Theorem jm2.24 44230

Description: Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 extended to ℤ. Could be eliminated with a more careful proof of jm2.26lem3 44268. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.24	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Proof of Theorem jm2.24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		peano2zm 12777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	2	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4		frmy 44181	. . . . . . 7 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
5	4	fovcl 7577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
6	1, 3, 5	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
7	6	zred 12841	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
8	4	fovcl 7577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	zred 12841	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
11	7, 10	readdcld 11375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
12		0red 11348	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
13		frmx 44180	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
14	13	fovcl 7577	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12706	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
17		znegcl 12769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
18	17	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -𝑁 ∈ ℤ)
19	18	peano2zd 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ( -𝑁 + 1) ∈ ℤ)
20	4	fovcl 7577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ( -𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
21	1, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
22	21	zred 12841	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
23	4	fovcl 7577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℤ)
24	1, 18, 23	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℤ)
25	24	zred 12841	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℝ)
26		rmy0 44196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
27	26	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
28		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ≤ 0)
29		zre 12735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	le0neg1d 11925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
32	28, 31	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ -𝑁)
33		0zd 12743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ∈ ℤ)
34		zleltp1 12785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ 0 < ( -𝑁 + 1)))
35	33, 18, 34	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ 0 < ( -𝑁 + 1)))
36	32, 35	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < ( -𝑁 + 1))
37		ltrmy 44219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ( -𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0 < ( -𝑁 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1))))
38	1, 33, 19, 37	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 < ( -𝑁 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1))))
39	36, 38	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1)))
40	27, 39	eqbrtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < (𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1)))
41		lermy 44222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁)))
42	1, 33, 18, 41	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁)))
43	32, 42	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm -𝑁))
44	27, 43	eqbrtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm -𝑁))
45	22, 25, 40, 44	addgtge0d 11928	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < ((𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
46	7	recnd 11374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
47	10	recnd 11374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
48	46, 47	negdid 11719	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) = ( -(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + -(𝐴 Yrm 𝑁)))
49		rmyneg 44195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = -(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
50	1, 3, 49	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = -(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
51		rmyneg 44195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
52	51	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
53	50, 52	oveq12d 7467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)) = ( -(𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + -(𝐴 Yrm 𝑁)))
54		zcn 12736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
55	54	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
56		ax-1cn 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
57		negsubdi 11651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 1) = ( -𝑁 + 1))
58	55, 56, 57	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -(𝑁 − 1) = ( -𝑁 + 1))
59	58	oveq2d 7465	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) = (𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1)))
60	59	oveq1d 7464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm -(𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)) = ((𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
61	48, 53, 60	3eqtr2d 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((𝐴 Yrm ( -𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm -𝑁)))
62	45, 61	breqtrrd 5137	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 < -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
63	11	lt0neg1d 11923	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < 0 ↔ 0 < -((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
64	62, 63	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < 0)
65	15	nn0ge0d 12708	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))
66	11, 12, 16, 64, 65	ltletrd 11507	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 0) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
67		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
68		elnnz 12741	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
69	68	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
70	69	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
71		jm2.24nn 44226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
72	67, 70, 71	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑁) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
73	29	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
74		0re 11347	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
75		lelttric 11454	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑁))
76	73, 74, 75	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑁))
77	66, 72, 76	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   < clt 11380   ≤ cle 11381   − cmin 11578   -cneg 11579  ℕcn 12373  2c2 12435  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ℤ_≥cuz 13003   X_rm crmx 44167   Y_rm crmy 44168

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-oadd 8516  df-omul 8517  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-acn 10058  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-xnn0 12718  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ioc 13519  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-bc 14486  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-sin 16276  df-cos 16277  df-pi 16279  df-dvds 16464  df-gcd 16706  df-numer 16952  df-denom 16953  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-mulg 19319  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-lp 23498  df-perf 23499  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-haus 23677  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cncf 25243  df-limc 26230  df-dv 26231  df-log 26930  df-squarenn 44108  df-pell1qr 44109  df-pell14qr 44110  df-pell1234qr 44111  df-pellfund 44112  df-rmx 44169  df-rmy 44170

This theorem is used by:  jm2.26lem3  44268