Theorem jm2.24 38990

Description: Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 extended to ℤ. Could be eliminated with a more careful proof of jm2.26lem3 39028. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.24	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Proof of Theorem jm2.24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 755	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		peano2zm 11837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	2	ad2antlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4		frmy 38941	. . . . . . 7 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
5	4	fovcl 7094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
6	1, 3, 5	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
7	6	zred 11899	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
8	4	fovcl 7094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	zred 11899	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
10	9	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
11	7, 10	readdcld 10468	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
12		0red 10442	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
13		frmx 38940	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
14	13	fovcl 7094	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 11767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
17		znegcl 11829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
18	17	ad2antlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -𝑁 ∈ ℤ)
19	18	peano2zd 11902	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
20	4	fovcl 7094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (-𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
21	1, 19, 20	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
22	21	zred 11899	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
23	4	fovcl 7094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℤ)
24	1, 18, 23	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℤ)
25	24	zred 11899	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℝ)
26		rmy0 38956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
27	26	ad2antrr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
28		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ≤ 0)
29		zre 11796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	ad2antlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	le0neg1d 11011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
32	28, 31	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ -𝑁)
33		0zd 11804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ∈ ℤ)
34		zleltp1 11845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ 0 < (-𝑁 + 1)))
35	33, 18, 34	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ 0 < (-𝑁 + 1)))
36	32, 35	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < (-𝑁 + 1))
37		ltrmy 38979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (-𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0 < (-𝑁 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1))))
38	1, 33, 19, 37	syl3anc 1352	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 < (-𝑁 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1))))
39	36, 38	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)))
40	27, 39	eqbrtrrd 4950	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)))
41		lermy 38982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁)))
42	1, 33, 18, 41	syl3anc 1352	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁)))
43	32, 42	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁))
44	27, 43	eqbrtrrd 4950	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm -𝑁))
45	22, 25, 40, 44	addgtge0d 11014	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < ((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
46	7	recnd 10467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
47	10	recnd 10467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
48	46, 47	negdid 10810	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) = (-(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + -(𝐴 Yrm 𝑁)))
49		rmyneg 38955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = -(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
50	1, 3, 49	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = -(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
51		rmyneg 38955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
52	51	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
53	50, 52	oveq12d 6993	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)) = (-(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + -(𝐴 Yrm 𝑁)))
54		zcn 11797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
55	54	ad2antlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
56		ax-1cn 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
57		negsubdi 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
58	55, 56, 57	sylancl 578	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
59	58	oveq2d 6991	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)))
60	59	oveq1d 6990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)) = ((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
61	48, 53, 60	3eqtr2d 2815	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
62	45, 61	breqtrrd 4954	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
63	11	lt0neg1d 11009	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < 0 ↔ 0 < -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
64	62, 63	mpbird 249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < 0)
65	15	nn0ge0d 11769	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))
66	11, 12, 16, 64, 65	ltletrd 10599	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
67		simpll 755	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
68		elnnz 11802	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
69	68	biimpri 220	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
70	69	adantll 702	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
71		jm2.24nn 38986	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
72	67, 70, 71	syl2anc 576	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
73	29	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
74		0re 10440	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
75		lelttric 10546	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑁))
76	73, 74, 75	sylancl 578	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑁))
77	66, 72, 76	mpjaodan 942	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 834   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4926  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℂcc 10332  ℝcr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   < clt 10473   ≤ cle 10474   − cmin 10669  -cneg 10670  ℕcn 11438  2c2 11494  ℕ₀cn0 11706  ℤcz 11792  ℤ_≥cuz 12057   X_rm crmx 38927   Y_rm crmy 38928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412  ax-addf 10413  ax-mulf 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-omul 7909  df-er 8088  df-map 8207  df-pm 8208  df-ixp 8259  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-fsupp 8628  df-fi 8669  df-sup 8700  df-inf 8701  df-oi 8768  df-card 9161  df-acn 9164  df-cda 9387  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-xnn0 11779  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-q 12162  df-rp 12204  df-xneg 12323  df-xadd 12324  df-xmul 12325  df-ioo 12557  df-ioc 12558  df-ico 12559  df-icc 12560  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-fl 12976  df-mod 13052  df-seq 13184  df-exp 13244  df-fac 13448  df-bc 13477  df-hash 13505  df-shft 14286  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-limsup 14688  df-clim 14705  df-rlim 14706  df-sum 14903  df-ef 15280  df-sin 15282  df-cos 15283  df-pi 15285  df-dvds 15467  df-gcd 15703  df-numer 15930  df-denom 15931  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-starv 16435  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-ip 16438  df-tset 16439  df-ple 16440  df-ds 16442  df-unif 16443  df-hom 16444  df-cco 16445  df-rest 16551  df-topn 16552  df-0g 16570  df-gsum 16571  df-topgen 16572  df-pt 16573  df-prds 16576  df-xrs 16630  df-qtop 16635  df-imas 16636  df-xps 16638  df-mre 16728  df-mrc 16729  df-acs 16731  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-submnd 17817  df-mulg 18025  df-cntz 18231  df-cmn 18681  df-psmet 20255  df-xmet 20256  df-met 20257  df-bl 20258  df-mopn 20259  df-fbas 20260  df-fg 20261  df-cnfld 20264  df-top 21222  df-topon 21239  df-topsp 21261  df-bases 21274  df-cld 21347  df-ntr 21348  df-cls 21349  df-nei 21426  df-lp 21464  df-perf 21465  df-cn 21555  df-cnp 21556  df-haus 21643  df-tx 21890  df-hmeo 22083  df-fil 22174  df-fm 22266  df-flim 22267  df-flf 22268  df-xms 22649  df-ms 22650  df-tms 22651  df-cncf 23205  df-limc 24183  df-dv 24184  df-log 24857  df-squarenn 38868  df-pell1qr 38869  df-pell14qr 38870  df-pell1234qr 38871  df-pellfund 38872  df-rmx 38929  df-rmy 38930

This theorem is referenced by:  jm2.26lem3  39028