Theorem jm2.24 43317

Description: Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 extended to ℤ. Could be eliminated with a more careful proof of jm2.26lem3 43355. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.24	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Proof of Theorem jm2.24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		peano2zm 12546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	2	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4		frmy 43268	. . . . . . 7 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
5	4	fovcl 7496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
6	1, 3, 5	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
7	6	zred 12608	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
8	4	fovcl 7496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	zred 12608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
11	7, 10	readdcld 11173	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
12		0red 11147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
13		frmx 43267	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
14	13	fovcl 7496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12475	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
17		znegcl 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
18	17	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -𝑁 ∈ ℤ)
19	18	peano2zd 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
20	4	fovcl 7496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (-𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
21	1, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
22	21	zred 12608	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
23	4	fovcl 7496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℤ)
24	1, 18, 23	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℤ)
25	24	zred 12608	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℝ)
26		rmy0 43283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
27	26	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
28		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ≤ 0)
29		zre 12504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	le0neg1d 11720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
32	28, 31	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ -𝑁)
33		0zd 12512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ∈ ℤ)
34		zleltp1 12554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ 0 < (-𝑁 + 1)))
35	33, 18, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ 0 < (-𝑁 + 1)))
36	32, 35	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < (-𝑁 + 1))
37		ltrmy 43306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (-𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0 < (-𝑁 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1))))
38	1, 33, 19, 37	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 < (-𝑁 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1))))
39	36, 38	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)))
40	27, 39	eqbrtrrd 5124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)))
41		lermy 43309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁)))
42	1, 33, 18, 41	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁)))
43	32, 42	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁))
44	27, 43	eqbrtrrd 5124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm -𝑁))
45	22, 25, 40, 44	addgtge0d 11723	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < ((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
46	7	recnd 11172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
47	10	recnd 11172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
48	46, 47	negdid 11517	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) = (-(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + -(𝐴 Yrm 𝑁)))
49		rmyneg 43282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = -(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
50	1, 3, 49	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = -(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
51		rmyneg 43282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
53	50, 52	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)) = (-(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + -(𝐴 Yrm 𝑁)))
54		zcn 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
55	54	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
56		ax-1cn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
57		negsubdi 11449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
58	55, 56, 57	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
59	58	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = (𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)))
60	59	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)) = ((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
61	48, 53, 60	3eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((𝐴 Yrm (-𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
62	45, 61	breqtrrd 5128	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
63	11	lt0neg1d 11718	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < 0 ↔ 0 < -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
64	62, 63	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < 0)
65	15	nn0ge0d 12477	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))
66	11, 12, 16, 64, 65	ltletrd 11305	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
67		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
68		elnnz 12510	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
69	68	biimpri 228	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
70	69	adantll 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
71		jm2.24nn 43313	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
72	67, 70, 71	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
73	29	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
74		0re 11146	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
75		lelttric 11252	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑁))
76	73, 74, 75	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑁))
77	66, 72, 76	mpjaodan 961	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763   X_rm crmx 43254   Y_rm crmy 43255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-numer 16674  df-denom 16675  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-squarenn 43195  df-pell1qr 43196  df-pell14qr 43197  df-pell1234qr 43198  df-pellfund 43199  df-rmx 43256  df-rmy 43257

This theorem is referenced by:  jm2.26lem3  43355