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)))
41 lermy 38041 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁)))
421, 33, 18, 41syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁)))
4332, 42mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁))
4427, 43eqbrtrrd 4810 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm -𝑁))
45 addgtge0 10716 . . . . . 6 ((((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm -𝑁))) → 0 < ((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
4622, 25, 40, 44, 45syl22anc 1477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < ((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
477recnd 10268 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
4810recnd 10268 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
4947, 48negdid 10605 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) = (-(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + -(𝐴 Yrm 𝑁)))
50 rmyneg 38012 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = -(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
511, 3, 50syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = -(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
52 rmyneg 38012 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
5352adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
5451, 53oveq12d 6809 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)) = (-(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + -(𝐴 Yrm 𝑁)))
55 zcn 11582 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5655ad2antlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
57 ax-1cn 10194 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
58 negsubdi 10537 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
5956, 57, 58sylancl 574 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
6059oveq2d 6807 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)))
6160oveq1d 6806 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)) = ((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
6249, 54, 613eqtr2d 2811 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
6346, 62breqtrrd 4814 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
6411lt0neg1d 10797 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < 0 ↔ 0 < -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
6563, 64mpbird 247 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < 0)
6615nn0ge0d 11554 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))
6711, 12, 16, 65, 66ltletrd 10397 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
68 simpll 750 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
69 elnnz 11587 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
7069biimpri 218 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
7170adantll 693 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
72 jm2.24nn 38045 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
7368, 71, 72syl2anc 573 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
7429adantl 467 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
75 0re 10240 . . 3 0 ∈ ℝ
76 lelttric 10344 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑁))
7774, 75, 76sylancl 574 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑁))
7867, 73, 77mpjaodan 943 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   < clt 10274  cle 10275  cmin 10466  -cneg 10467  cn 11220  2c2 11270  0cn0 11492  cz 11577  cuz 11886   Xrm crmx 37983   Yrm crmy 37984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-omul 7716  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-acn 8966  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-shft 14008  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-limsup 14403  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-numer 15643  df-denom 15644  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844  df-log 24517  df-squarenn 37924  df-pell1qr 37925  df-pell14qr 37926  df-pell1234qr 37927  df-pellfund 37928  df-rmx 37985  df-rmy 37986
This theorem is referenced by:  jm2.26lem3  38087
  Copyright terms: Public domain W3C validator